第一章空间几何体章末测试题

试卷第1页，总7页 空间几何体综合测试题

（时间：120分钟 满分：150分）

学号：______ 班级：______ 姓名：______ 得分：______

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．一个棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的投影是底面的中心，各条棱长相等，且棱长与底面边长相等，则该棱锥一定不可能是（ ）

Ａ．三棱锥 Ｂ．四棱锥 Ｃ．五棱锥 Ｄ．六棱锥

2.如图1所示的平面图形，绕中间轴旋转一周，阴影部分形成的几何体形状为( )

图1

A.球体

B.球体中间挖去一圆柱

C.圆柱

D.球体中间挖去一个棱柱

3.如图2是一个简单的组合体的直观图与三视图，一个棱长为4的正方体，正上面中心放一个球，且球的一部分嵌入正方体中，则球的半径是（ ）

A. 21

B. 1

C. 2

3 D. 2 4．如图3，正方形O′A′C′B′的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则它

的原图形面积和直观图面积之比是（ ）

A ．2

B ．

C ．2（1+）

D ．6

5.如图4，E 为正方体1111ABCD A B C D －中棱1BB 的中点，用平面1AEC 截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正视图为 （ ）

6.如图5，为一个封闭的立方体，在它的六个面上标出F E D C B A ,,,,,这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已标明，则字母A,B,C 对面的字母分别是（ ）

A.D,E,F

B.F,D,E

C.E,F,D

D.E,D,F

图5

7.某一空间几何体的三视图如图6所示，则该几何体的最长棱长为（）

A. 2

B.

C. 2

D. 3

8．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是（）

A．

3

2

B．

6

7

C．

5

4

D．

6

5

9．三棱锥A-BCD的三视图为如图7所示的三个直角三角形，则三棱锥A-BCD的表面积为（）

A. 225

+45

+

445

+

D. 23

+

10．已知四棱锥P ABCD

-的三视图如图8所示,则四棱锥P ABCD

-的四个侧面中面积最大的是（）

A．3 B．5．6 D．8

11．分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积依次为V1，V2，V3则（）

A．

3

2

1

V

V

V+

=B．2

3

2

2

2

1

V

V

V+

=C．

2

3

2

2

2

1

1

1

1

V

V

V

+

=D．

3

2

1

1

1

1

V

V

V

+

=

12．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图9所示，则该三棱锥的外接球表面积为（）

试卷第2页，总7页

A．29π B．30π C．

29

2

π

D．216π

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）

13.一个几何体的三视图如图10所示，其中正视图和侧视图均为腰长为2的等腰直角三角形，则用__________个这样的几何体可以拼成一个棱长为2的正方体.

14．如图11所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球(球的直径大于8 cm)放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为________ cm3.

15．一个几何体的三视图及其尺寸如图12所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是_________ 2

cm.

16.如图13，直三棱柱（侧棱与底面垂直）ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为()

A．2B．1 C. 2 D.

2

2

三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（10分）如图14

所示的螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体，试画出它的三视图.

试卷第3页，总7页

试卷第4页，总7页 18．（15分）如图15，直角梯形4,7,4CD AB AD ===以AB 为旋转轴，旋转

一周形成一个几何体，求这个几何体的表面积.

19．（15分）如图16是一建筑物的三视图(单位： m )，现需将其外壁用油漆粉

刷一遍，已知每平方米用漆0.2kg ，问需要油漆多少千克？(无需求近似值)

20．（15分）已知一四面体的三组对边分别相等，且长度依次为34,41

（1）求该四面体的体积；

（2）求该四面体外接球的表面积.

21.（15分）如图17，已知在圆锥SO 中，底面半径1=r ，母线长4=l ， M 为母

线SA 上的一个点，且x SM =，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A .

(1)求绳子的最短长度的平方)(x f ；

(2)求绳子的最短长度的最小值和最大值.

S

M

A O

(浙江 李景红)

（参考答案见下期中缝，详解见教参第1期）

空间几何体综合测试题

一、选择题

1.D

2.C

3.B

4.A

5.C

6.B

7.D

8.D

9.A 10.C 11.C 12.A

提示：

1.因为当底面为正六边形时，有且只有底面的中心到正六边形的各顶点距离与正六边形的边长相等，故满足条件的六棱锥的顶点将在底面内，不符合棱锥的概念，因此本题选D.

2.根据三视图几何体为一个倒放的三棱柱．

3.整体旋转是一个球，内部空白矩形旋转是一个圆柱，故阴影部分形成的几何体形状为球体中间挖去一圆柱．

4.由题意正方形O′A′B′C′的边长为1，面积为12=1；它是水平放置的一个平面图形的直观图，且O′B′=，

所以对应原图形平行四边形的高为2，底面边长为1，面积为1×2=2；所以原图形面积和直观图面积之比是2：1=2．故选A ．

6.由（1）（2）两个图知，A 与B,C,D 相邻，结合第（3）个图知，A 的对面为F ，同理B,C 对面分别为D,，所以选择B.

7.由三视图知，几何体是一个四棱锥，且四棱锥的底面是一个直角梯形OABC ，直角梯形的上底

是1BC = ，下底是2AO = ，垂直于底边的腰是2OP = ，如图所示，则四棱锥的最长棱长为

222222213PB PO OB =+=++= ，故选D.

8.过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体得到的是三棱锥，该三棱锥的体积为V=Sh 3

1

=2121212131????=481，那么剩下的凸多面体的体积为5186

V -=.

试卷第5页，总7页 9.由三视图可知，底面为直角三角形，不妨设90B ∠=o

,2,1BC BD ==,则侧棱AD BCD ⊥面，且2AD =。由分析可知,ADB ADC ??，ABC ?均为直角三角形。所以此棱锥表面积为1111=12+12+52+25=2+252222

S ????? 10.通过三视图可作出该几何体的直观图，如图所示．其中底面ABCD 为矩形，面PCD ⊥

面ABCD ，且3PC PD ==，4AB =，2BC =．易得

1123322PAD PBC S S BC PC ??==

??=??=，221432252PCD S ?=?-=，14362

PAB S ?=??=，故侧面中面积最大值为6． 11.设直角三角形的三条边为c b a ,,，且222b a c +=，则三个旋转体的体积分别为c c ab V 2131??

? ??=π， a b V 2231π=，b a V 233

1π=，故三者之间满足232221111V V V +=. 12.由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，它的对角线的长为球的直径，即229R ，所以该三棱锥的外接球的表面积为：

294294

S ππ=?

=． 二、填空题 13.3 14. 15.2(132 16.2

提示：

13.由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，所以，由于边长为2的正方体V=8，所以用3个这样的几何体可以拼成一个棱长为2的正方体.

14.作出该球轴截面的图形，如图所示，依题意得BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，

因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5，所以V ＝πR 3＝ (cm 3)．

15.()2222223,+= 底面为半圆，半径为2，所以表面积是

2111π2π2232242π23π42222

?+???=++ 16.由题意知，球心在侧面BCC 1B 1的中心O 上，BC 为截面圆的直径，所以∠BAC ＝90°，如图，

△ABC 的外接圆圆心N 是BC 的中点，同理△A 1B 1C 1的外心M 是B 1C 1的中心．设正方形BCC 1B 1

的边长为x ，Rt △OMC 1中，OM ＝x 2，MC 1＝x 2，OC 1＝R ＝1(R 为球的半径)，所以22??? ??x ＋2

2??

? ??x ＝1，即x ＝2，则AB ＝AC ＝1，所以S 矩形ABB 1A 1＝2×1＝ 2.

三、解答题

17.解：三视图如图所示．

试卷第6页，总7页

18.解：作CH AB ⊥于H .所以4743DH BH AB AH ==-=-=，

由勾股定理得， 22

435CB =+=，

所以+S S S S =+表底圆柱侧圆锥侧 22AD AD DC CH CB πππ=?+??+??

2424453πππ=?+??+??

16321563ππππ=++=.

19.解：由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和正四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m ，母线长为5 m ，正四棱柱的高为4 m ，底面是边长为3 m 的正方形，

所以圆锥的表面积为πr 2＋πrl ＝9π＋15π＝24π (m 2)，四棱柱的一个底面积为9 m 2，正四棱柱的侧面积为4×4×3＝48 (m 2)，

所以外壁面积为24π＝9＝48＝(24π＝39) (m 2)，

所以需要油漆(24π＝39)×0.2＝(4.8π＝7.8) (kg)＝

20.解：（1）因为四面体的三组对边分别相等，

所以四面体为某一长方体的六条面对角线组成的三棱锥，

设长方体的棱长为,,a b c ，则22222253441

a b b c a c +=+=+=，解得4

{3 5a b c ===，

所以四面体的体积1142063

V abc abc abc =-?==. （2）由（122252a b c ++=

所以外接球的半径为52r =， 所以外接球的表面积为2450S r ππ==.

21.解：(1)将圆锥的侧面沿SA 展开在平面上，如图.

S

M

A A ′

试卷第7页，总7页 则该展开图为扇形，且弧A A '的长度l '就是⊙O 的周长，所以ππ22=='r l . 所以000903604

223602=??=?'='∠πππr l A AS . 由题意知绳的最小值为展开图中的AM ，其值为)40(162≤≤+=x x AM . 所以)40(16)(22≤≤+==x x AM x f .

(2)由(1)知，当0=x 时，16160)(2min =+=x f ，此时绳子的最短长度的最小值为4；

当4=x 时，32164)(2max =+=x f ，此时绳子的最短长度的最大值为24.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/sv0e.html