微积分在经济学中的应用

绥化学院

本科毕业设计(论文)

一元函数微积分在经济学中的一些应用

学生姓名： 王 芳 学 号： 200950811 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2009级 指导教师： 齐秀丽 副教授

Suihua University Graduation Paper

The Application of Unary Function Calculus

in Economics

Student name Wang Fang Student number 200950811 Major Mathematics and Applied Maths Supervising teacher Qi Xiuli

Suihua University

目 录

摘 要……………………………………………………………………………………….Ⅰ Abstract……………………………………………………………………………………..Ⅱ 第1章 一元函数微分学在经济分析中的两种应用………………....…………………....1 第1节 导数在边际分析中的应用………………………………………………………2 第2节 导数在弹性分析中的应用……………………………………………………....6 第2 章 一元函数积分学在研究经济函数时的一些应用…………………………….....10 第1节 定积分在研究经济函数时的一些应用………………………………………..10 第2节 不定积分在研究经济函数时的一些应用……………………………………..13 结 论………………………………………………………………………………………16 参考文献……………………………………………………………………………………17 致 谢………………………………………………………………………………………18

摘 要

高等数学与经济学是当今世界发展不可缺少的两个组成部分，随着世界经济的不断发展及数学理论的不断完善，数学与经济学的关系也越来越紧密．尤其是21世纪以来，随着世界经济的迅猛发展，数学知识在经济学领域中所占有的地位也越来越突出．本文针对高等数学中一元函数微积分理论在经济学中的部分应用进行简单的概括分析．通过边际分析、弹性分析等知识的应用，进一步了解一元函数微分学在经济学中的重要作用．通过研究一元函数积分学中的定积分与不定积分在经济学中的应用，加强对在经济学中运用数学知识的了解，从而深化对数学知识和经济学知识的认识，并掌握数学知识求解经济学问题的一些简单方法．

关键词：边际分析；弹性分析；一元函数微分学；一元函数积分学

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Abstract

Higher mathematics and economics are two indispensable components on current world’s development，with the continuous development of world economy and the continuous improvement of the mathematical theory，mathematics and economics’ relationship is becoming more and more closer．Especially since the 21st century，with the rapid development of world economy，mathematical knowledge’s possession of status is becoming more and more outstanding in the field of the economics．This article is aimed at to make simple summary analysis in the unary function theory of calculus that is belonged to the advanced mathematics，and which partial application in economics．By the analysis of Marginal，the analysis of Elastic，to make a further understand on the important role of unary function differential calculus in economics．By studying the application of the indefinite integral and definite integral which are part of the integral calculus in economics， strengthen the understanding of mathematical knowledge’s function in economics，so as to deepen the understanding of mathematical knowledge and knowledge of economics，and master some simple method of mathematical knowledge to solve the economic problems．

Key words: Marginal analysis; Elastic analysis; Unary function differential calculus; Unary function integral calculus

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第1章 一元函数微分学在经济分析中的两种应用

随着世界经济的不断发展，数学知识对经济领域相关问题的研究越来越发挥出不可替代的独特作用．一元函数微分学是数学中的一个重要分支，也是解决经济学问题的重要工具之一．

微分学理论是自研究物体运动的瞬间速度问题和求一般曲线上某点处的切线问题开始建立，并逐渐完善起来的．因此，导数能反映某一变化过程中函数的因变量相对于其自变量的变化快慢程度．函数y?f(x)在点x0的导数是从因变量y在以x0和

x0??x为端点的区间上的平均变化率出发，在?x?0时，平均变化率的极限值即为f?(x0)．其严格的数学定义为

定义1[1] 设函数y?f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得改变量?x(?x?0)时，相应的因变量y取得的改变量为?y?f(x0??x)?f(x0)．如果极限

f(x0??x)?f(x0)?y?lim

?x?0?x?x?0?xlim存在，则称函数y?f(x)在点x0处可导，并称此极限值为函数f(x)在点x0处的导数，记作f?(x0)，即

f?(x0)?limf(x0??x)?f(x0)?y?lim，

?x?0?x?x?0?x也可记为

y?x?x，

odydf，

dxx?x0dx．

x?x0将导数的概念引进经济学之后，对经济学问题的分析与研究产生了很大影响．利用导数可以定量分析很多以前无法分析的经济学问题．导数在经济学中的应用不仅为一些经济学问题的求解提供了更为简便的方法．导数在经济学中最常见的应用是边际问题和弹性问题的分析．

对于企业来说，边际问题和弹性问题与其决策和发展息息相关．本章将从导数在边际分析中的应用、在弹性分析中的应用两个方面来介绍一元函数微分学在经济分析中的一些应用．

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第1节 导数在边际分析中的应用

1.1 导数在边际成本中的应用

根据经济学理论，成本函数可表示为C?C(Q)?C0?C1(Q)，其中C0为固定成本，

C1(Q)为可变成本，Q为产量．显然，产量Q发生改变?Q时，会引起可变成本C1(Q)的改变，从而引发总成本C(Q)的变化．有时需要研究当产量Q自某一水平开始再多生产一个单位产品(或少生产一个单位产品)的话，所引发总成本的增加量(减少量)，即为总成本C对产量Q的导数

C?(Q)?lim?CC(Q??Q)?C(Q)?lim，

?Q?0?Q?Q?0?Q称之为边际成本．它反映了总成本对产量的变化率．用MC来表示C?(Q)，则边际成本的经济学意义是当产量为Q时，每再多生产一个单位产品所增加的成本，即边际成本

C?(Q)在数值上等于第Q?1个产品的成本[2]．

1例1 设总成本关于产量Q的函数为C(Q)?300?5Q?Q2，需求量x关于价格p2的函数为p?100，并设此时市场达到均衡且生产的商品全部卖出，试求边际成本． x解 由边际成本的定义可知，边际成本MC等于总成本函数C(Q)的导数，即

MC?C?(Q)?5?Q． 1因此，函数C(Q)?300?5Q?Q2的边际成本为MC?5?Q．

210010000由p?得到其反函数x?．又由于此时市场达到均衡，可知需求量等于销

p2x售量．根据题意，销售量等于产量，则

10000， Q?x?p2可得

10000MC?5?． 2p 由例1可以看出当产品的固定产量不同时，增加单位产品的产量，会使产品的总成本发生变化．由定义可知边际成本为总成本函数的导数．同时可知产品价格不同时，也会使边际成本发生变化．在边际成本与价格的关系式中，边际成本函数是价格函数的反函数．当价格增加时，边际成本将减少，同样，当价格减少时，边际成本将增加．利

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用边际成本可以得到成本的最小值，同时也可以得出利润的最大值，从而使得企业可以实现在生产过程中所追求的最大利益．

1.2 导数在边际收益问题中的应用

在销售过程中，总收益函数R是关于销售量Q的函数，当销量达到某一值时再多销售(少销售)一单位产品就会引起收益的相应变化．

定义1 设销售某产品的总收益函数为R?R(Q)(Q是销售量)，则R(Q)对其自变量Q的导数

R?(Q)?lim?RR(Q??Q)?R(Q)?lim

?Q?0?Q?Q?0?Q称为边际收益．它反映了总收益对销售量的变化率．其经济意义为R?(Q)近似等于销售量为Q单位时，再多(或少)销售一个单位产品所引起的收益的变化量．

根据以上分析可得出

在销售量为Q时，若R?(Q)?0，则总收入将增加R?(Q)； 在销售量为Q时，若R?(Q)?0，则总收入将减少R?(Q)； 在销售量为Q时，若R?(Q)?0，则总收入不变．

设产品的需求函数为Q?f(p)，其中p表示价格．由于当价格上涨时需求量一般会减少，因此此时产品的需求函数是其价格的减函数，其反函数p??(Q)也是单调递减的函数，即价格p是关于销量Q的减函数．假定总收益等于出售产品的数量与单位产品价格的乘积，则可知每出售Q单位产品时总收益为

R(Q)?Q?p?Q??(Q)，

根据边际收益的定义，利用微分学中乘积函数的求导法则，其边际收益为

R?(Q)?[Q??(Q)]???(Q)?Q???(Q)． (1.1)

由其可得到以下经济学研究的结论

(1)若产品的价格与其销售量无关，即价格p??(Q)为常数时，则R?(Q)??(Q)，该产品的边际收益等于价格．这种情况只有在完全竞争市场的短期均衡条件下才会出现．

(2)由上述公式(1.1)可知由于p??(Q)是减函数，根据微分学理论，有??(Q)?0，对于任意的销售量Q(Q?0)，都有Q???(Q)?0，因此边际收益小于价格．这种情况是

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在非完全竞争市场，即垄断市场情况下才会发生的．根据曼昆的经济学原理，当一个垄断者增加一个单位产量时，他就必须降低对所销售的每一个单位产品收取的价格，而且，这种价格下降减少了他已卖出的各单位产品的收益，因此，垄断销售的边际收益小于其价格．

边际收益在经济学中的应用十分广泛，利用边际收益可以预测产品的收益，从而预算出获得最多利益所需要生产产品的数量，根据微分学原理所做的边际收益分析可以使利益达到最大化．

例2 已知某种产品的市场需求量为Q?关系为Q?12x?5，该产品的价格p与其需求量的25?500，试求该产品的边际收益． p12x?5，用Q表示p得 2解 由于该产品的需求量为Q?p?Q?500Q??100． 55因此，根据总收益公式可知

QQ2R(Q)?Q?p?Q??(Q)?Q?(?100)??100Q．

55根据(1.1)可知，边际收益为

Q22R?(Q)?[?100Q]??Q?100．

55 根据以上例题可知当销售量Q?250时，再多生产一个产品，总收益将增加；当销售量Q?250时，再多生产一个产品，总收益将减少；当销售量Q?250时，再多生产一个产品，总收益将不变．

1.3 导数在边际利润中的应用

边际利润是指产品的销售收入与相应的变动成本之间的差额．边际利润在经济学中的作用十分重要，其定义为

定义2 设利润函数L?L(Q)(Q为产量或销售量)，则L(Q)的导数L?(Q)即为边际利润，即

L?(Q)?lim?LL(Q??Q)?L(Q)?lim． (1.2)

?Q?0?Q?Q?0?Q4

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边际利润反映了利润对产量或销量的变化率，其经济意义为L?(Q)近似等于当产量或销售量为Q单位时，再多生产或销售一个单位产品时商品所增加(或减少)的利润．由于总利润等于总收入与总成本之差，即L(Q)?R(Q)?C(Q)，故

L?(Q)?R?(Q)?C?(Q)，

即边际利润等于边际收益与边际成本之差．

例3 某企业对产品进行分析后指出，总收入L(万元)与每月产量x(吨)(t)的函数关系为L(x)?400x?20x2，试确定当每月产量为5t、10t、15t时的边际利润．

解 根据(1.2)可知，边际成本为边际利润函数的导数，即表示产量为x单位时，总利润的变化率．依题可知：L?(x)?400?40x，则当x?5、10、15时，有

L?(5)?400?40?5?200； L?(10)?400?40?10?0；

L?(15)?400?40?15??200．

因此，由上述结果表明，当产量为每月5t时，再增加1t产品，产品的利润将增加200万元；当产量为10t时，再生产1t产品，产品的利润不变；当产量为每月15t时，再增加1t产品，产品的利润将减少200万元．

从以上例子中我们可以看出，当企业投资决策时，利用边际利润对将要投资的项目进行分析，可以避免盲目投资给企业带来的损失，使得企业在未来的发展中拥有更美好的前景．另外，若企业同时从事多种产品的加工生产，也可以通过边际利润进行分析，使得生产转向利润较大的产品，从而提高企业的经济效益．运用以微分理论支撑的边际分析知识对经济学中的问题进行分析，不仅可以减少企业损失、增加企业利润，还可以使得企业的资金流向更加合理，从而提高企业的经济效益．不仅利于企业本身的发展也为整个市场经济的运行提供了保障．

第2节 导数在弹性分析中的应用

在经济学中，与导数有着密切联系的另一个概念是弹性．弹性是定量描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度的函数．在经济学中，弹性主要用于对生产供给、需求问题的研究．弹性在数学中的严格定义为

定义3 设函数y?f(x)在点x?x0处可导，函数的改变量

?yf(x0??x)?f(x0)?y0f(x0)5

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