向量组线性相关与线性无关

更新时间：2023-12-21 01:15:01 阅读量：教育文库文档下载

说明：文章内容仅供预览，部分内容可能不全。下载后的文档，内容与下面显示的完全一致。下载之前请确认下面内容是否您想要的，是否完整无缺。

安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文

向量组线性相关与线性无关的判别方法

摘要向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的

线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法.

关键词向量组线性相关线性无关矩阵秩

1 引言

在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的.

2 向量组线性相关和线性无关的定义

定义设向量组?1,?2,?,?m都为n维向量，如果数域P中存在一组不全为零的数

k1,k2km,使k1?1?k2?2?k3?3???km?m?0则称向量组是线性相关, 反之，若数域

km，使

P中没有不全为零的数k1,k2 k1?1?k2?2?k3?3???km?m?0，

称它是线性无关.

3 向量组线性相关和线性无关的判定方法 3.1 一个向量与两个向量线性相关的判定方法

由定义可以看出，零向量的任何一个线性组合为零，只要取系数不为零，即可以得出这个向量是线性相关的.

命题1 一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量.

关于两个向量的线性相关性判断可以转化为向量的成比例判断.

???b1,b2?bn?线性相关的充要条件是ai 命题2 两个n维向量???a1,a2,?,an?，

与bi?i?1,2?n?对应成比例.

第 1 页共 1 页

安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文

证明假设???a1,a2,?,an?，则存在不全为0的数k1,k2，???b1,b2?bn?线性相关，使得k1??k2??0,即k1???k2?,不妨设k1?0,令k??k2则 k1 ?a1,a2,?an???kb1,kb2?kbn? 因此ai?kbi?i?1,2?n?也就是说ai与bi?i?1,2?n?成比例. . 反过来，若ai?kbi?i?1,2?n?，??k??0，所以?,?线性相关. 3.2 多个向量的线性相关与线性无关判别方法命题3 若向量组?1,?2,?,?m线性相关，则任一包含这组向量的向量组都线性相关. 证明设?1,?2,?,?m线性相关，?1,?2,?,?m,?m?1,?,?m?s是包含?1,?2,?,?m的一组向量，由于?1,?2,?,?m线性相关，则存在一组不全为零的数k1,k2km使得

k1?1?k2?2?k3?3???km?m?0此时有

k1?1?k2?2?k3?3???km?m?0?m?1???0?m?s?0,

因此，?1,?2,?,?m,?m?1,?,?m?s线性相关.证毕.

由命题3可知，在多个向量构成的向量组中，如果该向量组中含有零向量或包含成比例的两向量，那么这个向量组必定线性相关.

命题4 含有零向量或成比例的两向量的向量组必线性相关.

3.2.1 运用定义判定

由定义判断向量组的线性相关性是最直接的方法，于是我们知道若想判断一个向量组的线性相关性只要求出线性表示的相关系数，并由系数的值便可以判断出向量组是否线性相关.

例1 设?1??1??2,?2??2??3,?,?m?1??m?1??m，证明，当m为偶数时，

?1,?2,?3,?m线性相关.

km?m?0，即

，

证明令k1?1?k2?2?k3?3?k1?a1?a2??k2?a2?a3????km?am?a1??0又即

?k1?km?a1??k2?k1?a2????km?km?1?am?0

第 2 页共 2 页

，

安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文

取

k1?k3???km?1?1,k2?k4???km??1，

则有

k1?1?k2?2?k3?3???km?m?0.

由线性相关的定义知，?1,?2,?,?m线性相关.

3.2.2 用向量组的秩和矩阵的秩判断

向量组的秩是指向量组中任一个极大无关组所含的向量个数.

命题5 一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含的向量的个数相同. 若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的，若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的.

例2 设向量组?1??2,?1,3,1?,?2??4,?2,5,4?,?3??2,?1,4,?1?，判断?1,?2,?3的线性相关性.

解

k1?1?k2?2?k3?3??2k1?4k2?2k3,?k1?2k2?k3,3k1?5k2?4k3,k1?4k2?k3???0,0,0,0?得k1?k2?k3?0，于是?1,?2,?3线性无关.

例3 设向量组?1,?2,?,?m线性无关，且可由向量组?1,?2,?,?m线性表示.证明：

?1,?2,?,?m也线性无关，且与?1,?2,,?m等价.

证明如果?1,?2,?,?m线性相关，假设?1,?2,?,?r是它的一个极大无关组，如果

r?m,就说明了?1,?2,?,?m就是它本身的极大无关组，当然是线性无关的,出现矛盾！下

面考虑r?m.又因为向量组?1,?2,?,?m可由?1,?2,?,?m线性表示，则?1,?2,?,?m也可由?1,?2,?,?m线性表示,于是有m?r,矛盾！

由于?1,?2,?,?m线性无关，则R??1,?2,?,?m??m,又?1,?2,?,?m可由

?1,?2,?,?m线性表示,所以，

??1,?2,?,?m????1,?2,?,?m,?1,?2,?,?m?等价，所以

R??1,?2,?,?m,?1,?2,?,?m??m.

于是?1,?2,?,?m和?1,?2,?,?m都是??1,?2,?,?m,?1,?2,?,?m?的极大无关组.所以

第 3 页共 3 页

安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文

它们是等价的，证毕.

命题6 设?1,?2,?,?m为n维列向量,矩阵A?(?1,?2,?,?m). (i)当R?A??m时，向量组?1,?2,(ii)当R?A??m时，向量组?1,?2,例4 判断向量组?1?2,1,0,5?m线性相关; ?m线性无关.

,?2?7,?5,4,?1?????? ,?3?3,?7,4,?11???线性相关性.

解利用矩阵的初等行变换将方程组的系数矩阵A化为行阶梯形矩阵

?1-5-7??1-5-7??1-5-7??273?????????1-5-7011011273???? ?????? A? ??01?00?04?044?1?0?4?????????5-1-110110005-1-11????????由行阶梯形矩阵知R?A??2?3,所以向量组?1,?2,?3是线性相关的.

上面是以?1,?2,?3为列向量组构造矩阵，根据矩阵的行秩与列秩的关系，用?1,?2,?3为行向量组构造矩阵，在进行初等行或者列变换也可以得到相同的结果.

3.2.3 利用行列式的值判断

命题7 若?1??a11,a12,?,a1n?,?2??a21,a22,?,a2n?,?,?n??an1,an2,?,ann?,以

?1,?2,?,?n作为列向量构成的矩阵A?(?1,?2,?,?n)是一个方阵，

?a11?aA??12????a1n(i)当A?0时，向量组?1,?2,(ii)当A?0时，向量组?1,?2, 例5 设?1?1,1,1a21?an1?a22?an2?? ?????a2n?ann??n线性相关. ?n线性无关.

???,?2?1,2,3???,?3??1,3,t?问t取何值时，向量组

??1,?2,?3线性相关.

解向量组?1,?2,?3的个数和维数相等都为3，

第 4 页共 4 页

安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文

111A?123?t?5

13t可见当t?5时，A?0，所以向量组?1,?2,?3线性相关.