《优化探究》2015年高三数学（理科）二轮复习课时作业 1-5-2

课时跟踪训练

1．(2014年武汉模拟)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C；

(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．

解：(1)证明：如图，取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.

∵CA＝CB， ∴OC⊥AB.

∵AB＝AA1，∠BAA1＝60°，

∴△AA1B为等边三角形，∴OA1⊥AB. ∵OC∩OA1＝O，∴AB⊥平面OA1C. 又A1C?平面OA1C， ∴AB⊥A1C.

(2)由(1)知，OC⊥AB，OA1⊥AB.

又∵平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB， ∴OC⊥平面AA1B1B， ∴OA，OA1，OC两两垂直．

→→

以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正方向，|OA|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz.

由题设知A(1,0,0)，A1(0，3，0)，C(0,0，3)，B(－1,0,0)．

→→→→

则BC＝(1,0，3)，BB1＝AA1＝(－1，3，0)，A1C＝(0，－3，3)． 设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量， →??n·BC＝0?x＋3z＝0则?，即?.

→?－x＋3y＝0?BB1＝0?n·

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