实验01讲评、参考答案 - 建立数学模型（4学时）

实验01讲评、参考答案

讲 评

未交实验报告的同学名单

数学：01边清水，09龚昱霏，14黄浦，34谭世韬 信科： 批改情况：

不批改，同学们自己对照参考答案。

1

附参考答案：

《数学建模实验》

王平

实验01 建立数学模型（4学时）

（第1章 建立数学模型）

教材中给出原始数据，结合模型，得到结果。但如何求得结果这一过程没有给出，实际上要用MATLAB软件编写程序来求得，这应该交给实验课来完成。考虑到同学们刚学习MATLAB语言，编程能力不强，所以有关的程序给出来供同学们进行验证。要求同学们要读懂程序。 1.（求解，编程）如何施救药物中毒p10~11

人体胃肠道和血液系统中的药量随时间变化的规律（模型）：

?dx???x,x(0)?1100??dt(?,??0) ??dy??x??y,y(0)?0??dt其中，x(t)为t时刻胃肠道中的药量，y(t)为t时刻血液系统中的药量，t=0

为服药时刻。

1.1（求解）模型求解p10~11

要求：

① 用MATLAB求解微分方程函数dsolve求解该微分方程（符号运算）。 ② 用MATLAB的化简函数simplify化简所得结果。

提示：dsolve和simplify的用法可用help查询。建议在命令窗口中操作。

2

★ 求解的语句及运行结果（比较[11]式(3)、(4)）： >> [x,y]= dsolve('Dx=-a*x','Dy=a*x-b*y','x(0)=1100','y(0)=0'); >> disp([x,y]) [ 1100*exp(-a*t), exp(-a*t)*exp(-b*t)*((1100*a*exp(a*t))/(a - b) - (1100*a*exp(b*t))/(a - b))] >> disp(simplify([x,y])); [ 1100*exp(-a*t), (1100*a*exp(-t*(a + b))*(exp(a*t) - exp(b*t)))/(a - b)] 1.2（编程）结果分析p11

已知λ=0.1386, μ=0.1155，将上题中得到x(t)和y(t)两条曲线画在同一个图形窗口内（见[11]图1）。

提示：

MATLAB命令：plot, fplot, hold on/off, grid on/off, xlabel, ylabel, text。

★ 编写的程序和运行结果（比较[11]图1）：

程序1：用plot clc;clear; a=0.1386; b=0.1155; t=0:0.01:25; x=1100./exp(a*t); y=-(1100*a*(1./exp(a*t) -1./exp(b*t)))/(a - b); plot(t,x,t,y); grid on; xlabel('{\\itt} /h'); ylabel('{\\itx},{\\ity} /mg'); text(2,1100/exp(a*2),' {\\itx}({\\itt})'); text(3,-(1100*a*(1/exp(a*3) - 1/exp(b*3)))/(a - b),' {\\ity}({\\itt})'); 1200参考答案1000800 x(t)x,y /mg600400 y(t)20000510t /h152025 程序2：用fplot和匿名函数 3

clc;clear; a=0.1386; b=0.1155; fplot(@(t)[1100/exp(a*t),-(1100*a*(1/exp(a*t) - 1/exp(b*t)))/(a - b)],[0 25]); grid on; xlabel('{\\itt} /h'); ylabel('{\\itx},{\\ity} /mg'); text(2,1100/exp(a*2),' {\\itx}({\\itt})'); text(3,-(1100*a*(1/exp(a*3) - 1/exp(b*3)))/(a - b),' {\\ity}({\\itt})'); 2.（编程，验证）商人们怎样安全过河p8~9

三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船的大权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全渡河呢？

[模型构成]

决策： 每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）船上的人员。 要求：在安全的前提下（两岸的随从数不比商人多），经有限步使全体人员过河。

xk 第k次渡河前此岸的商人数

yk 第k次渡河前此岸的随从数 xk , yk=0,1,2,3; k=1,2,? 过程的状态 sk=(xk , yk)

允许状态集合 S={(x, y)? x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}

uk 第k次渡船上的商人数

vk 第k次渡船上的随从数 uk , vk=0,1,2; k=1,2,? 决策 dk=(uk , vk)

允许决策集合 D={(u , v)? u+v =1, 2} 状态转移律 sk+1=sk+(-1)kdk

[多步决策问题]

求dk?D(k=1, 2, ?, n), 使sk?S, 并按转移律由 s1=(3,3) 到达sn+1=(0,0)。

2.1（编程）求允许决策集合D和允许状态集合S

D是2行多列矩阵，每一列是一个决策。 S是2行多列矩阵，每一列是一种状态。 要求：

① 编写一个命令文件的程序求D和S，并输出。 ② S的第一列是[3,3]'，最后一列是[0,0] '。

★ 编写的程序和运行结果：

程序： clear; clc; %求允许决策集合D（2×n1，n1种决策） 4

D=[]; for u=0:2 for v=0:2 if u+v==1||u+v==2 D=[D,[u;v]]; end end end %求允许状态集合S（2×n2，n2种状态） S=[]; for x=3:-1:0 for y=3:-1:0 if x==0||x==3||x==y S=[S,[x;y]]; end end end%首列状态 ( 商人数, 仆从数)' = ( 3, 3 )'，末列为( 0, 0 )' D, S 运行结果： 2.2（验证）给出一个商人们安全过河的方案

程序（输入时，不必把注释也输入）：

5

6

程序运行结果： 要求：

① 读懂以上程序。

② 将题2.1的程序放到上面的程序中（去掉最后多余的输出语句），运行程序。对照答案，如不一致，请检查程序。

☆ 给出运行的完整程序和运行结果（参考[9]图1）：

程序： function river() [D,S1]=DS(); S2=S1; SS=[];%初始允许状态集合S1,S2 s1=S1(:,1); S1(:,1)=[];%始发状态s1=[3;3]，用过的状态移出 i=1; SS(:,i)=s1;%SS存放有效状态转移的路径 k=true;%k=true时，从此岸到彼岸；否则从彼岸到此岸 while ~isempty(S2)%目标状态集合非空 [s2,S2]=fun(s1,S2,k,D); if k&&s2(1)==0&&s2(2)==0%有解 SS(:,i+1)=s2; disp([1:i+1;SS(:,1:i+1)]); return; end if s2(1)==-1%新状态s2无效 if i==1%不能再回退 disp('无解！'); return; end i=i-1;%回退 s1=SS(:,i); else i=i+1; SS(:,i)=s2;%s1进入路径 s1=s2; end S=S1;S1=S2;S2=S; k=~k; end disp('无解！'); end 7

function [s2,S2]=fun(s1,S2,k,D) %k=true时，从此岸到彼岸；否则从彼岸到此岸 for u=D %决策遍历 s2=s1+(-1)^k*u; %状态转移s1->s2 for i=1:size(S2,2) if s2==S2(:,i)%是否新允许状态 S2(:,i)=[]; return; end end end s2=[-1;-1];%从s1走不通 end function [D,S]=DS() %求允许决策集合D（2×n1，n1种决策） D=[]; for u=0:2 for v=0:2 if u+v==1||u+v==2 D=[D,[u;v]]; end end end %求允许状态集合S（2×n2，n2种状态） S=[]; for x=3:-1:0 for y=3:-1:0 if x==0||x==3||x==y S=[S,[x;y]]; end end end%首列状态 ( 商人数, 仆从数)' = ( 3, 3 )'，末列为( 0, 0 )' end 给出程序的运行结果： 3.（求解）商人们怎样安全过河（修改）p9

对第2题的问题改动，用类似的方法求解。

3.1 在第2题中修改商人数和随从数

有四名商人各带一个随从，其它同第2题。修改第2题中的程序求解。

8

★ 修改的程序部分和完整程序的运行结果（安全过河的方案）： %求允许状态集合S（2×n2，n2种状态） S=[]; for x=4:-1:0 for y=4:-1:0 if x==0||x==4||x==y S=[S,[x;y]]; end end end%首列状态 (商人数, 仆从数)' = ( 4, 4 )'，末列为( 0, 0 )' 3.2 在3.1题中修改船容纳的人数

船能容纳3人。修改3.1题中的程序求解。

★ 修改的程序部分和完整程序的运行结果（安全过河的方案）： %求允许决策集合D（2×n1，n1种决策） D=[]; for u=0:3 for v=0:3 if u+v>=1 && u+v<=3 D=[D,[u;v]]; end end end 4.（编程）安全过河问题（人、猫、鸡、米）p21习题5

人带着猫、鸡、米过河，除需要人划船之外，船至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。试设计一个安全过河方案。

模仿商人过河问题的程序编写程序解决本问题。

9

★ 程序： function rive() %求允许决策集合D（2×n1，n1种决策） D=[[1,0,0,0]',[1,1,0,0]',[1,0,1,0]',[1,0,0,1]']; %求允许状态集合S（2×n2，n2种状态） S=[];j=1; for a=2^3+2^2+2^1+1:-1:0 s=[fix(a/2^3);mod(fix(a/2^2),2);mod(fix(a/2),2);mod(a,2)];%取二进制数字 if s(1)&&(s(2)&&s(4)||s(3))||~s(1)&&(~s(2)&&~s(4)||~s(3)) S(:,j)=s; j=j+1; end%s=[人，猫，鸡，米] end%首列状态=(1,1,1,1)'，末列为(0,0,0,0)' S1=true(1,size(S,2));%S1为船在此岸时，当前未走过的状态集合标记。 S2=S1;%S2（船在彼岸）类同。 S1(1)=false;%状态1做起始状态 SB=1;SE=[];SS=[];sn=-1;%状态转移SB→SE，走过的“状态转移对”存入SS while ~isempty(SB)%回溯法 if sn==-1, SM=S2; else SM=S1; end%确定目标状态 for i=SB%状态转移SB→SE for d=D sj=S(:,i)+sn*d; for j=1:size(S,2) if all(sj==S(:,j))&&SM(j)%有效的状态并且没走过 SS=[SS,[i;j]];%将i→j存入SS SE=[SE,j];%到达的新状态存入SE SM(j)=false;%标记已走过的状态 if all(sj==S(:,end))%安全完成过河 show(SS,S); return;%输出，程序运行结束 end break; end end end end if sn==-1, S2=SM; else S1=SM; end %更新 sn=-sn; SB=SE; SE=[]; %准备走下一步 end disp('无解！'); end function show(SS,S)%输出 SD=SS(2,end); i=SS(1,end); for j=size(SS,2)-1:-1:1 10

if SS(2,j)==i SD=[i,SD]; i=SS(1,j); end end SD=[1,SD];disp([1:length(SD);S(:,SD)]); end ★ 程序的运行结果 5.（选做，编程）商人们怎样安全过河（自编）

2.3中的程序有一定难度，所以给出了参考程序，初学MATLAB的同学可能想不到用其中的一些语句。第2题给出的是求解商人们安全过河问题的一种算法程序，还有其它的算法程序，比如回溯法、递归算法等。

要求：

① 按照自己的理解和想法，改写2.3中的程序。 ② 或用别的算法编写解决商人们安全过河的程序。

★ 程序和运行结果： 解1（递归） 程序

function river() global mark D SHOW;%全局变量 mark=2*ones(4); mark(1,:)=0; mark(4,:)=0;%mark(i,j)=0为允许状态 mark(2,2)=0; mark(3,3)=0; D=[0 1; 0 2; 1 0; 1 1; 2 0];%允许决策集合 mark(4,4)=2; SHOW=[]; 11

fun([3,3],-1); disp([[3,3];SHOW]); return function f=fun(s,t) global mark D SHOW;%全局变量 if s==0 f=1; return; end for k=1:5 s1=s+t*D(k,:); i=s1(1)+1; j=s1(2)+1; if all(s1>=0) && all(s1<=3) && (mark(i,j)==0 || mark(i,j)==t) if mark(i,j)==0%标记状态(i-1,j-1)的使用情况 mark(i,j)=-t; mark(i,j)=2; else end if fun(s1,-t) SHOW=[s1;SHOW]; f=1; return; end end end if s==3 disp('无解'); end f=0; 运行结果

3 3 3 1 3 2 3 0 %船停靠彼岸，先把所有随从渡过彼岸 3 1 1 1 2 2 0 2 %船停靠彼岸，再把所有商人渡过彼岸 12

0 3 %船停靠此岸，此岸只有随从，彼岸只有商人 0 1 0 2 0 0 %船停靠彼岸，最后把所有随从渡过彼岸 三个阶段：(3,3,船停此岸)→(3,0,船停彼岸)→(0,3,船停此岸)→(0,0,船停彼岸) 第一阶段：所有随从渡过彼岸（商人不动）；

第二阶段：使所有商人渡过彼岸，并将随从渡回此岸； 第三阶段：所有随从渡过彼岸（商人不动）。

解2（借用栈） 思路

定义状态：此岸的商人数，随从数，小船停靠在此岸或彼岸。

从初始状态开始，找到一个决策得到下一个状态，再从新状态开始，找到一个决策得到下一个状态，...。

在这个过程中，出现过的状态将不可再用。

若从某个状态开始，所有决策都得不到新状态，则返回上一状态，并从下一个决策开始，试探是否能得到新的状态。

直到到达状态(0,0)，或无解。

算法

1. 给出允许状态集合；%用4阶方阵mark标记，其中mark(i,j)=0表示(i-1,j-1)为允许状态，mark(i,j)=2表示(i-1,j-1)为不可达状态 2. 给出允许决策集合；% D=[0 1; 0 2; 1 0; 1 1; 2 0] 3. 初始状态进栈；%包括：当前状态，出发标记（-1/1为从此岸/彼岸出发），选择第几个决策 4. 初始状态标记；%mark(i,j)=-1/1表示从此岸/彼岸出发转移到状态(i-1,j-1)已走过，mark(i,j)=2表示上述两种情况都出现或不可达状态 5. 循环直到栈空或到达状态(0,0) 5.1 出栈，将出栈的状态作为当前状态，并选择下一个决策；%原决策失败，回溯 5.2 循环直到决策都用过或到达最终状态 5.2.1 由当前状态、出发标记和决策得到转移到的新状态； 5.2.2 若新状态是允许状态且没走过，则执行5.2.2.1；否则选择下一个决策 5.2.2.1 标记新状态的访问信息；%mark(i,j)=-1/1/2 5.2.2.2 当前状态重新进栈（改变了决策）；%存储决策过程 13

5.2.2.4 将新状态作为当前状态，臵出发标记，选择第1个决策； 6. 若有解，则输出决策过程；否则输出“无解”； 程序

clear; clc; mark=2*ones(4); mark(1,:)=0; mark(4,:)=0;%mark(i,j)=0为允许状态 mark(2,2)=0; mark(3,3)=0; D=[0 1; 0 2; 1 0; 1 1; 2 0];%允许决策集合 sp=1; st(sp,:)=[3,3,-1,0]; %进栈，(3,3)为当前状态，-1表示小船停靠此岸，决策0（未做决策） mark(4,4)=2;%标记为不可达状态 s0=[3,3]; while sp>0&& any(s0>0)%栈未空且s0中至少有一个元素>0 s0=st(sp,[1,2]); ss=st(sp,3);%当前状态，ss=-1/1小船停靠此岸/彼岸 d=st(sp,4);%之前用过的决策，该决策失败 sp=sp-1;%出栈 d=d+1;%试探下一个决策 while d<6 && any(s0>0) s1=s0+ss*D(d,:);%下一个状态，不包括小船停靠状态 i=s1(1)+1;j=s1(2)+1;%状态转换为下标 if all(s1>=0) && all(s1<=3) && (mark(i,j)==0 || mark(i,j)==-ss) if mark(i,j)==0%标记状态(i-1,j-1)的使用情况 mark(i,j)=ss; mark(i,j)=2; else end sp=sp+1;%进栈 st(sp,:)=[s0,ss,d];%当前状态重新进栈，改变了决策 s0=s1; ss=-ss; d=1;%下一个状态作当前状态，选择第1个决策 d=d+1; else%决策d失败 end end end 14

if s0==0 disp([[1:sp+1]',[st(1:sp,1:2);s0]]);%有解 disp('无解'); else end 运行结果

1 3 3 2 3 1 3 3 2 4 3 0 5 3 1 6 1 1 7 2 2 8 0 2 9 0 3 10 0 1 11 0 2 12 0 0 解3 clear; clc; %求允许状态集合S S=[]; for x=0:3 for y=0:3 if (x==0&&(y>=0&&y<=3))... ||(x==3&&(y>=0&&y<=3))... ||(x==1&&y==1||x==2&&y==2) S=[S,[x;y]]; end end end SA=S;%从此岸(A)到彼岸(B)渡河前此岸的允许状态集合 SB=S;%从彼岸(B)到此岸(A)渡河前此岸的允许状态集合 %求允许决策集合D D=[]; for u=0:2 for v=0:2 if u+v==1||u+v==2 D=[D,[u;v]]; 15

end end end k=1;%第1次渡河 s=[3;3];%第1次渡河前的状态 Snum(1)=1;%第1次渡河前的状态总数 SA(:,end)=[]; SB=SA;%去掉状态(3,3) while Snum(k)>0 Snum(k+1)=0;%第k+1次渡河前的状态总数初始化 k1=size(s,2)-Snum(k)+1;k2=size(s,2); for i=k1:k2 xk=s(1,i); yk=s(2,i); for d=D xk1=xk+(-1)^k*d(1); yk1=yk+(-1)^k*d(2); if (-1)^k==1 for j=1:size(SB,2) if xk1==SB(1,j)&&yk1==SB(2,j) s=[s,SB(:,j)]; SB(:,j)=[]; Snum(k+1)=Snum(k+1)+1; break; end end else for j=1:size(SA,2) if xk1==SA(1,j)&&yk1==SA(2,j) s=[s,SA(:,j)]; SA(:,j)=[]; Snum(k+1)=Snum(k+1)+1; break; end end end end end k=k+1; end Snum s(:,1:Snum(1)) m=Snum(1); for k=1:11 disp(s(:,m+1:m+Snum(k+1))); 16

m=m+Snum(k+1); end 解4 i=1; S=[];D=[]; S(:,i)=[3;3];%开始S(:,1)=[3,3]' while S(1,i)~=0||S(2,i)~=0%当s(:,i)=[0,0]'完成 D(:,i)=round(2*rand(2,1));%随机取0,1,2给决策D(:,i) d=D(:,i); if d(1)+d(2)~=1&&d(1)+d(2)~=2%成立则不是允许决策 continue;%重新选取决策 end S(:,i+1)=S(:,i)+(-1)^i*D(:,i);%得到下一个状态S(:,i+1) s=S(:,i+1); if (s(1)==1&&s(2)~=1)||(s(1)==2&&s(2)~=2)||(s(1)>3||s(1)<0)||(s(2)>3||s(2)<0)%成立则不是允许状态 continue;%重新选取决策 end i=i+1; if i==10^5%等于此循环次数判无解 disp('无解');return; end end for i=1:size(S,2)%添加状态的第3行元素，-1为船在此岸，1时在彼岸 SS(:,i)=[S(:,i);(-1)^i]; end%区分过程中的不同状态 for i=1:size(SS,2)-1%去掉状态转移过程中多余的状态 a=0; for j=i+1:size(SS,2)%找出与第i状态相同的最后一个状态 if any(SS(:,i)-SS(:,j))==0 a=j; end end if i

ss=[];%能够存在的状态集合 for i=1:length(s)%计算ss for j=1:length(s) if i==length(s)||i==1||s(i)==s(j) sss=[s(i),s(j)]; ss=[ss;sss]; end end end [ignore,p]=sort(sum(ss,2),'descend');%按总数排序,便于计算状态矩阵 ss=ss(p,:); a=sym(zeros(length(ss),length(ss))); for i=1:length(ss) for j=i+1:length(ss) m=abs(sum(ss(i,:))-sum(ss(j,:))); if m==1||m==2%两个状态的总人数之差只能是1或者2 if ss(i,:)>=ss(j,:)%保证总人数多的状态每个分量都要大 a(i,j)=2+(-1)^k; a(j,i)=(-1)^k; end end end end a(1,2)=0;%当第一次由(3,3)变到(3,2)时，下一次必为(3,2) 变到(3,3)，避免无用功 k=1; dd=1; s0=ss(1,:);%初始状态 S=ss(1,:);%储存总的状态转移方案 D=[];%每一步的决策集合 while any(s0)&k<=100 b=eval(a);%确定此时的a矩阵 for i=1:length(ss)%判断s0处于s中的第几行 if s0(1,:)==ss(i,:) break end end m=find(b(i,:)==1); %确定此时的方案集合 if k>1&length(m)>=2 m(find(m==dd(k-1)))=[];%避免走回头路 end [ignore,p]=sort(rand(1,length(m)));%在剩下的状态中随机找一个可行状态 s0=ss(m(p(1)),:); k=k+1; dd=[dd;m(p(1))]; 18

S=[S;s0]; D=[D;abs(S(k,:)-S(k-1,:))]; end S D 解6 clear; clc; %求允许决策集合D（2×n1，n1种决策） D=[]; for u=0:2 for v=0:2 if u+v==1||u+v==2 D=[D,[u;v]]; end end end %求允许状态集合S（2×n2，n2种状态） S=[]; for x=3:-1:0 for y=3:-1:0 if x==0||x==3||x==y S=[S,[x;y]]; end end end%首列状态 ( 商人数, 仆从数)' = ( 3, 3 )'，末列为( 0, 0 )' %动态允许状态集合SS（3×n3，n3种状态） %-1，从此岸渡河前此岸的允许状态 %1，从彼岸渡河前此岸的允许状态 SS=[[S;-ones(1,size(S,2))],[S;ones(1,size(S,2))]]; SSnum=size(SS,2);%状态总数，SS中的列下标对应状态的编号 %SS(:,1)=[3,3,-1]'（起点），SS(:,end)=[0,0,1]'（终点） %状态转移矩阵A，A(i,j)=1表示存在决策使状态i转到j，其它为0 A=zeros(SSnum); for i=1:SSnum for j=1:SSnum for d=D%顺序取D的每一列给d s=[SS(1:2,i)+SS(3,i)*d;-SS(3,i)]; if all(s==SS(:,j))%所有元素不为0时为真 A(i,j)=1; break; end end 19

end end %SK为多行SSnum列的矩阵，第i列对应SS的第i列的状态。 %第i行表示第i次渡河前有那些状态，1表示有对应下标列号的状态，0则无。 %第i+1行是第i行状态转移过来的状态 %当第SSnum状态出现时停止，表示有解。 %或者新行的元素全0时停止，表示无解。 %新行不允许出现之前出现过的状态。 s=[1,zeros(1,SSnum-1)];%从状态[3,3,-1]'开始 SK=s; while any(s) && s(SSnum)~=1 k=find(s);%求最后一行为1的列下标 s=any(A(k,:),1);%得到新行，元素值为1或0 s=s&~any(SK,1);%去掉新行中之前出现的状态 SK=[SK;s];%新行加入，作为SK的末行 end%多步决策，直到找到目标。有难度！ if any(s)==0 %新行全0 disp('无解！'); return; end %最后一行的第SSnum状态(j)开始往回找转换到它的状态(i)，直到状态1。 %得到一个状态号的顺序sk（行向量），为一个解。 sk=zeros(1,size(SK,1)); sk(1)=1; sk(1,end)=SSnum; j=SSnum; for k=size(SK,1)-1:-1:2 for i=find(SK(k,:)) if A(i,j)==1 sk(k)=i; j=i; break; end end end disp([1:length(sk);SS(1:2,sk)]);%输出结果

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附1：实验提示 第2.2题

MATLAB函数all的用法：

对于向量v，all(v)当v的所有元素都非0时，返回true（值为1）；否则返回false（值为0）。（类似v的所有元素“与”）

对于矩阵X，all(X)返回一个行向量，每一个元素值为all作用于X对应列的结果。

all(X, 1)作用于列（同all(X)），all(X, 2)作用于行。

第2.3题

MATLAB函数any的用法：

对于向量v，any(v)当v中有元素非0时，返回true（值为1）；否则返回false（值为0）。（类似v的所有元素“或”）

对于矩阵X，any(X)返回一个行向量，每一个元素值为any作用于X对应列的结果。

any(X, 1)作用于列（同any(X)），any(X, 2)作用于行。

第3题

要给出安全过河的方案。

第4题

在设计允许状态集合和允许决策集合时，要把“人”考虑进去

21

附2：第1章 建立数学模型 [1]1.1 从现实对象到数学模型

22

23

24

[4]1.2 数学建模的重要意义

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26

[6]1.3 建模示例之一 椅子能在不平的地面上放稳吗

27

28

[8]1.4 建模示例之二 商人们怎样安全过河

29

[9] 题2.3

[9]1.5 建模示例之三 如何施救药物中毒

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/sv1p.html