微分几何期末1

1、等距变换一定是保角变换 （×） 2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （√）

22A(u,v)du?2B(u,v)dudv?B(u,v)dv?0总表示曲面上两族曲线. 3、二阶微分方程

（×）

4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的 （×） 5、坐标曲线网是正交网的充要条件是F?0，这里F是第一基本量 （√） 6、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。 ( √ ) 7、空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状与位置。 ( × ) 8、在曲面的非脐点处，最多有二个渐近方向。 ( √ ) 9、LN-M2不是内蕴量。 ( × )

10、高斯曲率恒为零的曲面一定是可展的。 ( √ )

....????????11、曲线r=r(s)为一般螺线的充要条件为(r,r,r)=0 （√）

??12、主法向量正向总是指向曲线凹入的方向。（√）

13、不存在两条不同曲线,使得一条曲线的主法线都是另一曲线的主法线。（×） 14、曲面上平点对应的杜邦指标线是一条直线。（× ） 15、每一个可展曲面或是柱面,或是锥面,或是一条曲线的切线曲面。（√ ） 16、椭圆的曲率和挠率特征为k=1,τ=0。( × ) 17、若曲线的所有切线都经过定点,则该曲线一定是直线. ( √ )

18、球面曲线的主法线必过球心 （×） 19、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0. ( × ) 20、曲面上的渐进网一定存在. （×）

21、在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一。 ( √ ) 22、圆的曲率、挠率特征是：k=常数，τ=0。 ( × ) 23、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。 ( √ )

24、高斯曲率 与第二基本形式有关，不是内蕴量。 ( × ) 25、曲面上连接两点的最短线一定是测地线。 ( × ) 26、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。 ( √ ) 27、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。 ( √ ) 28、存在第一类基本量E=1，F=3，G=3的曲面。 ( ╳ )

29、LN-M2是内蕴量。 （ √ ） 30、曲面上一定存在着曲率线网和渐近线网 ( ╳ )

31、保角变换一定是等距变换 （?） 32、空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. （?） 33、高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. （? ） 34、测地曲率是内蕴量 （? ）

35、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0. ( × 36、曲面上曲率线网一定存在. ( √ )

37、存在第一类基本量E=1，F=-3，G=3的曲面 ( × ) 38、高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量。 ( × ) 39、曲面上的直线一定是测地线。 ( √ )

11、半径为R的圆的曲率为R. 2、曲面的坐标曲线网正交的充要条件是F=0 , 3、坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是F?M?0.

E4、在脐点处曲面的第一, 第二类基本量满足L?FM?GN_, 5、使法曲率达到最大值和最小值的方向是主方向方向.

?6、向量函数r=r(t)具有固定长的充要条件是

r??r?,?0。 ??(?r?,??,??r,,????,?,??r,,,),,27、曲线r=r(t)的挠率是(r?r)。

8、曲面上曲纹坐标网是渐近网的充要条件L=N=0。 9、直纹曲面的高斯曲率值满足K?0。 10、球面上的测地线是大圆。

?..11、曲线r=r(s)的曲率定义是

|r|。

) 12、空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量_与一固定方向成定角__。 13、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是M=0。 14、坐标网是渐近线网的充要条件是 L=N=0 。 15、平面上的测地线一定是__直线__。

16、当曲线参数是自然参数时，它的一阶导向量的长度是_1_。

22?{0，，}22__，17、螺旋线X??cost,sint,t?在点（1,0,0）处的单位切向量是__法平面方程是__

y?z?0__。

18、设?为曲面?上曲线，点P在?上，?在P点的测地曲率为1，又?在P点沿?切方向的法曲率为2，则?在P点的曲率为

5 。

19、曲面的第一、二、三基本形式的关系是 III?2HII?KI?0 。

?r(r,(t),r,,(t),r,,,(t))20、向量函数(t)平行于固定平面的充要条件是 21、曲率是空间曲线的切向量对于弧长的旋转速度.

22、以杜邦(Dupin)指标线为分类标准,曲面上的点分为椭圆点,双曲点,抛物点,平点.

23、曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率的最大值和最小值. 24、曲面的第三基本形式是它的球面表示 的第一基本形式.

?25、若曲面?和曲面?1:X?{x,y,2}等距，则?的高斯曲率K= 0 。

2,?(F(u)?{F(u),G(u),v}26、柱面X的第一基本形式为

?0?G2(u),)du2?dv2。

27、设?若曲面?上的曲线，若?既是渐近线又是测地线，则?是 直线 。

又若曲面上的曲线?既是渐近线又是曲率线，则?是 平面曲线 。

?232X(u,v)?u,u?2uv,u?3uv28、曲面

??在点A（1，3，4）的切平面方

程是

6x?3y?2z?7?0 。

29、曲面上曲线的弧长是____等距___不变量。

30、球极投影给出（除北极外）到平面的一个变换是___保角____变换。 31、圆的曲率和挠率特征为k=大于零的常数__，τ=0_。 32、曲率恒等于0的曲线是____直线_____。

33、在曲面上的任意点，主方向的数目总为__2___。

??0?x?33r?{cosx,sinx,cos2x}2， 34、已知，

?则?? 1{?3cosx,3sinx,?4}?{sixn,cxos , ， 5 ，?? ? ?? 1{4cosx,?4sinx,?3}5 ，?? 625sinx2

??0?v?r?{ucosv,usinv,6v}u?02，则它的第一35、已知曲面，，

?12基本形式为

du?(u?36)dv?36(u2?36)2222 ，第二基本形式为 u?362dudv ，高

斯曲率K? ，平均曲率 H? 0 ，点(1,0,0)处沿方向

?2437du:dv?2的法曲率 1517 ，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为

?

66,3737

32r(t)?{cost,sint,cos2t} 1、已知空间正则参数曲线

①求基本向量?,?,?. ②求r(t)的曲率和挠率

(0?t??2.

),22r?{?3sintcost,3sintcost,?2sin2t} 答：

r,,?{?3cos2t?6sin2tcost,6sintcos2t?3sin3t,?4cos2t}r,,,?{21sintcos2t?6sin3t,6cos3t?21sin2tcost,8sin2t}r,?5sintcost3r?r?sin2t{cost,?sint,?}4152,,,r?r?sin2t4 34k???25sintcost25sitncto s,,,2sintcost??{?3cost,3sint,?4}??{4cots?,45sintcost55

??????sintcost{sint,cost,0}sintcost3sti?n,5

}

2、求曲面z = axy上坐标曲线x = x0,y =

y0的交角.

?解 ；曲面的向量表示为r={x,y,axy}, 坐标曲线x = x0的向量表示为

??r={ x0,y,ax0y } ，其切向量ry={0，1，ax0}；坐标曲线y =y0的向

??r量表示为r={x , y0,axy0}，其切向量x={1，0，ay0}，设两曲线

x = x0与y =y0的夹角为?，则有cos? =

??rx?rya2x0y0???22|rx||ry|1?a2x01?a2y0

22z?a(x?y)在原点处的主曲率、高斯曲率和平均曲率，并判断原3.求抛物面

点是否为脐点.

?22r?{x,y,a(x?y)}，

解； 曲面方程即，

???rx?{1,0,2ax}ry?{0,1,2ay}，rxx?{0,0,2a}，

??rxy?{0,0,0},ryy?{0,0,2a} 。

在（0，0）点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a .22n?{0,0,1}所以?N-4a?N+4a=0 ，

EG?F2?1 ，

两主曲率分别为

?1 = 2 a , ?2= 2 a

L?2a,M?0,N?2a ，k1?2a,k2?2a

2K?4a所以，高斯曲率平均曲率H=(1/2)*(k1+k2)=2a

?r?a?3t?t3?,3at2,a?3t?t3?4、求曲线 的曲率和挠率：?a?0? ???323r?a3t?t,3at,a3t?tr??3a1?t2,6at,3a1?t2??解：因为

?????22???222???r?r?18at?1,?36at,18at?1r?????6at,6a,6?at ，，

???????r??32a?1?2t?r??r???182a2?1?t2? ，， ???????????3??????r,r,r?216ar??????6a,0,6a?????????，??????，

?????? ，，

k? 所以

13a?1?t22???，

13a?1?t22?

?r?ucosv,usinv,cv??上的曲率线。

5.确定螺旋面

解 对于正螺面

?r??ucosv,usinv,cv?，

E?1,F?0,G?u2?c2,?cL?0,M?,N?0.22u?c

dv2?????????dudv??????????du2 ??????????????????????????u2?c2?0 ??????? 曲率线的方程为 化简得

?cu?c22??????????，

?du2??u2?c2?dv2?0du22，

即

u?c??dv。 积分得

lnu?u2?c2??v?c。

所求曲率线为

lnu?u2?c2?v?c1lnu?u2?c2?v?c2，

。

22I?v(du?dv)，v?0，求坐标曲线的

6.已知曲面的第一基本形式为

测地曲率.

E?1G?0F?0E?G?vvu解 ，，，

Ev1?gu????2EG2vv u-线的测地曲率

?g?vv-线的测地曲率

Gu?02GE

33z?x?y7、求曲面的渐近曲线.

??2?33r?{u,v,u?v}ru?{1,0,3u}rv?{0,1,?3v2}??1?ru?rvn????{?3u2,3v2,1}|ru?rv|9u4?9v4?1

??L?n?ruu?6u????ruu?{0,0,6u} ruv?0 rvv?{0,0?,v6 }??9u4?9v4?1 M?n?ruv?0

?6v9u4?9v4?1

vd?v0

32??N?n?rvv?22Ldu?2Mdudv?Ndv?0 又

22?udu?vdv? udu?u32?v?C1 (?u)?v?C2

3232?t8、 求曲线r= { tsint,tcost,te} 在原点的密切平面、法平面、从切面、

切线、主法线、副法线。 解 ；原点对应t=0 ,

?tt}sintsintet?0={0,1,1}， ecostcostr' (0)={ +t,- t,+t

?tt}r''(0)?sintet?0 ={2,0,2} ，costecostcost {2+ t,- t,2+t

xyz??11 ，法面方程是 y + z = 0 ； 所以切线方程是 0x02y10z12密切平面方程是

=0 ，即x+y-z=0 ，

?x?y?z?0?y?z?0

主法线的方程是?yxz???11 即2 ；

xyz??1?1 从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式1

2z?xy9、 求曲面的渐近线.

?2r?{x,y,xy},

解：曲面的向量表示为

???2rx?{1,0,y},ry?{0,1,2xy},rxx?{0,0,0},

???2???242rxy?{0,0,2y},ryy?{0,0,2x},E?rx?1?4y,F?rx?ry?2xy,G?ry?1?4x2y2L?0,M?2y1?4x2y2?y4,N?2x1?4x2y2?y4.

2224ydxdy?2xdy?0, Ldx?2Mdxdy?Ndy渐近线的微分方程为,即

一族为dy=0, 即

y?c1,c1为常数. 另一族为2ydx=-xdy, 即

lnx2y?c2,或x2y?c,c为常数..

?abuvr?{(u?v),(u?v),}222上的曲率线的方程. 10、求曲面

解

a2?b2?v2?a2?b2?uva2?b2?u2E?,F?,G?,L?0,444

2EG?F2,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是: abM=

(a2?b2?u2)dv2?(a2?b2?v2)du2,积分得:

ln(u?a2?b2?u2)??ln(v?a2?b2?v2)?c

.

?11、将圆柱螺线r={acost，asint，bt}化为自然参数表示。

?解 r'= { -a,asintcost,b}，s =

t?所以

?st0?|r'|dt?a2?b2t，

sa2?b2s，代入原方程

得

?rbsa2?b2}

22a?bcos={a

, sina

a2?b2,

12、求双曲面z=axy上的曲率线.

E?1?ay,F?axy,G?1?ax,L?0,M?解：

2222222a1?ax?ay2222,，

dy21?a2x20N=0 . 由

?dxdya2x2y2a1?ax?ay2dx21?a2x22220=0

222222(1?ay)dx?(1?ax)dy得,

积分得两族曲率线为

ln(ax?1?a2x2)??ln(ay?1?a2y2)?c.

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