求极限13种方法

求极限的13种方法（简叙）

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极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。

一、利用恒等变形求极限

利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。 例1、求极限

lim(1?a)(1?an??2)...(1?a) ，其中a?1

2n分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。 解 因为(1?a)(1?a)...(1?a)

122n(1?a)(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a1222n(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a12n?1(1?a) =1?a22n当

a2n?1n??时，

22n?1??,2n而

1 1?aa?1，故

1?a?0,从而lim(1?a)(1?a)...(n??)=

二、利用变量代换求极限

利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量，提高运算效率。常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。

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例2、求极限limnx?1mx?1x?1，其中m,n为正整数。

00分析 这是含根式的（）型未定式，应先将其利用变量代换进行化简，再进一步计算极限。 解 令t?x,则当x?1时，t?1

tn?1(t?1)(tn?1?tn?2?...?1)tn?1?tn?2?...?1n 原式=limm?lim?m?1m?2? m?1m?2t?1tt?1?1(t?1)(t?t?...?1)t?t?...?1m1mn三、利用对数转换求极限

利用对数转换求极限主要是通过公式uv?elnu?v,进行恒等变形，特别的情形，在（1?）型未定式时可直接运用uv?e(u?1)?v 例3、求极限limx?o(cosx)csc2x

1?sin2xlim22x?0sinx12e解 原式=limx?o(cosx?1)cscx2?e?e?

四、利用夹逼准则求极限

利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。 例4、求极限limn??n! nn分析 当我们无法或不易把无穷多个因子的积变为有限时，可考虑使用夹逼准则。 解 因为o?n!12n?1n1??????， nnnnnnnn!=0 nn且不等式两端当趋于无穷时都以0为极限，所以limn??五、利用单调有界准则求极限

利用单调有界准则求极限主要应用于给定初始项与递推公式

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在确定lim可由方程A=f(A)xn?1?f(xn)的数列极限。x存在的前提下，n??n解出A，则limx=A。 n??n例5、设a?0,x1?0,xn?11a?(3xn?3)，（n=1,2,…）,求极限limn??4xn xn。

分析 由于题中并未给出表达式，也无法求出，故考虑利用单调有界准则。

1a解 由a?0,x1?0,xn?1?(3xn?3)易知xn?0。

4xn根据算术平均数与几何平均数的关系，有

xn?1?1aa(xn?xn?xn?3)?4xnxnxn3?4a 4xnxn4所以，数列xn有下界4a，即对一切n?1,有xn?a

xn?11a1a?(3?4)?(3?)?1 又 xn4xn4a所以xn?1?xn,即数列单调减少。由单调有界准则知数列xn有极限。

4a?0. ?现设lim=A,则由极限的保号性知Axnn??对式子xn?11a1a?(3xn?3)两边同时取极限得A?(3A?3) 4xn4A44a（已舍去负根） 解得 A=a,即lim=xn??n六、利用等价无穷小求极限

利用等价无穷小求极限是求极限极为重要的一种方法，也是最为简便、快捷的方法。学习时不仅要熟记常用的等价无穷小，还应学会灵活应用。同时应注意：只有在无穷小作为因式时，才能用其等价无穷小替换。

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例6、求极限limx?1sinsin(x?1) lnx分析 此题中sin(x-1),sinsin(x-1),lnx均为无穷小，而均作为因式，故可以利用等价无穷小快速求出极限。 解 当x?1时，

x?1?0,则sinsin(x?1)~sin(x?1)~x?1,lnx?ln(1?x?1)~x?1

故原式=limx?1x?1?1 x?1七、利用导数定义求极限

利用导数定义求极限适用于(alim?b)?0满足f'(x0)存在。

1sin(a?)n]n，其中例7、求lim[0?a?1。 n??sinaf(x0?a)?f(x0?b)型极限，并且需要

a?b分析 初步可判断此题为（1?）型未定式，先通过公式uv?elnu?v,进行恒等变形，再进一步利用导数定义求得极限。

1sina(?)n]n=e解 lim [n??sina11sin(a?)lnsin(a?)?lnsinann而 limn?ln[ ]?limn??n??1sinan1lnsin(a?)?lnsinan由导数的定义知，表示函数lnsinx在x=a处的导limn??1n1sin(a?)n]?[lnsinx]'?cota。 数。即limn?ln[x?an??sina1sin(a?)n]limn?ln[n??sina八、利用洛必达法则求极限

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利用洛必达法则求极限适用于,,0??型未定式，其它类型未定式也可通过恒等变形转化为,,0??型。洛必达法则使用十分方便，但使用时注意检查是否符合洛必达法则的使用条件。

cosx?cos3x x2?sinx?3sin3x?cosx?9cos3x?lim?4 解 原式=limx?0x?02x20?0?0?0?例8、求极限limx?0注：连续两次使用洛必达法则

九、利用微分中值定理求极限

利用微分中值定理求极限的重点是学会灵活应用拉格朗日中值定理，即

f(a)?f(b)?f'(?),其中??（a,b)。

a?bex?esinx例9、求极限lim x?0x?sinx分析 若对函数f(x）?ex，在区间?sinx,x?上使用拉格朗日中值定理

ex?esinx?e?,其中??（sinx,x) 则：

x?sinxex?esinx?e?,其中??（sinx,x) 解 由分析可知

x?sinx又 x?0时，有sinx?0,sixn???x,故??0

ex?esinxlime??1 所以lim=x?0x?0x?sinx十、利用泰勒公式（麦克劳林公式展开式）求极限

利用泰勒公式（麦克劳林公式展开式）求极限是求极限的又一极为重要的方法。与其它方法相比，泰勒公式略显繁琐，但实用性非常强。 例10、求极限limx?0arctanx?arcsinx

tanx?sinx分析 若使用洛必达法则，计算起来会相当麻烦；同时分子并非两因

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式之积，等价无穷小也不适用，此时可以考虑用泰勒公式。

x3x33nx??o(x3) 解 当x?0时，由于arctanx?x??o(x),arcsxi?36tanx?sinx?tanx(1?cosx)~13x 2x3x313[x??o(x)]?[x??o(x3)]?x3?o(x3)36故 原式=lim?lim2??1 x?0x?01313xx22十一、利用定积分的定义求极限

由定积分的定义知，如果f(x)在?a，b?上可积，那么，我们可以对?a，b?用特殊的分割方法（如n等分），并在每一个子区间特殊地取点（如取每个子区间的左端点或右端点），所得积分和的极限仍是f(x)在

?a，b?上的定积分。所以，如果遇到某些求和式极限的问题，能够将

其表示为某个可积函数的积分和，就能用定积分来求极限。这里关键在于根据所给和式确定被积函数和积分区间。

2?(n?1)????sin)

nnn1?2?(n?1)?)看，若选被积函数为sin?x,解 从和式(sin?sin???sinnnnn1n?1当n??时分别趋于0与1，故积分区间为?0，1?. 则因分点与nn1将?0，1?等分，则有?xi?,从而有：

n11?2?(n?1)?121(sin?sin???sin)=?sin?xdx???cos?x?o? 原式=lim0n??nnnn??(sin例11、求极限limn??1n?sin?十二、利用级数收敛的必要条件求极限

级数具有以下性质：

un?0。所以对于某些极限limf(n),可以将函若级数?un收敛，则limn??n??n?1?数f(n)作为级数?f(n)的一般项，只需证明级数?f(n)收敛，便有

n?1n?1??6 / 7

limf(n),=0.

n??nn例12、求极限lim2

n??(n!)?nn解 令un?,对于正项级数un,有 ?(n!)2n?1un?1(n?1)n?1(n!)2(n?1)n1n1e lim?lim??lim?lim(1?)?lim?0 nnn??un??((n?1)!)2n??n??n??nn?1n?1n(n?1)nn?un?1 lim?0?1,由比值审敛法知，级数?un收敛。n??un?1nnn故lim2=0 n??(n!)十三、利用幂级数的和函数求极限

当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和。此时常常可以辅助性地构造一个函数在某点的值。

(1??例13、求极限limn???233n???) 2n?133分析 若构造幂级数?nxn?1，则所求极限恰好是此级数的和函数在

n?1x?1处的值。 3?解 考虑幂级数?nxn?1，

n?1由于 lim设s(x)=

an?1n?1 ?lim?1,故当x?（-1，1）时，该级数收敛。n??an??nn?nxn?1?n?1,于是

x1)'?, x?(?1,1), 21?x(1?x)?s(3)?9 47 / 7

s(x)= (?xn)'?(n?1? 从而 原式=?n?1?n3n?1

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