直角三角形的边角关系讲义

这是一份分节讲解,然后综合复习的一份讲义,各节都配有例题和针对练习,最后有一份本章复习卷

直角三角形的边角关系讲义

第1节 从梯子的倾斜程度谈起

本节内容：

正切的定义 坡度的定义及表示（难点） 正弦、余弦的定义 三角函数的定义（重点）

1、正切的定义

例2 如图， 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AD=8，BD=4，求tanA的值。 B C

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A

1

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2、坡度的定义及表示（难点

例3 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC为6m，坝高为3.2m，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD 的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i＝1：2变成i′＝1：2.5，（有关数据在图上已注明）． 求加高后的坝底HD的长为多少？

例4

在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA、sinB、cosA、cosB的值。通过计算你有什么发现？请加以证明。

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4、三角函数的定义（重点）

例5 方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm，CD=6cm斜立在墙上，其中BE=6cm，DE=2cm，你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。

本节作业：

1、∠C=90°，点D在BC上，BD=6，AD=BC，cos∠ADC=

3

，求CD的长。 5

2、P是a的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），求sina、tana的值。

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3

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3、在△ABC中，D是AB的中点，DC⊥AC，且tan∠BCD=

1

，求tanA的值。

3

4、在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=

5

，周长为30，求△ABC的面积。

12

5、（2008·浙江中考）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是多少？

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第2节 30°，45°，60°角的三角函数值

本节内容：

30°，45°，60°角的三角函数值（重点）

1、30°，

45°，60°角的三角函数值（重点）

例1 求下列各式的值。 （1）

（2）tan260 4tan60 4 22sin45 。

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5

sin60 sin30

；

tan60

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本节作业：

1、 求下列各式的值。

（1）2sin30 3tan30 tan45 ； （2）cos45 tan60 cos30 。

(3) 6tan2 30°－sin 60°＋2tan45°

2

tan45o

sin260o 2sin60o 1 ( cos60o) 2 (sin45o tan30o)0 (4)o

2 tan60

2、 已知a为锐角，且tana=5，求

sina 3cosa

的值。

2cosa sina

3、 △ABC表示光华中学的一块三角形

空地，为美化校园环境，准备在空地内种植草皮，已知某种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少花费多少元？

4、（2008·成都中考）2cos45 的值等于________。 5、（2008·义乌中考）计算3sin60 2cos45 。

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6、（2009深圳）（6分）计算： 2 2( 3.14)0

1－ 1

7、（2010深圳）( )2－2sin45º＋ (π －3.14)0＋ 8＋(－1)3．

3 2

第3节 三角函数的有关计算

本节内容：

利用计算器求任意锐角的三角函数值（重点） 锐角三角函数计算的实际应用（难点） 1、利用计算器求任意锐角的三角函数值（重点） （1）sin35 ；

（2）tan85 ；

（3）sin72 38'25''；

（4）cos47 15'。

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7

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2、锐角三角函数计算的实际应用（难点）

例2 小刚面对黑板坐在椅子上。若把黑板看做矩形，其上的一个字看作点E，过点E的该矩形的高为BC，把小刚眼睛看做点A。现测得BC=1.41米，视线AC恰与水平线平行,视线AB与AC

的夹角为25°,视线AE与AC的夹角为20°，求AC与AE的长（精确到0.1米）。

典型例题：

例1用计算器求下列三角函数值。（精确到0.001） （1）sin35 （2）cos42 （3）tan75

例2已知下列锐角的三角函数值，利用计算器求锐角。（精确到1’） （1）sin 0.5276 （2）cos 0.5276 （3）tan 0.5276

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例3某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图。BC//AD，斜坡AB长22m，坡角∠BAD=68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡。 （1） 求改造前坡顶与地面的距离BE的长；（精确到0.1m）

（2） 为确保安全，学校计划改造时，保持坡脚A不动，坡顶B沿BC前进到F点处，问

BF至少是多少？（精确到0.1m）

（

sin68 0.9272,cos68 0.3746,tan68 2.4751,sin50 0.7660,

cos50 0.6428,tan50 1.1918）

例4如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，请你参考图中数据，计算车位所占街道的宽度EF。（参考数据：sin40 0.64,cos 0.77,tan40 0.84,结果精确到0.1m）

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9

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例5要求tan45 的值，可构造如图所示直角三角形,作Rt△ABC,使∠C=90°,两直角边AC=BC=a，则∠ABC=45°,所以tan45 的值？

ACa

1。你能否在此基础上，求出tan22 30 BCa

例6（2009·娄底中考）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂直挂了一长为30米的宣传条幅AE，张明同学站在离办公楼的地面C处测得条幅顶端A的仰角为50°，测得条幅底端E的仰角为30°。问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）

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例7某轮船自西向东航行，在A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8千米到达B，测得该岛在轮船的北偏东30°方向上，问轮船继续前进多少千米与小岛的距离最近？

第4节 船有触礁的危险吗

本节内容：

方向角的定义 解直角三角形（重点） 解直角三角形的实际应用（难点） 1、方向角的定义

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例1 某次台风袭击了我国南部海域。如图，台风来临前，我们海上搜救中心A接到一越南籍渔船遇险的报警，于是指令位于A的正南方向180海里的救援队B立即前往施救。已知渔船所处位置C在A的南偏东34°方向，在B的南偏东63°方向，此时离台风来到C处还有12小时，如果救援船每小时行驶20海里，试问能否在台风来到之前赶到C处对其施救？（参考数据：

sin63

）

932

,tan63 2,sin34 ,tan34 1053

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例2某公园“六一”亲新增设一台滑梯，如图。滑梯高度AC=2m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4m。

（1）求滑梯AB的长；（结果精确到0.1m）

（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？

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例3 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数千米范围内形成旋风暴，有极强的破坏力。根据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心的最大风力为12级，每远离台风中心20千米，台风就会弱一级。台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市风力达到或超过4级，则称为受台风影响。

（1） 该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理

由。

（2） 若会受到台风影响，那么台风影响该市的持续时

间有多长？

典型例题：

例1在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠ABC=45°，求BC的长。

例2如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼。甲船以每小时152千米的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进。甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现鱼具丢在了乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，

结果两船在B处相遇。

（1） 甲船从C处追赶乙船用了多长时间？ （2） 甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？

例3

某年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，一条

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船在松花江某段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°防西哪个上。前进100m到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上（如图），在以航标C为圆心，120m为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？（3 1.73）

第5节 测量物体的高度

本节内容：

测量底部可以到达的物体的高度（重点） 测量底部不可以到达的物体的高度（难点）

1、测量底部可以到达的物体的高度（重点）

例1 升国旗时，沈杰同学站在离旗杆底部24m处行注目礼，当国旗升到旗杆顶部时，测得创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼

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该同学视线的仰角为30°，若双眼离地面1.5m，则旗杆有多高？（结果精确到0.1m）

2、测量底部不可以到达的物体的高度（难点）

例2：如图，从山顶A处看到地面C点的俯角为60°，看到地面D点的俯角为45°，测得16 创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼

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CD=3米，求山高AB。（精确到0.1米，≈1.732）

典型例题：

例1如图，两建筑物的水平距离为36m，从A点测得D点的俯角 为36°，测得C点的俯角 为45°，求这两座建筑物的高度。（sin36°≈0.588,cos36°≈0.412,tan36°≈0.723,结果保留2位小数）

例2如图，河边有一条笔直的公路l，公路两侧是平坦的草地，在数学活动课上，老师要求测量河对岸一点B到公路的距离，请你设计一个测量方案。

例3如图,某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角∠BPC的度数为30

°，窗户创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼

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的一部分在教室地面所形成的影长PE为3.5m，窗户的高度AF为2.5m，求窗外遮阳篷外端一点D到窗户上缘的距离AD。（结果精确到0.1m）

测试题

一、选择题

1．等腰三角形的底角为30

°，底边长为 ） A．4

B

．C．2

D

．

2．如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD长为（ ） A

．

B

．C

．D．

8

(1) (2) (3)

3．在△ABC中，∠C＝90°，下列式子一定能成立的是（ ） A．a csinB B．a bcosB C．c atanB D．a btanA

2

4．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，

且有|tanB 3| 则△ABC是（ ） （2sinA 0，

A．直角（不等腰）三角形 C．等腰（不等边）三角形 B．等腰直角三角形 D．等边三角形

18 创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼

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5．已知tan 1，那么A．

1 3

2sin cos

的值等于（ ）

2sin cos 11B． C．1 D．

26

6．如图2，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC

上的一点B，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55°，要使A，C，E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（ ）

A．500sin55°米 B．500cos55°米 C．500tan55°米 D．500tan35°米

7．如图3，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为E，设∠ADE= ，且cos =AD的长为（ ） A．3

B．

3

，AB=4， 则5

16 3

C．

20 3

D．

16 5

8．如图4，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′等于（ ） A．1

B

C

D

(4) (5) (6) 二、填空题（每小题3分，共24分） 9．在△ABC中，∠C=90

°，sinA

，则cosB的值为． 10

11．如图5，∠DBC=30°，AB=DB，利用此图求tan75°= ．

12．如图6，P是∠ 的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则cos = 13．若某人沿坡度i=3∶4的斜坡前进10m，则他比原来的位置升高了m． 14．如图7，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

(7) (8) (9) 创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/svhm.html