2012高考数学二轮专题综合训练 - 圆锥曲线（分专题，含答案）

圆锥曲线综合训练题

一、求轨迹方程：

x2y21、（1）已知双曲线C1与椭圆C2：??1有公共的焦点，并且双曲线的离心率e1与椭

36497圆的离心率e2之比为，求双曲线C1的方程．

3（2）以抛物线y2?8x上的点M与定点A(6,0)为端点的线段MA的中点为P，求P点的轨迹方程．

（1）解：C1的焦点坐标为(0,?13).e2?e71313由1?得e1?设双曲线的方程为7e233?a2?b2?13yxy2x2?2222??1(a,b?0)则?a?b??1 13 解得a?9,b?4 双曲线的方程为a2b294??9?a222x0?6?x???x0?2x?6?2（2）解：设点M(x0,y0),P(x,y)，则?，∴?．

y?2yy?0?y?0??22代入y0?8x0得：y?4x?12．此即为点P的轨迹方程．

22、（1）?ABC的底边BC?16，AC和AB两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．（2）△ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=求点A的轨迹方程．

3sinA,5BC中点为原点建立直角坐标系．解： （1）以BC所在的直线为x轴，设G点坐标为?x，y?，

由GC?GB?20，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因a?10，

x2y2c?8，有b?6，故其方程为??1?y?0?．设A?x，y?，G?x?，y??，则

10036x??x?，?x?2y?2?3??1?y??0?． ①由题意有?代入①，得A的轨迹方程为

y10036?y???3?x2y2??1?y?0?，其轨迹是椭圆（除去x轴上两点）． 900324（2）分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=

33sinA 2RsinC-2RsinB=22RsinA 553∴AB?AC?BC

5即AB?AC?6 （*）

∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4

x2y2??1 （x>3） 所求轨迹方程为

916点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M（-4，1）分别射向直线y= -2上两点P（x1，y1）和Q（x2，y2）

x2y2后，反射光线恰好通过椭圆C：2?2?1（a>b>0）的两焦点，已知椭圆的离

ab心率为

61，且x2-x1=，求椭圆C的方程. 25x2y2解：设a=2k，c=k，k≠0，则b=3k，其椭圆的方程为?2?1. 24k3k 由题设条件得：

0?21?(?2)， ① ??k?x1?4?x10?21?(?2)， ② ??k?x2?4?x2x2-x1=

6， ③ 511x2y2??1. 由①、②、③解得：k=1，x1=?，x2=-1，所求椭圆C的方程为

5434、在面积为1的?PMN中，tanM?1，tanN??2，建立适当的坐标系，求出以M、2N为焦点且过P点的椭圆方程．

解：以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设P(x,y)． ?y?x?c??2,则?∴1?y?,??x?c2?cy?1.??∴所求椭圆方程为4x2y2??1 1535?x??52?3c即P(,)∴?233?y?4c且c?3?2?34?25??1,?215??12a23b2?a?,得4 ???a2?b2?3,?b2?3.??4?5、已知点P是圆x2+y2=4上一个动点，定点Q的坐标为（4，0）． （1）求线段PQ的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ的平分线交PQ于点R（O为原点），求点R的轨迹方程． 解：（1）设线段PQ的中点坐标为M（x，y），由Q（4，0）可得点P（2x-4，2y），代入圆的方程x2+y2=4可得（2x-4）2+（2y）2=4，整理可得所求轨迹为（x-2）2+y2=1. （2）设点R（x，y），P（m，n），由已知|OP|=2，|OQ|=4，∴

|OP|1?，由角平分线|OQ|2性质可得

1|OP||PR|1?=，又∵点R在线段PQ上，∴|PR|=|RQ|，∴点R分有向线

2|OQ||RQ|21?m??4?2m?423x?4???x?m?13??1?1?2段PQ的比为，由定比分点坐标公式可得?，即，∴2??23y?n?1?n??0?2?2n?y?2??131??2??3x?43y??3x?4??3y?点P的坐标为?, ?，代入圆的方程x2+y2=4可得??????4，

222?????2?16164?4??? 即?x??+y2=（y≠0）. ∴点R的轨迹方程为?x??+y2=（y≠0）.

993?3???6、已知动圆过定点?1,0?，且与直线x??1相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C的方程；(2) 是

2222uuuvuuuv否存在直线l，使l过点（0，1），并与轨迹C交于P,Q两点，且满足OP?OQ?0？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 解：（1）如图，设M为动圆圆心， F?1,0?，过点M作直线x??1的垂线，垂足为N，

由题意知：MF?MN， 即动点M到定点F与定直线x??1的距离相等，由抛物

线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F?1,0?为焦点，x??1为准线， ∴ 动点

R的轨迹方程为y2?4x

（2）由题可设直线l的方程为x?k(y?1)(k?0)，

?x?k(y?1)由?2得y2?4ky?4k?0 ?y?4x2 △?16k?16?0，k??1或k?1

设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则y1?y2?4k，y1y2?4k

???????????????? 由OP?OQ?0，即 OP??x1,y1?，OQ??x2,y2?，于是x1x2?y1y2?0，

即k2?y1?1??y2?1??y1y2?0，(k2?1)y1y2?k2(y1?y2)?k2?0，

2k??4或k?0（舍去） 4k(k2?1)， ?k2?4k?k?，解得0又k??4??1， ∴ 直线l存在，其方程为x?4y?4?0

y2x2?1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2.（I）求此双曲线的渐近7、设双曲线2?3a线l1、l2的方程；（II）若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|?5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III）过点N(1，0)能否作出直线l，使l与双

??曲线交于P、Q两点，且OP2OQ?0.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

解：（I）?e?2，?c2?4a2 ?c2?a2?3，?a?1，c?2

x23?1，渐近线方程为y?? ?双曲线方程为y?x 332 4分

（II）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点Mx，y

???2|AB|?5|F1F2|55?|AB|?|F1F2|??2c?1022?(x1?x2)2?(y1?y2)2?10

33x1，y2??x2，2x?x1?x2，2y?y1?y23333?y1?y2?(x1?x2)，y1?y2?(x1?x2)33又y1???3(y1?y2)?2?3???(x1?x2)??10?3?21x23y22??1 ?3(2y)?(2x)?100，即375252 则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为103，短轴长为（9分）

（III）假设存在满足条件的直线l

设l：y?k(x?1)，l与双曲线交于P(x1，y1)、Q(x2，y2)

103的椭圆.3???OP2OQ?0?x1x2?y1y2?0?x1x2?k2(x1?1)(x2?1)?0?x1x2?k2?x1x2?(x1?x2)?1??0(i)?y?k(x?1)?由?2x2得(3k?1)x2?6k2x?3k2?3?02?y?3?1k?3?0 由（i）（ii）得?6k23k2?3则x1?x2?2，x1x2?2(ii)3k?13k?1 ∴k不存在，即不存在满足条件的直线l.

x2y2??1上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对8、设M是椭圆C:124称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．

解：设点的坐标M(x1,y1),N(x2,y2)(x1y1?0),E(x,y),

则P(?x1,y1),Q(?x1,?y1),T(x1,?y1),??1分

?x12???12 ?2?x2???12y12?1,????(1)14???3分 由（1）－（2）可得kMN?kQN??.?

23y2?1.????(2)4x1y,所以kQN?1.直线QN的方程为y13x16分又MN⊥MQ，kMN?kMQ??1,kMN??

解方程组??x?2y?3?0得交点M的坐标为（－5，4）．此时MF1?MF2最小．

?x?y?9?0所求椭圆的长轴：2a?MF1?MF2?FF2?65，∴a?35，又c?3，

x2y2??1． ∴b?a?c?35?3?36．因此，所求椭圆的方程为

4536x2y221、已知动点P与双曲线－=1的两个焦点F1、F2的距离之和为6．

23222??22（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若PF1?PF2=3，求⊿PF1F2的面积； （Ⅲ）若已知D(0,3)，M、N在轨迹C上且DM=?DN，求实数?的取值范围．

1x2y2解：①+=1；②2；③[,5]

59422、 E、F是椭圆x2?2y2?4的左、右焦点，l是椭圆的右准线，点P?l，过点E的直

线交椭圆于A、B两点.（1）当AE?AF时，求?AEF的面积；（2）当AB?3时，求AF?BF的大小；（3）求?EPF的最大值．

?m?n?41解：（1）?2?S?mn?2 ?AEF2m?n?82??AE?AF?4??AB?AF?BF?8， （2）因?BE?BF?4??则AF?BF?5.

（3）设P(22,t)(t?0) tan?EPF?tan(?EPM??FPM)

yAPMBEOFx?(32232?222t223， ?)?(1?)???ttt2t2?6t?6t?133??EPF?30? 3当t?6时，tan?EPF?23、已知定点A(0,1)、B(0,?1)、C(1,0)，动点P满足：AP?BP?k|PC|.（1）求

动点P的轨迹方程，并说明方程表示的图形；（2）当k?2时，求|AP?BP|的最大值和最小值．

解：(1)设动点P的坐标为(x,y)，

???????????????2则AP?(x,y?1)，BP?(x,y?1)，PC?(1?x,y). ∵AP?BP?k|PC|2，∴x2?y2?1?k(x?1)2?y2， 即 (1?k)x2?(1?k)y2?2kx?k?1?0.

若k?1，则方程为x?1，表示过点(1,0)且平行于y轴的直线. 若k?1，则方程为(x?表示以(????????????????????k212)?y2?()， 1?k1?kk1,0)为圆心，以为半径的圆. 1?k|1?k|(2)当k?2时，方程化为(x?2)2?y2?1.

???AP?BP?(x,y?1)?(x,y?1)?(2x,2y)

?????????∴|AP?BP|?2x2?y2. 又∵(x?2)2?y2?1，

∴ 令x?2?cos?,y?sin?，则

|AP?BP|?2x2?y2?25?4cos?

∴当cos??1时，|AP?BP|的最大值为6，当cos???1时，最小值为2.

????????????x2y2??1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C长轴的左、24、点A、B分别是以双曲线

1620右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，且位于x轴上方，PA?PF?0 （1）

求椭圆C的的方程；（2）求点P的坐标；（3）设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M的距离d的最小值．

解（1）已知双曲线实半轴a1=4，虚半轴b1=25，半焦距c1=16?20?6， ∴椭圆的长半轴a2=c1=6，椭圆的半焦距c2=a1=4，椭圆的短半轴b2=62?42?20，

x2y2??1 ∴所求的椭圆方程为

3620（2）由已知A(?6,0),F(4,0)，设点P的坐标为(x,y)，则

AP?(x?6,y),FP?(x?4,y),由已知得 ?x2y2??1? 3620??(x?6)(x?4)?y2?0?32则2x?9x?18?0，解之得x?或x??6，

235?35?3，所以点P的坐标为?,，于是y?3?9分

22?22?m?6（3）直线AP:x?3y?6?0，设点M是(m,0)，则点M到直线AP的距离是，

2m?6于是?m?6，

2又∵点M在椭圆的长轴上，即 ?6?m?6?m?2 ∴当m?2时，椭圆上的点到M(2,0)的距离

由于y>0，所以只能取x?

5x249d?(x?2)?y?x?4x?4?20??(x?)2?15

9929又?6?x?6 ∴当x?时，d取最小值15

2222225、已知在平面直角坐标系xoy中，向量j?(0,1),?OFP的面积为23，且

uuuruuruuur3OF?FP?,tOM?3uuurruuvuuv .（I）O?Pj设4?t?43,求向量OF与FP的夹角?的取值范围；

（II）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且

|OF|?c,t?(3?1)c2,当|OP|取最小值时，求椭圆的方程.

解：（1）由23?1|OF|?|FP|?sin?,得|OF|?|FP|?43,由cos??OF?FP?tsin?，

2sin?|OF|?|FP|43

得tan??43.…………………………………………………………………3分

t?4?t?43?1?tan??3???[0,?] ∴夹角?的取值范围是（

??,） 43………………………………………………………………6分

（2）设P(x0,y0),则FP(x0?c,y0),OF?(c,0).

?????????OF?FP?(x0?c,y0)?(c,0)?(x0?c)c?t?(3?1)c2 ?1???43S?OFP?|OF|?|y0|?23?y0??2c?x0?3c

…………………………………………………………………………………………8分 ????4324322?|OP|?x0?y0?(3c)2?()?23c??26………………10分

cc∴当且仅当3c?43,即c?2时,|OP|取最小值26,此时,OP?(23,?23) c?OM?3(23,23)?(0,1)?(2,3) 33或OM?3(23,?23)?(0,1)?(2,?1) …………12分

椭圆长轴2a?(2?2)2?(3?0)2?(2?2)2?(3?0)2?8或2a?(2?2)2?(?1?0)2?(2?2)2?(?1?0)2?1?17?a?4,b2?12

?a?1?1721?17

,b?22x2y2??1.或x2?y2?1 …………14分 故所求椭圆方程为

16129?171?172226、已知点F(0,1)，一动圆过点F且与圆x2?(y?1)2?8内切．

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）设点A(a,0)，点P为曲线C上任一点，求点A到点P距离的最大值d(a)；（Ⅲ）在0?a?1的条件下，设△POA的面积为S1（O是坐标原点，P是曲线C上横坐标为a的点），以d(a)为边长的正方形的面积为S2．若正数m满足S1?mS2，问m是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由． 解（Ⅰ）设动圆圆心为M(x,y)，半径为r，已知圆圆心为E(0,?1)， 由题意知|MF|?r，|ME|?22?r，于是|ME|?|MF|?22，

y2?1． 所以点M的轨迹C是以E、F为焦点，长轴长为22的椭圆，其方程为x?2（Ⅱ）设P(x,y)，则|PA|2?(x?a)2?y2?(x?a)2?2?2x2??x2?2ax?a2?2 ??(x?a)2?2a2?2，令f(x)??(x?a)2?2a2?2，x?[?1,1]，所以，

当?a??1，即a?1时f(x)在[?1,1]上是减函数，?f(x)?max?f(?1)?(a?1)2；

?a]上是增函数，在[?a,1]上是减函数，当?1??a?1，即?1?a?1时，f(x)在[?1,2则?f(x)?max?f(a)?2a2?2；

当?a?1，即a??1时，f(x)在[?1,1]上是增函数，?f(x)?max?f(1)?(a?1)2．

a??1?1?a,??2所以，d(a)??2a?2,?1?a?1 ．

?1?a,a?1??（Ⅲ）当0?a?1时,P(a,?2?2a2),于是S1?1a2(1?a2),S2?2a2?2,（12分） 2a2(1?a2)122若正数m满足条件，则a2(1?a)?m(2a?2)，即m?，

24(a2?1)a2(1?a2)a2(1?a2)22t?a?1a?t?1， t?(1,2)，令，设，则，m?f(a)?22228(a?1)8(a?1)2(t?1)(2?t)1??t2?3t?2?1?23?1?13?1???????1????于是f(a)?， ?2???22??8?t4?t4?648tt??8?t1341所以，当?，即t??(1,2)时，[f(a)]max?，

t43642即m?2111，m?．所以，m存在最小值． 648827、已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件|PM|-|PN|=22. 记动点P的轨迹为W.

（1）求W的方程；（2）若A、B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA?OB的最小值．

（1）由|PM|-|PN|=22知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a=2. 又半焦距c=2，故虚半轴长b=c2?2?2.

x2y2 所以W的方程为??1，x≥2.

22（2）设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）.

22当AB⊥x轴时，x1=x2，y1=y2，从而OA2OB=x1x2+y1y2=x1?y1?2.

当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，与W的方程联立，消去y得 （1-k2）x2-2kmx-m2-2=0，

2kmm2?2故x1+x2=，x1x2=2， 21?kk?1所以OA2OB=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2

(1?k2)(m2?2)2k2m22k2?242=??m??2?. 2222k?11?kk?1k?1又因为x1x2>0，所以k2-1>0，从而OA2OB>2. 综上，当AB⊥x轴时，OA2OB取得最小值2.

28、一束光线从点F1(?1,0)出发，经直线l:2x?y?3?0上一点P反射后，恰好穿过点F2(1,0)．（Ⅰ）求点F1关于直线l的对称点F1?的坐标；（Ⅱ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；（Ⅲ）设直线l与椭圆C的两条准线分别交于A、B两点，点Q为线段AB上的动点，求点Q 到F2的距离与到椭圆C右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q的坐标．

解：（Ⅰ）设F1?的坐标为(m,n)，则

n1m?1n??且2???3?0．??2分 m?1222

得：y2?4ty?4?0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有y1y2??4，

2????????y12y2x1x2???1. ?OA?OB?1x2x?441y21?y4??3?，0?

于是?AOB为钝角，故O在圆内. ??????6分 （Ⅱ）设直线AB的方程为x?ty?b,代入抛物线y2?4x消去x，得

y2?4ty?4b?0.设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1?y2?4t ，y1y2??4b.

?????????OA?OB?x1x2?y1y2?(ty1?b)(ty2?b)?y1y2?t2y1y2?bt(y1?y2)?b2?y1y2

=?4bt?4bt?b?4b?b?4b．

令b2?4b??4,?b?2.，∴直线AB过定点（2，0）．???????13分

2222x2y252、已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)上存在一点P到椭圆左焦点的距离与到椭圆右准线的

ab距 离相等．（I）求椭圆的离心率e的取值范围；（II）若椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，

最小值为1，求椭圆C的方程；（Ⅲ）若直线l:y?kx?m与（II）中所述椭圆C相交于A、

B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点A2，求证：直线l

过定点，并求出该定点坐标．

a2解:（Ⅰ）设点P的坐标为P(x,y)，则|PF|=a?ex，∴a?ex=?x， 整理得：

c2a2(a?c)a(a?c)，而x?a，∴x??a，解得2?1?e?1

c(a?c)c(a?c)（II）a?c?3,a?c?1，?a?2,c?1,b?3，

2x2y2??1． ∴椭圆的方程为43?y?kx?m,?（Ⅲ）设A(x2,y2),B(x2,y2)，联立?x2y2

?1,???43得(3?4k)x?8mkx?4(m?3)?0．

222????64m2k2?16(3?4k2)(m2?3)?0,即3?4k2?m2?0?8mk?,则?x1?x2?? 23?4k??4(m2?3).?x1?x2?3?4k2?3(m2?4k2)又y1y2?(kx2?m)(kx2?m)?kx1x2?mk(x1?x2)?m?，

3?4k222∵椭圆的右顶点为A2(2,0),AA2?BA2,，

?(x2?2)(x2?2)?y1y2?0,?y1y2?x1x2?2(x1?x2)?4?0,

3(m2?4k2)4(m2?3)16mk????4?0,?7m2?16mk?4k2?0, 2223?4k3?4k3?4k

解得：m1??2k,m2??

2k22，且均满足3?4k?m?0， 7 当m1??2k时，l的方程为y?k(x?2)，直线过定点?2,0?，与已知矛盾． 当m2??2k2时，l的方程为y?k(x?)， 77直线过定点??2??2?直线l过定点，定点坐标为?,0?． ,0?， ∴

?7??7??3??2?53、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A??2,0?、B?2,0?、C?1,?三点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线l：y?k?x?1?（k?0）与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在一条定直线上．

x2y2（Ⅰ）解法一：当椭圆E的焦点在x轴上时，设其方程为2?2?1（a?b?0），

ab则a?2，又点C?1,?在椭圆E上，得

?3??2?192??1b?3． ．解得2224bx2y2??1． ∴椭圆E的方程为43x2y2当椭圆E的焦点在y轴上时，设其方程为2?2?1（a?b?0），

ba则b?2，又点C?1,?在椭圆E上，得

?3??2?192??1a?3，这与a?b矛盾． ．解得2224ax2y2??1． ??4分 综上可知，椭圆E的方程为43解法二：设椭圆方程为mx2?ny2?1（m?0,n?0），将A??2,0?、B?2,0?、C?1,?代

?3??2??4m?1,11x2y2???1． 入椭圆E的方程，得?解得m?，n?．∴椭圆E的方程为93443m?n?1.??4x2y2??1并整理，得（Ⅱ）证法一：将直线l：y?k?x?1?代入椭圆E的方程43?3?4k?x22?8k2x?4?k2?3??0，设直线l与椭圆E的交点M?x1,y1?，N?x2,y2?，

4?k2?3?8k2由根与系数的关系，得x1?x2?，x1x2?． ??8分

3?4k23?4k2直线AM的方程为：y??6y1?y1P4,x?4，它与直线的交点坐标为x?2????，同理

x1?2?x1?2?可求得直线BN与直线x?4的交点坐标为Q?4,??2y2??． ??10分 x2?2?下面证明P、Q两点重合，即证明P、Q两点的纵坐标相等：

∵y1?k?x1?1?，y2?k?x2?1?，

6k?x1?1??x2?2??2k?x2?1??x1?2?6y12y2∴ ??x1?2x2?2x?2x?2?1??2??8?k2?3?40k2?2k???8?223?4k3?4k2k?2x1x2?5?x1?x2??8??????????0．

x?2x?2x?2x?2?1??2??1??2?因此结论成立．

综上可知，直线AM与直线BN的交点在直线x?4上． ??14分

x2y2??1并整理，得证法二：将直线l：y?k?x?1?，代入椭圆E的方程43?3?4k?x22?8k2x?4?k2?3??0， ??6分

设直线l与椭圆E的交点M?x1,y1?，N?x2,y2?，

4?k2?3?8k2由根与系数的关系，得x1?x2?，x1x2?． ??8分 223?4k3?4kk?x1?1?y1直线AM的方程为：y??x?2?，即y??x?2?．

x1?2x1?2直线BN的方程为：y?k?x2?1?y2，即x?2y????x?2?． ??10分

x2?2x2?2由直线AM与直线BN的方程消去y，得

2x1x2?3?x1?x2??4x2?2?2x1x2?3x1?x2?2???

x??x1?3x2?4?x1?x2??2x2?4?8?k2?3?24k2??4k2?6?2???4x?24??x22?2?3?4k3?4k??3?4k2?????4． ? ?228k4k?6?4?2x??x22223?4k3?4k∴直线AM与直线BN的交点在直线x?4上． ??14分

x2y2??1并整理，得证法三：将直线l：y?k?x?1?，代入椭圆方程43?3?4k?x22?8k2x?4?k2?3??0， ??6分

设直线l与椭圆E的交点M?x1,y1?，N?x2,y2?，

4?k2?3?8k2由根与系数的关系，得x1?x2?，x1x2?． ??8分 223?4k3?4k消去k得，2x1x2?5?x1?x2??8． ??10分

2直线AM的方程为：y?k?x1?1?y1，即x?2y????x?2?．

x1?2x1?2k?x?1?y2?x?2?，即y?2?x?2?． ??12分 x2?2x2?2直线BN的方程为：y?由直线AM与直线BN的方程消去y得，

5?x1?x2??8?3x1?x2?2?2x1x2?3x1?x2?2????4．

x??x1?3x2?4x1?3x2?4∴直线AM与直线BN的交点在直线x?4上． ??14分

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