教材中一类不等式的教学设计_在_玩_中学习数学

2005年　第44卷　第7期数学通报29

教材中一类不等式的教学设计

———在“玩”中学习数学

王文清

(山东省滨州市教研室　256618)

2000年定居我国天津的美籍华人大数学家陈省身先生给青少年数学爱好者的题词是“数学好玩”.这充分表达了一位大数学家对数学的浓厚兴趣.还有的数学家说“数学是玩出来的”.这说明数学学习不应当是枯燥乏味的、晦涩难懂的,而应当是通过积极的智力参与,内容出发,在“玩”学、来的”同时,.“数学是玩出来的”中的“玩”不仅有“变式、变换、猜想、探索、推广、应用”的含义,而且要环环相扣,使数学学习变成一系列的“智力游戏”.下面以人教社全日制普通高级中学教科书(试验修订本 必修)数学第二册

(上)第六章不等式中的一类不等式的教学为例,看

ab

因为a,b是正数,所以am-bm与an-bn同号或同时为0,即(am-bm)(an-bn)Ε0.

即am+n+bm+n-(ambn+anm)Ε0.an+bm+namnm.,a,b+,a+bΕab+ab,这

5

5

4

4

5

5

32

23

:a4b+ab4和a3b2+a2b3谁大谁小呢?

容易猜想:a4b+ab4Εa3b2+a2b3.(证明略).进一步可猜想:

推广2　如果a,b是正数,那么am+nbm+

mm+n

Εam+n-1bm+1+am+1bm+n-1(m,n∈N,nΕ

2)(当且仅当a=b时取“=”号).

推广3　如果a,b是正数,n∈N3,m>0,k>

0,且m+k=n,那么an+bnΕambk+akbm(当且仅

“数学是怎样玩出来的”.

本章中有下面的一组不等式:

11已知a,b是正数,且a≠b,求证:a3+b3>

ab+ab.

2

2

当a=b时取“=”号).

推广1、推广2易证,这里从略.

2　在“玩”中得结论

21如果a,b是正数,且a≠b,求证:a6+b6>

ab+ab.

42

24

若a,b,c是正数,则

a+bΕab+ab,a+cΕac+ac,b+

3

3

2

2

3

3

2

2

3

1　在“玩”中作推广

cΕbc+bc,

3

2

2

如果将a2+b2Ε2ab写成a2+b2≥a1b1+

ab,结合a+b>ab+ab和a+b>ab+ab,略加比较很容易想到下面的一般结论:(以下

2411

3

3

2

2

6

6

42

所以2(a3+b3+c3)Εa(b2+c2)+b(a2+c2)

22

+c(a+b)Εa 2bc+b 2ac+c 2ab=6abc.

所以a3+b3+c3Ε3abc.于是,得

定理1　如果a,b,c是正数,那么a3+b3+c3Ε3abc,当且仅当a=b=c时上式取“=”号.

若a,b,c,d是正数,则

a+bΕab+ab,a+cΕac+ac,

44

4

3

3

4

4

3

333

的推广我们在2000年全市的数学教学研讨会的公开课上已经出现).

推广1　如果a,b是正数,那么am+n+bm+nΕ

mnnm

ab+ab(m,n∈N)(当且仅当a=b时取“=”

号).

证明　am+n+bm+n-(ambn+anbm)=am(an-nmnnmmnnb)+b(b-a)=(a-b)(a-b).

a+dΕad+ad,b+cΕbc+bc,

4

3

3

4

4

3

b+dΕbd+bd,c+dΕcd+cd.

4

4

3

3

4

4

3

所以3(a4+b4+c4+d4)Εab(a2+b2)+

30数学通报　　　　　　　　　2005年　第44卷　第7期

+ac,b+cΕbc+bc,

2

3

3

2

2

2222222

ac(a+c)+ad(a+d)+bc(b+c)+bd(b+222d)+cd(c+d).

所以2(a3+b3+c3)Εa2(b+c)+b2(a+c)

2

+c(a+b).

Ε2a2b2+2a2c2+2a2d2+2b2c2+2b2d2+

2c2d2

2222222222

=2(ab+cd)+2(ac+bd)+2(ad+22bc)

例2　(1997年美国奥林匹克题)设a,b,c∈

R+,证明:

b+c+abc

4

4

3

3

Ε4abcd+4abcd+4abcd=12abcd.所以a4+b4+c4+d4≥4abcd.

定理2　如果a,b,c,d是正数,那么a+b+

c+dΕ4abcd,当且仅当a=b=c=d时上式取

4

4

+

c+a+abc

3

3

+

a+b+abc

3

3

Φ

abc

.

3

“=”号.

由定理1和定理2可以猜想:

猜想1　如果a1,a2,a3,…,an(nΕ2)是正数,

nnnn那么a1+a2+a3+…+anΕna1a2a3…an,当且仅

+3

b+c+abc

+3Φ1.333

c+a+abca+b+abc

证明　原不等式Ζ

①

当a1=a2=a3=…=an时上式取”=”号.

对定理1中的字母作变换“a3→a,b3→b,c3→c”得

定理3,,bc3

3

Φ232

b+c+abcbc++abc

,ac

,3,3

a+b+cΦ.33

a+b+ca+b+abc

因为

3

abc,即

3

,a=b=c

将得到的以上三个不等式相加,即得不等式①.从而原不等式得证.

充分挖掘和发挥教材的各项育人功能,在教育界已经达成共识.找准“生长点(知识的、方法的、能力的)”使学生通过积极的智力参与,在“变化、类比、猜想、探索、推广、应用”———“玩”中,掌握数学基础知识,建立数学知识之间的联系,形成良好的数学知识结构,学会探索、推广数学问题的方法,学会创新.在“玩”中学习数学,不仅能使学生弄清数学知识之间的来龙去脉,学会做数学,而且能提高学生对学习数学的兴趣,培养学生的数学能力,发展学生的智力,直到达到“变难学为易学”“变不会学为会学”“变苦学为乐学”“变厌学为爱学”的目标.让我们乘着新课改的东风,使学生在“玩”中学习数学,在感受“数学是玩出来的”同时,实现“数学好玩”的目标吧!

参考文献

时上式取”=”号.

对定理2中的字母作变换“a4→a,b4→b,c4→c,d4→d”得

定理4　如果a,b,c,d是正数,那么a+b+c

+dΕ4

4

abcd,即

4

n

Ε

4

abcd,当且仅

n

n

当a=b=c=d时上式取“=”号.

对猜想1中的字母作变换“a1→a1,a2→a2,a3→a3,…,an得n→an”

猜想2　如果a1,a2,a3,…,an(aΕ2)是正数,那么a1+a2+a3+…+anΕn

Ε

n

n

n

1a2a3…an即

1a2a3…an,当且

仅当a1=a2=a3=…=an时上式取“=”号.

3　在“玩”中学应用

例1　已知a,b,c是不全相等的正数,求证:

2(a3+b3+c3)Εa2(b+c)+b2(a+c)+c2(a

+b).(第六章复习参考题第四题).

1　李秀元.由教材例习题引发的思考.中学数学教学参考,2004,3

2

3

3

2

证明　因为a+bΕab+ab,a+cΕac

3

3

2

2　徐文兵.用“零件不等式”证明一类带界的分式不等式.数学

通讯,2003,5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/su11.html