学生版二次根式知识讲解(基础)

课前诊断：

一．选择题

1（2015?绵阳）要使代数式有意义，则x 的（ ）.

A. 最大值是23 B ．最小值是23 C. 最大值是32 D. 最小值是32

2. 若1a <,化简2(1)-1=a - ( ).

A.2a -

B.2a -

C.a

D.a -

3.下列说法正确的是（ ）

A ．4是一个无理数

B ．函数11

y x =-的自变量x 的取值范围是x ≥1 C ．8的立方根是2± D.若点(2,)-3)P a Q

和点（b ，关于x 轴对称，则a b +的值为5. 4. 若a 不等于0，a 、b 互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对数是( ).

A.与

B.与

C.与

D.与

二. 填空题

5.当x______时，式子x -在实数范围有意义；

当x_______时，式子2

x -在实数范围有意义.

6.=____________. 若，则____________. 7．（1）2)53(-=_____________.

（2）9622++-a a a （a>0）=__________________________.

三、解答题

8. 当x 为何值时，下列式子有意义？

（121x +2x -

（3）1y x =

- （4）1

y x =-；

二次根式

【学习目标】

1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.

2、理解并掌握下列结论： a ≥0，（a ≥0），（a ≥0），（a ≥0），并利用它们进行计算和化简．

【要点梳理】

要点一、二次根式及代数式的概念

1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)?的式子叫做二次根式，“

”称为二次根号． 要点诠释：

二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.

2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质

1.a ≥0，（a ≥0）；

2. （a ≥0）；

3.

. 要点诠释：

1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，

即2()(0a a a =≥）.

2.2a 与2()a 要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2()a 中a ≥0，2a 中a 为任意值。

2).a ≥0时，2()a =2a =a ；a <0时，2()a 无意义，2a =a -.

【典型例题】

类型一、二次根式的概念

1（2015春?潍坊期中）下列各式中

，一定是二次根式的有（ ）个．

A.2

B.3

C.4

D.5

【答案】 B

【解析】2231x +-，B ．

【总结升华】0．

举一反三：

【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）.

（1）13；（2）3-； （3）21x -+；（4）38； （5）21()3-；（6）1x -（1x >） A ．2 B.3 C.4 D.5

2. x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？

（1）1y x =

-； （2）y=2+x －x 23-；

【答案与解析】 （1）

1x -≥0，所以x ≥1. （2）2x +≥0,32x -≥0,所以2-≤x ≤32

； 【总结升华】重点考查二次根式的概念：被开方数是正数或零. 举一反三：

【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）.

A. 23-

B. ()20.3-

C. 2-

D. x

类型二、二次根式的性质

3. 计算下列各式：

(1)23

2()4

--2(3.14)π- 【答案与解析】(1) 33=-2=-42

?原式. (2) =3.14-=-3.14ππ原式.

【总结升华】 二次根式性质的运用.

举一反三：

【变式】（1）2)2

52(-=_____________. （2）2)2(2a a ---=_____________.

4. （2015春?孝南区月考）已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示， 化简：22||()||a a c c b b -++---|．

【解析】解：由图可知，a ＜0，c ＜0，b ＞0，且|c|＜|b|，

所以，a+c ＜0，c ﹣b ＜0，

22||()||a a c c b b -++---=﹣a+a+c+b ﹣c ﹣b=0. 【总结升华】根据数轴判断出a 、b 、c 的正负性，根据二次根式的性质与化简、绝对值的性质，正确进行计算即可.

举一反三：

【变式】若整数m 满足条件2(1)1,,5

m m m +=+<且则m 的值是___________. 二次根式（基础）

【巩固练习】

一、选择题

1.下列根式是最简二次根式的是（ ）.

A ．8

B ．24x y +

C ．

D ．

2. 已知，化简二次根式的正确结果为（ ）.

A. B. C. D.

二、填空题

3.22x x --2(1)x -=_______________.

4. （2015?罗平县校级模拟）已知，1≤x≤322(1)(3)x x --= ．

5.有如下判断：

（1）110y xy x =155=1 (3)55552424

=+(4)332363=5222516541-==（6a b a b ?=

成立的条件是,a b 同号.其中正确的有_____个.

三 综合题

6. 已知实数x ，y 满足

，求代数式2013()x y 的值.

7. （2015春?黄冈校级期中）求值

（1）已知a 、b 满足

，解关于x 的方程（a+2）x+b 2=a ﹣1． （2）已知x 、y 都是实数，且，求y x 的平方根．

【答案与解析】 课前诊断： 一、 选择题 1．【答案】A.

【解析】解：∵代数式有意义，

∴2﹣3x≥0，解得x≤23

． 故选：A ． 2．【答案】D . 【解析】因为1a < 原式=1111a a a --=--=-.

3．【答案】 D.

【解析】 4=2是有理数；11

y x =-的x 的取值范围是x>1;8的立方根是2； 因为(2,)-3)P a Q

和点（b ，关于x 轴对称，所以3,2a b ==，及5a b +=,所以选D. 4．【答案】 C.

二、填空题

5.【答案】 x ≤0；x=0.

6.【答案】2;7x m -=±.

7.【答案】(1) 45; (2) -3.

三、 解答题

8.【解析】 （1）

21x +≥0，即x 为任意实数； （2）

2x -≥0，即2x ≤0，即x =0. （3）

10,1x x ->∴> （4）0,10,0 1.x x x x ≥-≠∴≥≠且.

巩固练习答案：

1．【答案】 B.

【解析】 根据最简二次根式的性质，A,D 选项都含有能开方的项，C 选项含有分母，所以选B.

2．【答案】 D.

【解析】 因为，2

y x -是被开方数，所以y<0,x<0, 所以原式=x y x -y --.

3.【答案】 -1. 【解析】因为22x x -+-=0，所以2-x ≥0，x-2≥0，所以x=2;则原式=2(12)1-=-.

4.【答案】 2.

【解析】 ∵1≤x≤3，

∴1﹣x≤0，x ﹣3≤0，

∴22(1)(3)x x -+-=x-1+3-x=2.

故答案为：2．

5.【答案】 2个.

【解析】只有（1），（3）正确.

6.【解析】 因为.

，所以x=5，y=-4. 则2013()x y +=2013(54)-=1

7.【解析】解：（1）根据题意得：

， 解得：，

则（a+2）x+b 2=a ﹣1即﹣2x+3=﹣5，

解得：x=4；

（2）根据题意得：

， 解得：x=3．

则y=4，

故原式=43=64，

∴y x 的平方根为：±8．

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