2009学年第二学期徐汇区高一数学学习能力诊断卷（A、B卷）（附答

2009学年第二学期徐汇区高一年级数学学科 学 习 能 力 诊 断 卷 （A卷） 2010.6.

（考试时间：100分钟，满分100分） 一 题号 1-14 得分 15-18 19 20 21 22 23 二 三 四 五 六 七 总分

一、填空题（本大题满分42分）本大题共14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分

1、若数列?an?满足：a1?1,an?1?2an(n?N*)，则a3= 。 2、若sin???,tan??0，则sin2?= 。

3、若等差数列?an?的首项a1?2，前三项和为15，则通项公式an= 。

4、已知?ABC的周长为18，若sinA:sinB:sinC?2:3:4，则此三角形中最大边的长为 。 5、设等比数列?an?的公比q?451S，前n项和为Sn，则4? 。 2a46、已知数列?an?的前n项和为Sn?n2?2n(n?N*)，则数列?an?的通项公式an= 。 7、在?ABC中，?A?1200,AB?5,BC?7，则?ABC的面积为 。 8、等比数列?an?中，若a3和a13是方程2x2?21x?8?0的两个根，则a8= 。 9、已知数列?an?为等差数列，前n项和为Sn，若S4?8,S8?20,则S12? 。 10、函数y?arcsinx(?1?x?0)的反函数为 。

11、已知数列?an?的通项公式为an?n2?kn?2(n?N*)，若数列?an?为单调递增数列，则实数k的取值范围是 。

12、已知数列?an?为等差数列，a1?a3?a5?105,a2?a4?a6?99，前n项和为Sn，则Sn取最大值时n的值为 。

13、在数列?an?中，a1?1,a2?2，且an?2?an?1?(?1)n(n?N*)，前n项和为Sn，则S100= 。 14、设函数f(x)的图象与直线x?a,x?b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在?a,b?上的面积。

2????2?已知函数y?sinnx在?0,?上的面积为(n?N*)，则y?sin3x在?0,n?3?n?? ?上的面积为 。

?二、选择题（本大题满分12分）本大题共4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得3分；不选、错选或者多选（不论是否写在圆括号内），一律得零分

15、在?ABC中，若sinA?cosB?0,则这个三角形的形状是（ ）

（A）锐角三角形 （B）钝角三角形 （C）直角三角形 （D）不能确定

16、用数学归纳法证明：(n?1)(n?2)?(n?n)?2n?1?3??(2n?1)(n?N*)，从k到k?1时，等式左边需增乘的代数式是（ ） （A）2k?1 （B）

2k?12k?3 （C）2(2k?1) （D） k?1k?117、已知函数f(x)?sin(x?)(x?R)，现有四个命题：（1）函数f(x)的最小正周期为2?；

?2???

（2）函数f(x)在区间?0,?上是增函数；（3）函数f(x)的图象关于直线x?0对称；

2??

（4）函数f(x)是奇函数。其中真命题的个数是（ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

an?1218、若数列?an?满足2?p(p为正常数，n?N*)，则称数列?an?为“等方比数列”。

an甲：数列?an?是等方比数列； 乙：数列?an?是等比数列，则（ ） （A）甲是乙的充分非必要条件 （B）甲是乙的必要非充分条件 （C）甲是乙的充要条件 （D）甲是乙的非充分非必要条件

三、解答题（本大题满分46分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤 19、（本题满分8分）每小题满分各为4分

设函数f(x)?cos(2x??11)?cos2x? 3222C1,f()??，且C为锐角，求角A。 224（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期； （2）设A、B、C为?ABC的三个内角，若cosB?

20、（本题满分8分）每小题满分各为4分

某工程队为支援抗旱，需连续作业打一口30米深的井．工程队预计每打深1米与所需时间的对应关系如下表所示：

第1米 20分钟 第2米 24分钟 第3米 28分钟 第4米 32分钟 …… …… 如果每打深1米所需时间按表中规律依次增加，问：

(1)打最后1米需多少分钟？ (2)打完这口井共需多少分钟？ 21、（本题满分10分）第(1)小题满分为4分；第(2)小题满分为6分

?1a,n为偶数?31?2n设数列?an?的首项a1?，且an?1??，记bn?a2n?1?(n?N*)。

44?a?1,n为奇数n?4?（1）求a2,a3；（2）求b1,b2,b3并判断数列?bn?是否为等比数列？试证明你的结论。

22、（本题满分10分）第(1)小题满分为4分；第(2)小题满分为6分

如图，某市拟在长为8千米的道路OP的

y 一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为

S 曲线段OSM，该曲线段为函数23y?Asin?x(A?0,??0),x??0,4?的图象，

且图象的最高点为S(3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定?MNP?1200。

（1）求A,?的值和M，P两点间的距离；

O 1 3 1 M N P 4 8 x （2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？ 23、（本题满分10分）第(1)小题满分为2分；第(2)小题满分为4分；第(3)小题满分为4分

已知等比数列的?an?前n项和An?()n?c(n?N*,c为常数），数列?bn?(bn?0)的首项为c，且前n项和Bn满足Bn?Bn?1?Bn?Bn?1(n?2,n?N*)。（1）求常数c的值；（2）求数列?bn?的通项

13?1?k?Tn恒成立，求实数k的最大值。T公式；（3）设数列?前项和为，若对任意正整数， nn?nbbn?nn?1?

答案：（A卷）

一、填空题： 1、4 ；2、

1524； 3、3n?1(n?N*)； 4、8； 5、15；6、2n?1(n?N*)； 7、3

4254???8、?2； 9、36； 10、y?sinx,x???,0?； 11、k??3； 12、20； 13、2600； 14、

?2?3

二、选择题：

15、B； 16、C； 17、C； 18、B

三、解答题：

19、（1）f(x)?12?32sin2x，??????2分 所以f(x)1?3max?2，最小正周期为???????4分

（2）cosB?22?B??4，??????5分 f(C2)?12?32sinC??14?sinC?32，??????6分 且C为锐角，故C??3??????7分

所以A?????5?4?3?12??????8分

20、(1) 设工程队打第n米所需时间为an（分钟），

由条件可得数列{an}为等差数列，且a1?20,d?4，???????????1分

故an?a1?(n?1)?d?20?(n?1)?4?n4?16n?(?Nn,，??30?)????2a30?4?30?16?136（分钟），即打最后1米需136分钟．????????4分

(2) 由题意可知，打完这口井共需时间为数列{a30(20?136)n}的前30项和，故S30?2?2340，

即打完这口井共需要2340分钟．??????????????????????8分

21、（1）a?1112?a14?1,a3?2a2?2；??????4分

（2）因为a13134?a3?4?4,a5?2a4?8，

所以ba1111111?1?4?2,b2?a3?4?4,b3?a5?4?8,??????7分

猜想数列?b?是公比为1n2的等比数列，??????8分

分

111111111?a2n??(a2n?1?)??(a2n?1?)?bn 42424424211所以数列?bn?是首项为，公比为的等比数列??????10分

22证明如下：bn?1?a2n?1?注：若用数学归纳法证明，则相应给分 22、（1）依题意，有A=23， 即y?23sinx

2?T?，所以??，??????2分 ?3，又T??46?6 当x?4时， y?23sin2??3 3 故M(4,3),又P(8,0)，?MP?42?32?5??????4分 （2）解法一：?MNP中，?MNP=1200,MP?5

设?PMN??,则00???600， 由正弦定理得：

MPNPMN??， 00sin120sin?sin(60??)103103sin?,MN?sin(600??)，??????6分 3310310310313sin??sin(600??)?(sin??cos?) 故NP?MN?33322103sin(600??)??????8分 =3?NP??00???600,???300时，

即?PMN设计为300时，折线段赛道MNP最长。??????10分 解法二：?MNP中，?MNP=1200,MP?5

由余弦定理得：MP2?MN2?NP2?2MN?NP?cos?MNP 即 MN2?NP2?MN?NP?25??????6分

?MN?NP?故(MN?NP)2?25?MN?NP???

2??232??????8分 (MN?NP)?254103?即 MN?NP，当且仅当MN=NP时等号成立。

3从而

亦即设计为MN=NP时，折线段赛道MNP最长。??????10分

1?1??1?23、（1）a1??c,an?An?An?1??????3?3??3?nn?1?1???2??(n?2)

?3?nn?1?因为数列?an?是等比数列，所以a1也适合an??2??(n?2)，

?3?即有?c??2?,解得c?1??????2分

（2）由（1）知b1?c?1,又Bn?Bn?1?Bn?Bn?1(n?2,n?N*)， 所以(Bn?Bn?1)(Bn?Bn?1)?Bn?Bn?1(n?2,n?N*)， 由b1?c?1知Bn?Bn?1?0，故Bn?Bn?1?1(n?2,n?N*)， 所以数列从而

1313?B?是首项为nB1?b1?1，公差为1的等差数列。

Bn?1?(n?1)?1?n，Bn?n2(n?N*)??????5分

所以bn?Bn?Bn?1?n2?(n?1)2?2n?1(n?2)，

b1?1也适合上式，故bn?2n?1(n?N*)??????6分

（3）由（2）得：Tn?111111????????? b1b2b2b3bnbn?11?33?5(2n?1)(2n?1)111111n ??????8分 ?(1???????)?23352n?12n?12n?1若对任意正整数n，

k?Tn恒成立， nn2n2(n?N*) 即k?对任意正整数n恒成立，设dn?2n?12n?12n2?4n?1?dn?1?dn??0；?数列?dn?单调递增，

(2n?3)(2n?1)故(dn)min?d1?

111； ?k?，即k的最大值为??????10分 3332009学年第二学期徐汇区高一年级数学学科 学 习 能 力 诊 断 卷 （B卷） 2010.6.

（考试时间：100分钟，满分100分） 一 题号 1-14 得分 15-18 19 20 21 22 23 二 三 四 五 六 七 总分 一、填空题（本大题满分42分）本大题共14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则

一律得零分 1、已知数列?an?是等差数列，若a1?5,a2?2，则公差d? 。 2、若数列?an?满足：a1?1,an?1?2an(n?N*)，则a3= 。

454、已知实数a,b,c成等比数列，若ac?4，则b= 。

3、若sin???,?是第三象限角，则tan?= 。 5、在?ABC中，若tanB??3，则B= 。 36、已知等差数列?an?的首项a1?2，前三项和为15，则通项公式an= 。

7、已知?ABC的周长为18，若sinA:sinB:sinC?2:3:4，则此三角形中最大边的长为 。 8、已知数列?an?是等差数列,若a5?2,则a2?a8? 。 9、设等比数列?an?的公比q?1S，前n项和为Sn，则4? 。 2a410、已知数列?an?的前n项和为Sn?n2?2n(n?N*)，则数列?an?的通项公式an= 。

1?x?0)的反函数为 。 11、函数y?arcsinx(?12、设等差数列?an?的前n项和为Sn，则S4,S8?S4,S12?S8成等差数列。类比以上结论有：设等比数列?bn?的前n项积为Tn，则T4， ，

T12成等比数列。 T813、已知数列?an?，?bn?都是等差数列，且a1?5,b1?15,a100?b100?100，数列?cn?满足

cn?an?bn(n?N*)，则数列?cn?的前100项和是 。

14、函数f(x)?sinx?2sinx,x??0,2??的图象与直线y?k有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 。

二、选择题（本大题满分12分）本大题共4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得3分；不选、错选或者多选（不论是否写在圆括号内），一律得零分 15、如果数列?an?是一个以q为公比的等比数列，bn??2an(n?N*)，那么数列?bn?是（ ） （A）以q为公比的等比数列 （B）以?q为公比的等比数列 （C）以2q为公比的等比数列 （D）以?2q为公比的等比数列 16、在?ABC中，若cosB?0,则这个三角形的形状是（ ）

（A）锐角三角形 （B）钝角三角形 （C）直角三角形 （D）不能确定 17、在数列?an?中，如果an?41?2n(n?N*)，那么使这个数列的前n项和Sn取得最大值时n的值为（ ）

（A）19 （B）20 （C）21 （D）22

18、已知函数f(x)?sin(x?)(x?R)，现有四个命题：（1）函数f(x)的最小正周期为2?；

?2???

（2）函数f(x)在区间?0,?上是增函数；（3）函数f(x)的图象关于直线x?0对称；

2??

（4）函数f(x)是奇函数。其中真命题的个数是（ ）

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

三、解答题（本大题满分46分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤 19、（本题满分8分）每小题满分各为4分

已知函数f(x)?sinx?sin(（1）若f(?)?

?2?x)(x?R)。

3，求sin2?的值；（2）求f(x)的最大值和最小值。 420、（本题满分8分）每小题满分各为4分

在?ABC中，若?A?1200,AB?5,BC?7。 求：（1）AC的长；（2）?ABC的面积。

21、（本题满分10分）其中每小题满分各为5分

某工程队为支援抗旱，需连续作业打一口30米深的井．工程队预计每打深1米与所需时间的对应关系如下表所示： 第1米 20分钟 第2米 24分钟 第3米 28分钟 第4米 32分钟 …… …… 如果每打深1米所需时间按表中规律依次增加，问：

(1)打最后1米需多少分钟？ (2)打完这口井共需多少分钟？

22、（本题满分10分）每小题满分各为5分

已知函数f(x)?Asin(x??)(A?0,0????),x?R的最大值是1，其图象经过点M(,)。

?132（1）求函数f(x)的解析式；

（2）已知?,??(0,)，且f(?)?,f(?)??23512，求f(???)的值。 13 23、（本题满分10分）第(1)小题满分为6分；第(2)小题满分为4分

已知等比数列的?an?前n项和An?()n?1(n?N*)，数列?bn?(bn?0)的首项为1，且前n项和Bn满足Bn?Bn?1?1(n?2,n?N*)。（1）求数列?an?和?bn?的通项公式；

13?1?1000（2）若数列?的最小正整数n是多少？ ?前n项和为Tn，问满足Tn?2009?bnbn?1?

答案：（B卷）

一、填空题：

1、?3 ； 2、4 ； 3、

45?； 4、?2； 5、； 6、3n?1(n?N*)； 7、8； 8、4； 9、15； 3610、2n?1(n?N*)；11、y?sinx,x???????2,0??； 12、T8T； 13、6000； 14、1?k?3 4二、选择题：

15、A； 16、B； 17、B； 18、C 三、解答题： 19、f(x)?sinx?sin(?2?x)?sinx?cosx ?????2分

（1）?f(?)?34,?sin??cos??34， ??????3分 sin2??(sin??cos?)2?1??716 ?????4分

（2）f(x)?sinx?sin(??x)?sinx?cosx??22sin(x?4) ?f(x)的最大值为2，最小值为?2??????8分

20、（1）设AC?x

由余弦定理得：72?52?x2?2?5?x?cos1200??????2分

x2?5x?24?0,x?3

故AC=3??????4分 （2）S1AB?AC?sinA?1?5?3?sin1200153?ABC?22?4??????8分

21、(1) 设工程队打第n米所需时间为an（分钟），

由条件可得数列{an}为等差数列，且a1?20,d?4，???????????2分

故an?a1?(n?1)?d?20?(n?1)?4?n4?16n?(?Nn,，??30?)????3a30?4?30?16?136（分钟），即打最后1米需136分钟．????????5分

(2) 由题意可知，打完这口井共需时间为数列{a30(20?136)n}的前30项和，故S30?2?2340，

即打完这口井共需要2340分钟．??????????????????????10分 22、（1）依题意：A=1，则f(x)?sin(x??)??????2分

将点M(?,1)代入得sin(?323??)?12 ?0??????5??3???6,??2??????4分

分 故f(x)?sin(x??2)?cosx??????5分

35（2）依题意：cos??,cos??12 13?45??,??(0,),?sin??,sin??,??????7分

251356f(???)?cos(???)?cos?cos??sin?sin????????10分

65nn?1

12?1??1?23、（1）a1??1??,an?An?An?1??????33?3??3??1???2??(n?2)

?3?n?1?因为a1适合an??2??(n?2)，

?3??1?所以an??2??(n?N*)??????2分

?3?因为Bn?Bn?1?1(n?2,n?N*)， 所以数列从而

nn?B?是首项为nB1?b1?1，公差为1的等差数列。

Bn?1?(n?1)?1?n，Bn?n2(n?N*)??????4分

所以bn?Bn?Bn?1?n2?(n?1)2?2n?1(n?2)，

b1?1也适合上式，故bn?2n?1(n?N*)??????6分

（2）由（1）得：Tn?111111????????? b1b2b2b3bnbn?11?33?5(2n?1)(2n?1)111111n??????8分 ?(1???????)?23352n?12n?12n?1n1000，即9n?1000，故最小正整数n?112??????10分 ??2n?12009

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