《机械优化设计论文》讲义 教材讲义

《机械优化设计》讲义绪 言

优化设计是1960年代初发展起来的一门新学科，它是以电子计算机为工具，使用最优化理论寻求最优设计方案的一种现代设计方法。

最优化理论是一个重要的数学分支，它所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及如何找出最优方案。这类问题普遍存在于各个领域中。运筹学（Operations Research）用它研究生产、管理、商业、军事、决策等领域中的问题。优化设计（Optimal Design）用它处理工程设计领域中的设计问题。

在机械设计领域，传统的设计过程通常按下面步骤进行： 1、在调查分析的基础上，通过估算、经验类比或者实验来选择初始设计参数。

2、对尺寸、强度、刚度、稳定性……等各项设计要求进行计算和检查。

3、如果设计要求得不到全部满足，设计人员将调整修改某些设计参数，然后转第2步。如此反复，直到所有的设计要求都得到满足为止。

由此可见，传统的机械设计过程本质上是人工反复试凑的过程。用这种方法找到的设计方案，只是众多可行方案中的一个，一般都有再改进的余地。

使用优化设计方法进行机械设计，即用电子计算机的优化计算取代传统设计的人工试凑，不仅能够实现设计计算的自动化，把设计人员从反复检查、反复修改的繁琐计算中解放出来，而且能够获得人工试凑难以得到的、众多可行方案中最优的方案。 一个机械优化设计问题包括两方面内容：

1、把实际的设计问题化为数学规划问题，即建立数学模型。 建立数学模型时，需要应用专业知识来确定设计的限制条件和追求的目标，以确立各设计变量之间的相互关系。 2、求解这个数学规划问题。

根据数学模型的特点，应用优化设计的理论，选择适当的优化算法，使用计算机求解。

第1章 优化设计的数学模型

1.1 一个简单的优化设计问题

d t lσ (d-2t)l p h t lσ l d-2t d (a) 外部尺寸 (b) 受力图

图1.1 圆筒形容器示意图

例1.1 试设计一个用钢板焊接而成的密封圆筒形容器（图1.1）。要求其容积为 2 m3，能承受内部 p = 3MPa的蒸汽压力。受安装空间限制，要求其外部直径和高度分别为 1 m ≤ d ≤ 3 m 和 1 m ≤ h ≤ 3 m。

正应力 σ 所产生的内力：

d t lσ t lσ l

h (d-2t)l p

d-2t d (a) 外部尺寸 (b) 受力图

2tlσ

图1.1 圆筒形容器示意图

蒸气压力 p 所产生的外力： (d-2t)l p

2tl??(d?2t)lp

由此可得该容器的强度条件：

(d?2t)p???[?]2t

如果选用厚度t在 1mm ~ 20mm 之间的 Q235 钢板，那么其许用应力为 160 MPa，强

度条件被整理为 3d - 326t ≤ 0 。因此该容器的全部设计要求为：

?(d?2t)243d?326t?01000?d?30001000?h?30001?t?20 (1.1)

(h?2t)?2?109

先选 t = 8 mm ，然后根据 3d - 326t ≤ 0 ，得 d ≤ 837 mm 。与直径约束 d ≥ 1000 mm 相抵触，于是修改设计。这次选 t

= 13 mm ，得 d ≤ 1413 mm 。根据直径条件选 d = 1100 mm ，并代入容积条件，获得高度 h = 2233.7 mm 。由于 2233.7 mm 在规定高度范围之内，所以就得到一个能满足全部设计要求的方案：

t = 13 mm，d = 1100.0 mm，h = 2233.7 mm

使用这种方法还可以设计出另外的方案。式(1.1)中只有1个方程却有3个未知量，因此存在无穷多个解，即存在无穷多个满足设计要求的方案。

如果根据容器耗费材料的多少来衡量设计方案的优劣，那么需要把例1.1的问题表述为：

minf(t,d,h)?s.t.　?d2t2??d(h?2t)t?(d?2t)24　　　3d?326t?0(h?2t)?2?109　　　1000?d?3000　　　1000?h?3000　　　1?t?20 (1.2)

“min”是英文“minimize”的缩写，它后面的函数称为目标函数，意为使目标函数的值最

小化。

“s.t.”是英文“subject to”的缩写，意为“受约束于”。它后面的等式和不等式是使目标函数最小化时的约束条件，分别称为等式约束和不等式约束。

1.2 数学模型的建立

优化设计的数学模型由设计目标和设计约束两部分组成： 设计目标：“min”及其后面的目标函数。 设计约束：“s.t.”及其后面的等式和不等式。 实际设计问题→数学模型的抽象。

确切：模型不能失真。 简洁：不要太复杂。

需要注意：适当确定设计变量，合理构造目标函数，

正确列出约束条件

1.2.1 适当确定设计变量

机械设计方案参数：几何量（结构尺寸、位置关系等）；物理

量（材料的弹性模量、许用应力，零件的工作速度、加速度等）；工程参数（比如齿轮的模数和齿数、轴的挠度和自振频率等等）。

设计变量：其变动会直接或间接地影响目标函数值大小的那些设计参数。

为了降低问题求解的难度，设计者应尽量减少设计变量的

数目。

1、例：圆筒形容器：储油罐

钢板厚度t可以不作为设计变量出现在数学模型中（尽管设计说明书需要这个参数）。这时若用d和h表示容器内壁的尺寸，其变化范围为1 m~3 m，则其数学模型为

minf(d,h)??d22??dhs.t.　　h?2?1094　　　1000?d?3000　　　1000?h?3000果： d = h = 1365.6mm）。

（求解结

?d22、如果根据需要和经验事先选定一种材料。那么与材料相关的弹性模量、许用应力等参数都可取为常数，使数学模型变得简洁。 3、离散变量（齿轮的齿数、模数、弹簧钢丝直径、板材厚度等）

先处理成连续变量，降低求解难度。求得结果后，再让它们取结

果附近的离散值。在一定程度上损害了数学模型的确切性，但很多时候可近似使用。

minf(t,d,h)?s.t.　?d2t2??d(h?2t)t?(d?2t)24　　　3d?326t?0(h?2t)?2?109　　　1000?d?3000　　　1000?h?3000　　　1?t?20例如式(1.2)中的优化结果为：

t = 9.2 mm，d =1000.0 mm，h = 2661.3 mm

9.2 mm不属于国家标准的钢板厚度系列。t 应当取 9.2 mm 附近的系列值。现取 t = 10mm，把式(1.2)中关于 t 的不等式约束替换为等式约束，问题成为

minf(t,d,h)?s.t.　?d2t2??d(h?2t)t?(d?2t)24　　　3d?326t?0(h?2t)?2?109　　　1000?d?3000　　　1000?h?3000　　t?10

优化结果： t = 10.0 mm，d = 1086.7 mm，h = 2258.1 mm 。

1.2.2 合理构造目标函数

目标函数：设计者度量设计方案优劣程度的量化指标。 1、许多机械设计问题，都以质量最小（它通常与材料体积或表面积最小等价）作为设计目标。

减小质量 = 节省材料、节省加工费、减小惯性力、降低能耗。 2、对于应力集中现象严重的构件：应力集中系数最小。 对于精密仪器：测量误差最小

对于再现运动轨迹的机构：轨迹误差最小。

总之，应当从设计对象的用途出发，以最重要最具代表性的

指标作为目标函数。

例：圆筒形容器：饮料罐（300ml）。

设计目标：外观漂亮。d / h = 0.618时，外观最匀称。因此可以用 d / h 与 0.618 之间的正负偏差最小（尽量符合黄金分割率）作为设计目标。其数学模型为

dminf(d,h)??0.618hs.t.　　d2h?3?1054　　　0?d?60　　h?0d = 60.0mm，h = 106.1mm。

结果：

?3、多目标优化问题化为单目标优化问题。

把最重要的某个设计目标作为单目标优化问题的设计目标，把其它设计目标处理成约束条件。

例：圆筒形容器：油漆桶（20000ml）

双目标：①制造油漆桶的材料最少以降低成本，②外观匀称以吸引顾客。

可以把用料最少作为设计目标，把外观匀称用d/h与0.618之间的正负偏差不大于某个允许值的约束条件来表示。假设该允许值为0.1，这个双目标优化问题就转化成单目标优化问题：

minf(d,h)??2d2??dhs.t.　　d2h?2?1074d　　　?0.618?0.1h　　d?0　　h?0? 结果：

d = 263.4mm，h = 366.9mm。

4、设计变量不一定在目标函数的表达式里出现。

例如式(1.2)的问题，材料体积也等于容器所占空间的总体积减去其容积：

f(t,d,h)??d2h4?2?109

(1.7)

因此式(1.2)中的目标函数

f(t,d,h)??d2t2??d(h?2t)t

完全可以用式(1.7)来代替。这时的目标函数中虽然不出现壁厚t，但它仍然是t的函数，是壁厚t的隐函数。

5、原目标函数上乘（除）一个常数或加（减）一个常数，只会改变目标函数值的大小，并不影响最优方案本身。

为了使数学模型简洁，可以把原目标函数中的这些常数去掉。因此，例1.1的优化设计数学模型也可写为

minf(t,d,h)?d2hs.t.　?(d?2t)24　　　3d?326t?0(h?2t)?2?109　　　1000?d?3000　　　1000?h?3000　　　1?t?20是

结果仍然

t = 9.2 mm，d = 1000.0 mm，h = 2661.3 mm 。

1.2.3 正确列出约束条件

约束条件是设计方案必须满足的各种设计限制。

约束条件分两类，一类称为性能约束，一类称为边界约束。 性能约束

零件设计：强度条件、刚度条件、振动稳定性条件、耐热性条件等。

机构设计：装配条件、邻接条件、传动比条件、速度条件、加速度条件等。

许多性能约束实际就是设计规范的计算公式，它们可以根据力学、机械学、几何学的知识推导出来。

边界约束：对设计变量取值范围的限制，它给出设计变量的上边

界和下边界。

边界约束根据设计对象的结构需要或经验给出。注意既不能遗漏必要的边界约束，也不能无根据地缩小边界约束的范围。 1、数学模型必须列出全部必要的约束条件，不能遗漏。

例：在锅炉设计的式(1.2)中，如果遗漏了最后三个边界约束，成

为

minf(t,d,h)?s.t.　?d2t2??d(h?2t)t?(d?2t)24　　　3d?326t?0(h?2t)?2?109

(1.9)

那么它的解是

t = 2.4 mm，d = 260.6 mm，h = 38909.2 mm。它高达近40

米，与其说是一个锅炉不如说是一根旗杆。

2、注意约束条件不能互相矛盾。

例：如果把式(1.2)的钢板厚度的上边界减小为8 mm，使它变为

minf(t,d,h)?s.t.　?d2t2??d(h?2t)t?(d?2t)24　　　3d?326t?0(h?2t)?2?109　　　1000?d?3000　　　1000?h?3000　　　1?t?8 (1.10)

那么该问题无解。之所以发生这种情况，是因为强度约束和直径约束隐含地要求 t ≥ 9.2，但修改后的厚度约束却要求 t ≤ 8，两者互相矛盾。所以，

不要没有根据地随

意缩小设计变量的取值范围。

3、当某个设计变量可以通过某个等式约束表示成其它设计变量的函数时，目标函数和约束函数中的这个设计变量便可以用这个函数替换。这样不仅能减少数学模型的设计变量的个数，还能减少约束条件的个数。

例如式(1.3)的问题，由于储油罐的高 h 可以根据等式约束表示成

minf(d,h)??d22??dhs.t.　　h?2?1094　　　1000?d?30001000?h?3000直径 d 的函数：　　　

?d28?109h??d2所以式(1.3)可以简化为

8?109minf(d)??2ds.t.　　1000?d?30008?109　　　1000??30002?d

(1.11)

?d2

4、数学模型中的有些约束条件可能是多余的。多余的约束条件的存在不影响求解的结果。把它们从数学模型中剔除可以简化数学模型，加快求解速度。

例如式(1.11)中有4个不等式约束，其中最后两个可改写为

8?109minf(d)??2ds.t.　　1000?d?30008?109　　　1000??30002?d

8?1068?106?d?3??由于

?d2

8?1068?106?1000　　　　?30003??

所以可以把式(1.11)的数学模型进一步简化为

8?109minf(d)??2ds.t.　　1000?d? (1.12)

当式(1.12)中的约束条件被满足时，式(1.11)中的另两个约束条件自然被满足，它们是多余的

约束，所以可以删去它们。

?d28?106?

问题(1.12)应用微分学的极值理论就可求解。令式(1.12)中的目标函数的一阶导数为零，求其可能的极值点：

8?109?d3?8?109f?(d)??d???022ddd?38?109??20003?

(1.13)

d?因为

20003?满足两个约束条件，而且这时目标函数的二阶导数

16?109f??(d)????03d

(1.14)

d?所以

200032000是目标函数f(d)的极小点。由此得储油罐的高 h 和直径 d 都为

3??mm。

一般的优化设计问题无论怎样简化，也不可能化成式(1.12)那样简单的形式，更不是只用微分学的极值理论就可轻易求出它的解析解的。要求解一般的复杂优化设计问题，必须借助电子计算机的力量。 本课程的主要内容就是讨论如何编制计算程序来求解优化设计的数学模型。

1.3 数学模型的一般形式 1.3.1 数学模型的一般形式

优化问题的数学模型可以归纳整理成下面的一般形式：

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