数值分析第四版习题及答案

第四版

数值分析习题

第一章 绪 论

1. 设x>0,x的相对误差为δ,求lnx的误差. 2. 设x的相对误差为2％,求x的相对误差.

3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试

指出它们是几位有效数字:

*****x1?1.1021,x2?0.031,x3?385.6,x4?56.430,x5?7?1.0.

n4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:

************(i)x1?x2?x4,(ii)x1x2x3,(iii)x2/x4,其中x1,x2,x3,x4均为第3题所给的数.

5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少? 6. 设Y0?28,按递推公式

Yn?Yn?1?1783100 ( n=1,2,…)

计算到Y100.若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算Y100将有多大误差?

27. 求方程x?56x?1?0的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982).

8. 当N充分大时,怎样求

???N1dx1?x2?

29. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝?

10. 设

S?12gt2假定g是准确的,而对t的测量有±0.1秒的误差,证明当t增加时S的

绝对误差增加,而相对误差却减小.

11. 序列{yn}满足递推关系yn?10yn?1?1(n=1,2,…),若y0?2?1.41(三位有效数

字),计算到y10时误差有多大?这个计算过程稳定吗?

612. 计算f?(2?1),取2?1.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?

113,(3?22),,99?702.63(2?1)(3?22)

13. f(x)?ln(x?x?1),求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?

若改用另一等价公式

2ln(x?x2?1)??ln(x?x2?1)

计算,求对数时误差有多大?

14. 试用消元法解方程组

?x1?1010x2?1010;x1?x2?2.假定只用三位数计算,问结果是否可靠?

15. 已知三角形面积

s?1?absinc,0?c?22,且测量a ,b ,c 的误差分别为其中c为弧度,

?a,?b,?c.证明面积的误差?s满足

?s?a?b?c???.sabc

第二章 插值法

1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令

1Vn(x)?Vn(x0,x1,,xn?1,x)?11 证明Vn(x)是n次多项式,它的根是x0,x0xn?1x2x0nx02xn?1nxn?1x2xn

,xn?1,且 ,xn?1)(x?x0)(x?xn?1).

Vn(x)?Vn?1(x0,x1,2. 当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式.

3. 给出f(x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值.

x lnx

0.4 -0.916291 0.5 -0.693147 0.6 -0.510826 0.7 -0.357765 0.8 -0.223144 4. 给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数

字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.

maxl2(x)x?x?khx0?x?x3k05. 设,k=0,1,2,3,求.

6. 设

xj为互异节点(j=0,1,…,n),求证:

kkxl(x)?x(k?0,1,?jjj?0n,n);

i)

ii)

?(xj?0nj?x)klj(x)???k?1,2,,n).

2f(x)?C?a,b?且f(a)?f(b)?0,求证maxa?x?b7. 设

1f(x)?(b?a)2maxf?(x).8a?x?b

xx8. 在?4?x?4上给出f(x)?e的等距节点函数表,若用二次插值求e的近似值,要使

截断误差不超过10,问使用函数表的步长h应取多少?

n449. 若yn?2,求?yn及?yn.

?610. 如果f(x)是m次多项式,记?f(x)?f(x?h)?f(x),证明f(x)的k阶差分

?kf(x)(0?k?m是)m?k次多项式,并且?m?lf(x)?0(l为正整数).

11. 证明?(fkgk)?fk?gk?gk?1?fk.

12. 证明k?0n?1?f?gkn?1k?fngn?f0g0??gk?1?fk.k?0n?1

13. 证明

??j?02yj??yn??y0.

14. 若f(x)?a0?a1x??an?1xn?1?anxn有n个不同实根x1,x2,,xn,证明

?f?(x)j?1jnxkj??0,0?k?n?2;?1an,k?n?1.

15. 证明n阶均差有下列性质: i)

若F(x)?cf(x),则F?x0,x1,,xn??cf?x0,x1,,xn?;

,xn??g?x0,x1,,28??.

ii) 若F(x)?f(x)?g(x),则F?x0,x1,0174f?2,2,f(x)?x?x?3x?116. ,求?,xn??f?x0,x1,,27??01f?2,2,及?,xn?.

17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是

R3(x)?f(4)(?)(x?xk)2(x?xk?1)2/4!,??(xk,xk?1)

并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.

18. 求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足P(0)?P(?k?1)并由此求出分段三

次埃尔米特插值的误差限.

19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式P(x),以便使它能够满足以下边界条

件P(0)?P?(0)?0,P(1)?P?(1)?1,P(2)?1.

20. 设f(x)?C?a,b?,把?a,b?分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数

?n(x)并证明当n??时,?n(x)在?a,b?上一致收敛到f(x).

221. 设f(x)?1/(1?x),在?5?x?5上取n?10,按等距节点求分段线性插值函数Ih(x),

计算各节点间中点处的Ih(x)与f(x)的值,并估计误差.

222. 求f(x)?x在?a,b?上的分段线性插值函数Ih(x),并估计误差. 4f(x)?x23. 求在?a,b?上的分段埃尔米特插值,并估计误差.

24. 给定数据表如下:

xj 0.25 0.5000 0.30 0.5477 0.39 0.6245 0.45 0.6708 0.53 0.7280 yj 试求三次样条插值S(x)并满足条件 i)

S?(0.25)?1.0000,S?(0.53)?0.6868;

ii) S?(0.25)?S?(0.53)?0.

2f(x)?C?a,b?,S(x)是三次样条函数,证明 25. 若

i)

?a?f?(x)?dx??a?S?(x)?dx??a?f?(x)?S?(x)?dx?2?aS?(x)?f?(x)?S?(x)?dx;

,n),式中xi为插值节点,且a?x0?x1??xn?b,则

.

b2b2b2bii) 若f(xi)?S(xi)(i?0,1,?baS?(x)?f?(x)?S?(x)?dx?S?(b)?f?(b)?S?(b)??S?(a)?f?(a)?S?(a)?26. 编出计算三次样条函数S(x)系数及其在插值节点中点的值的程序框图(S(x)可用

(8.7)式的表达式).

第三章 函数逼近与计算

1. (a)利用区间变换推出区间为?a,b?的伯恩斯坦多项式.

(b)对f(x)?sinx在?0,?/2?上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:

(a)当m?f(x)?M时,m?Bn(f,x)?M. (b)当f(x)?x时,Bn(f,x)?x. 3. 在次数不超过6的多项式中,求f(x)?sin4x在?0,2??的最佳一致逼近多项式. 4. 假设f(x)在?a,b?上连续,求f(x)的零次最佳一致逼近多项式. 5. 选取常数a,使0?x?1maxx3?ax达到极小,又问这个解是否唯一?

6. 求f(x)?sinx在?0,?/2?上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.

x7. 求f(x)?e在?0,1?上的最佳一次逼近多项式.

28. 如何选取r,使p(x)?x?r在??1,1?上与零偏差最小?r是否唯一? 43f(x)?x?3x?1,在?0,1?上求三次最佳逼近多项式. 9. 设

***10. 令Tn(x)?Tn(2x?1),x??0,1?,求T0(x),T1(x),T2(x),T3(x).

11. 试证

?T*n(x)?是在?0,1?上带权

??1x?x2的正交多项式.

?112. 在??1,1?上利用插值极小化求1f(x)?tgx的三次近似最佳逼近多项式. xf(x)?e13. 设在??1,1?上的插值极小化近似最佳逼近多项式为Ln(x),若f?Ln?有

界,证明对任何n?1,存在常数?n、?n,使

?nTn?1(x)?f(x)?Ln(x)??nTn?1(x)(?1?x?1).

14. 设在??1,1?上

?(x)?1?11331541655x?x2?x?x?x28243843840,试将?(x)降低到3次

多项式并估计误差.

15. 在??1,1?上利用幂级数项数求f(x)?sinx的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.

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