2011新课标高考数学（理）一轮复习讲义（带详细解析）：第四编

第四编 三角函数、解三角形

§4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数

一、选择题(每小题7分，共42分)

1．(2009·汕头模拟)若角α和角β的终边关于x轴对称，则角α可以用角β表示为( ) A．2kπ＋β (k∈Z) B．2kπ－β (k∈Z) C．kπ＋β (k∈Z) D．kπ－β (k∈Z)

解析 因为角α和角β的终边关于x轴对称，所以α＋β＝2kπ (k∈Z)．所以α＝2kπ－β (k∈Z)． 答案 B 2．(2010·湛江调研)已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第几象限( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ?tan α<0解析 ∵P(tan α，cos α)在第三象限，∴?， ?cos α<0由tan α<0，得α在第二、四象限， 由cos α<0，得α在第二、三象限 ∴α在第二象限． 答案 B 3．(2010·漳州调研)若扇形圆心角的弧度数为2，且扇形弧所对的弦长也是2，则这个扇形的 面积为 ( )

1212A.2 B.2 C.2 D.2 sin1sin2cos1cos2

1111

解析 由题意得扇形的半径为.又由扇形面积公式得，该扇形的面积为·2·2＝2.

sin 12sin1sin1

答案 A

4

4．(2009·衢州模拟)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为

5

( )

1133A．－ B. C．－ D. 2222

解析 r＝64m2＋9，

－8m4

∴cos α＝＝－，∴m>0，

564m2＋94m2111

∴＝，∴m＝±.∵m>0，∴m＝. 22264m＋925

答案 B

ααα

5．(2010·新乡模拟)已知角α是第二象限角，且|cos |＝－cos ，则角是( )

222

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

α

解析 由α是第二象限角知，是第一或第三象限角．

2

ααα

cos ?＝－cos ，∴cos <0， 又∵?2??22α

∴是第三象限角． 2

答案 C

3

6．(2009·湘潭联考)已知α是第一象限角，tan α＝，则sin α等于 ( )

4

4343A. B. C．－ D．－ 5555

sin α3??cos α＝4，3

解析 由?，得sin α＝(sin α>0)．

5

??sin2α＋cos2α＝1

答案 B

二、填空题(每小题6分，共18分)

m7．(2009·惠州模拟)若点P(m，n) (n≠0)为角600°终边上一点，则＝________. n解析 由三角函数的定义知 n

＝tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240°＝tan 60°＝3， m

m13∴＝＝. n333答案 38．(2009·洛阳第一次月考)已知P在1秒钟内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又恰好回到出发点，则θ＝________. 解析 ∵0°<θ<180°且 k·360°＋180°<2θ

9．(2010·濮阳模拟)若角α的终边落在直线y＝－x上，则＋的值等于

cos α1－sin2α

________．

1－cos2αsin α|sin α|sin α

解析 ＋＝＋，

cos α|cos α|cos α1－sin2α

∵角α的终边落在直线y＝－x上， ∴角α是第二或第四象限角．

sin α|sin α|sin αsin α

当α是第二象限角时，＋＝＋＝0，

|cos α|cos α－cos αcos αsin α|sin α|sin α－sin α

当α是第四象限角时，＋＝＋＝0.

|cos α|cos αcos αcos α

答案 0

三、解答题(共40分)

10．(13分)(2010·平顶山联考)角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a≠0)，角β终边上 的点Q与A关于直线y＝x对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值． 解 由题意得，点P的坐标为(a，－2a)， 点Q的坐标为(2a，a)．

－2a－2a

sin α＝2＝，

5a2a＋(－2a)2aa

cos α＝2＝2， 25aa＋(－2a)

－2atan α＝＝－2，

aaa

sin β＝＝，

5a2(2a)2＋a22a2a

cos β＝＝，

5a2(2a)2＋a2a1

tan β＝＝，

2a2故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β －2aaa2a1＝·＋·＋(－2)×＝－1.

25a25a25a25a2θsin211．(13分)(2009·南平调研)设θ为第三象限角，试判断的符号．

θcos2解 ∵θ为第三象限角， 3π∴2kπ＋π<θ<2kπ＋ (k∈Z)， 2πθ3πkπ＋<

此时在第二象限． 2θθ∴sin>0，cos<0. 22θsin2

因此<0. θcos2

当k＝2n＋1(n∈Z)时，

πθ3π

(2n＋1)π＋<<(2n＋1)π＋(n∈Z)，

2243πθ7π

即2nπ＋<<2nπ＋(n∈Z)

224θ

此时在第四象限．

2

θsin2θθ

∴sin<0，cos>0，因此<0，

22θ

cos2

θ2

综上可知<0. θcos2

sin

tan α

12．(14分)(2010·茂名联考)已知＝－1，求下列各式的值：

tan α－1

sin α－3cos α(1)； sin α＋cos α

(2)sin2α＋sin αcos α＋2.

1

解 由已知得tan α＝. 2

sin α－3cos αtan α－3(1)＝ sin α＋cos αtan α＋11－325＝＝－. 13＋12

(2)sin2α＋sin αcos α＋2

＝sin2α＋sin αcos α＋2(cos2α＋sin2α) 3sin2α＋sin αcos α＋2cos2α＝

sin2α＋cos2α

3tan2α＋tan α＋2＝ tan2α＋11213×()＋＋22213＝＝. 125()＋12

§4.2 三角函数的诱导公式

2. 2

3D. 2

( )

一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2009·全国Ⅰ文，1)sin 585°的值为 22A．－ B. 22C．－3 2解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－

答案 A 2．(2010·郑州模拟)若α、β终边关于y轴对称，则下列等式成立的是 ( ) A．sin α＝sin β B．cos α＝cos β C．tan α＝tan β D．sin α＝－sin β 解析 方法一 ∵α、β终边关于y轴对称， ∴α＋β＝π＋2kπ或α＋β＝－π＋2kπ，k∈Z， ∴α＝2kπ＋π－β或α＝2kπ－π－β，k∈Z， ∴sin α＝sin β.

方法二 设角α终边上一点P(x，y)，则点P关于y轴对称的点为P′(－x，y)，且点P

y

与点P′到原点的距离相等设为r，则sin α＝sin β＝.

r

答案 A

3．(2009·重庆文，6)下列关系式中正确的是 ( ) A．sin 11°

∴f(2 010)＝asin(2 010π＋α)＋bcos(2 010π＋β) ＝asin α＋bcos β＝－3. 答案 C

3πsin α＋cos α4，2π?，则5．(2009·湛江三模)已知sin(2π－α)＝，α∈?等于 ( ) ?2?5sin α－cos α11A. B．－ C．－7 D．7 7744解析 sin(2π－α)＝－sin α＝，∴sin α＝－. 553π3，2π?，∴cos α＝. 又α∈??2?5sin α＋cos α1∴＝. sin α－cos α7答案 A 5π?1ππ＋α＝，且－π<α<－，则cos?－α?等于 ( ) 6．(2009·东莞模拟)已知cos??12?3?12?2231122A. B. C．－ D．－ 3333

ππ5π－α?＝cos?－?12＋α?? 解析 cos????12??2?5π?＝sin??12＋α?.

π75ππ

又－π<α<－，∴－π<＋α<－，

2121212522π＋α?＝－∴sin?， ?12?3π22－α?＝－∴cos?. ?12?3

答案 D

二、填空题(每小题6分，共18分)

35π

－?的值是________． 7．(2009·常德三模)cos??3?35π35π?12π－π? －?＝cos 解析 cos?＝cos3??3??3

π1＝cos ＝.

321答案

2

3π8

π，?，则tan α＝________. 8．(2010·合肥联考)已知cos(π－α)＝，α∈?2??17

88

解析 cos(π－α)＝－cos α＝，∴cos α＝－.

1717

3π

π，?，∴sin α<0. 又α∈?2??

15

∴sin α＝－1－cos2α＝－. 17

sin α15

∴tan α＝＝.

cos α815答案

8

9．(2009·烟台模拟)已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则

33

－α－π?cos?π－α?sin?2??2??2

·tan(π－α)＝________.

ππ????cos?2－α?sin?2＋α?

3

解析 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2， 534由α是第三象限角，∴sin α＝－，cos α＝－， 5533－α－π?cos?π－α?sin?2??2??2∴·tan(π－α) ππ???cos??2－α?sin?2＋α?π?π＋α?－α?·sin?cos?2??2?2＝·tanα sin α·cos αcos α·(－sin α)2＝·tanα sin α·cos αsin2α92＝－tanα＝－2＝－. cosα169答案 － 16三、解答题(共40分) cos(π＋θ)1

10．(13分)(2010·揭阳联考)已知sin(3π＋θ)＝，求＋

3cos θ[cos(π－θ)－1]

cos(θ－2π)

的值．

3π?3π???sin?θ－2?cos(θ－π)－sin?2＋θ?

11

解 ∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝，∴sin θ＝－，

33

－cos θcos(2π－θ)

∴原式＝＋

3πcos θ(－cos θ－1)?－sin??2－θ?cos(π－θ)＋cos θ

1cos θ＝＋ 1＋cos θ－cos2θ＋cos θ

112＝＋＝ 1＋cos θ1－cos θ1－cos2θ

＝

22

＝18. 2＝sinθ?1?2

?－3?

2?π

<α<π?.求下列各式的值：

?3?2

11．(13分)(2010·菏泽模拟)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝(1)sin α－cos α；

π?π

－α＋cos3?＋α?. (2)sin3??2??2?解 由sin(π－α)－cos(π＋α)＝得sin α＋cos α＝2

.① 3

2， 3

2

将①式两边平方，得1＋2sin α·cos α＝，

9

7

故2sin α·cos α＝－，

9

π

又<α<π，∴sin α>0，cos α<0. 2

∴sin α－cos α>0.

716－?＝， (1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－??9?9

4∴sin α－cos α＝. 3π?π－α＋cos3?＋α?＝cos3α－sin3α (2)sin3??2??2?＝(cos α－sin α)(cos2α＋cos α·sin α＋sin2α) 4722－?×?1－?＝－. ＝??3??18?27ππ12．(14分)(2009·丽水联考)是否存在角α，β，其中α∈(－，)，β∈(0，π)，使得等式sin(3π

22

π－α)＝2cos(－β)，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若

2不存在，请说明理由． 解 假设满足题设要求的α，β存在，则α，β满足 ?sin α＝2sin β ① ?

?3cos α＝2cos β ②①2＋②2，得sin2α＋3(1－sin2α)＝2， 12

即sin2α＝，sin α＝±.

22ππππ∵－<α<，∴α＝或α＝－.

2244

π3

(1)当α＝时，由②得cos β＝，

42

π

∵0<β<π，∴β＝.

6π3π

(2)当α＝－时，由②得cos β＝，β＝，但不适合①式，故舍去．

426

ππ

综上可知，存在α＝，β＝使两个等式同时成立．

46

§4.3 三角函数的图象与性质

一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2009·福建理，1)函数f(x)＝sin xcos x的最小值是

11

A．－1 B．－ C.

221

解析 ∵f(x)＝sin xcos x＝sin 2x.

2

π1

∴当x＝kπ－，k∈Z时，f(x)min＝－. 42

答案 B

( )

D．1

4π?

2．(2009·全国Ⅰ理，8)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点??3，0?中心对称，那么|φ|的最 小值为

πA. 6

πD. 2

( )

πB. 4

πC. 3

4π?48π

，0中心对称知，f?π?＝0，即3cos?＋φ?＝ 解析 由y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点??3??3??3?8πππ8π

0.∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)．∴φ＝kπ＋－(k∈Z)．

3223

π8ππ2π＋－?＝. |φ|的最小值为?23?6?答案 A

πx3．(2010·枣庄调研)已知函数y＝sin 在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最

3小值是 ( ) A．6 B．7 C．8 D．9 解析 T=6，则∴t≥

5T≤t， 415， 2∴tmin=8. 答案 C

4．(2010·嘉兴模拟)已知在函数f(x)＝3sin πx图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点 R恰好在x2＋y2＝R2上，则f(x)的最小正周期为 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4

222

解析 ∵x＋y＝R，∴x∈[－R，R]． ∵函数f(x)的最小正周期为2R，

R?∴最大值点为??2，3?，

R

－，－3?， 相邻的最小值点为??2?

代入圆方程，得R＝2，∴T＝4. 答案 D

5．(2009·浙江理，8)已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图象不可能是

`( )

解析 图A中函数的最大值小于2，故0

2π?

①函数y＝cos??3x＋2?是奇函数；

3

②存在实数α，使得sin α＋cos α＝；

2③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α

2x＋?的一条对称轴方程； ④x＝是函数y＝sin?4??8

ππ2x＋?的图象关于点?，0?成中心对称图形． ⑤函数y＝sin?3???12?其中正确的序号为 ( ) A．①③ B．②④ C．①④ D．④⑤

2xπ?2＋?y＝－sinx是奇函数； 解析 ①y＝cos??32?3πα＋?的最大值为2， ②由sin α＋cos α＝2sin??4?33因为2<，所以不存在实数α，使得sin α＋cos α＝； 22③α，β是第一象限角且α<β.例如：45°<30°＋360°， 但tan 45°>tan(30°＋360°)，即tan α

轴；

πππ

2x＋?＝sin＝1， ⑤把x＝代入y＝sin?3??122

ππ

，0?不是函数y＝sin?2x＋?的对称中心． 所以点?3??12??

综上所述，只有①④正确． 答案 C

二、填空题(每小题6分，共18分)

11

7．(2010·株州调研)函数y＝lg(sin x)＋cos x－的定义域为________________，函数y＝ 22

π2?sin??4－3x?的单调递增区间为______________．

sin x>0??解析 ①要使函数有意义必须有?， 1

cos x－≥0??2sin x>02kπ

即?(k∈Z)， 1，解得?ππ

cos x≥－＋2kπ≤x≤＋2kπ???23?3π

∴2kπ

3

?

π??

∴函数的定义域为?x|2kπ

?

π2?2π11

－x得y＝－sin?x－?， ②由y＝sin?2?43?2?34?π2π3

由＋2kπ≤x－≤π＋2kπ， 2342921π

得π＋3kπ≤x≤＋3kπ，k∈Z， 88

故函数的单调递增区间为

?9π＋3kπ，21π＋3kπ? (k∈Z)． 8?8?π2kπ，＋2kπ? (k∈Z) 答案 ?3???9π＋3kπ，21π＋3kπ? (k∈Z) 8?8?πππππ

ωx＋? (ω>0)，f??＝f??，且f(x)在区间?，?上有最 8．(2008·辽宁理，16)已知f(x)＝sin?3???6??3??63?小值，无最大值，则ω＝________. 解析 如图所示， ?f(x)?sin(?x?且f()?f()， π), 3π3ππ又f(x)在区间(,)内只有最小值、无最大值， 63ππ?π∴f(x)在x=63?处取得最小值．

24πππ∴???2kπ?(k∈Z)． 43210∴ω=8k- (k∈Z)．

31014?; ∵ω>0，∴当k=1时，ω=8-33103814?当k=2时，ω=16，此时在区间??内存在最大值．故ω=. 33314答案

3

π6

π

2x＋?(x∈R)，有下列命题： 9．(2010·绍兴月考)关于函数f(x)＝4sin?3??

①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；

π2x－?； ②y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos?6??

π

－，0?对称； ③y＝f(x)的图象关于点??6?

π

④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称．

6

其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)

πT2x＋?的最小正周期T＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是解析 函数f(x)＝4sin?3??2

π

＝知①错． 2

ππ

2x＋?? 利用诱导公式得f(x)＝4cos?2－?3????

ππ

－2x?＝4cos?2x－?，知②正确． ＝4cos?6??6??

π由于曲线f(x)与x轴的每个交点都是它的对称中心，将x＝－代入得f(x)＝ 6πππ

－?＋?＝4sin 0＝0，因此点?－，0?是f(x)图象的一个对称中心，故命题③正4sin?2×??6???6?3?确．

π

曲线f(x)的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y轴平行，而x＝－时y＝0，点

6

?－π，0?不是最高点也不是最低点，故直线x＝－π不是图象的对称轴，因此命题④不正?6?6确．

答案 ②③ 三、解答题(共40分) 10．(13分)(2010·怀化模拟)设函数f(x)＝sin(2x＋φ) (－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是

π直线x＝. 8(1)求φ； (2)求函数y＝f(x)的单调增区间． ππ解 (1)令2×＋φ＝kπ＋，k∈Z， 82π51∴φ＝kπ＋，又－π<φ<0，则－

∴k＝－1，则φ＝－.

4

3π2x－?， (2)由(1)得：f(x)＝sin?4??

π3ππ

令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，

242π5π

可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

88

π5π

＋kπ，＋kπ?，k∈Z. 因此y＝f(x)的单调增区间为?8?8?

11．(13分)(2008·天津文，17)已知函数f(x)＝2cos2ωx＋2sin ωxcos ωx＋1 (x∈R，ω>0)的最小

π

正周期是. 2

(1)求ω的值；

(2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．

1＋cos 2ωx

解 (1)f(x)＝2＋sin 2ωx＋1

2

＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋2

ππ

sin 2ωxcos＋cos 2ωxsin?＋2 ＝2?44??

π

2ωx＋?＋2. ＝2sin?4??

π2ππ

由题设，函数f(x)的最小正周期是，可得＝，

22ω2

所以ω＝2.

π

4x＋?＋2. (2)由(1)知，f(x)＝2sin?4??

πππkπ

当4x＋＝＋2kπ，即x＝＋(k∈Z)时，

42162π

4x＋?取得最大值1，所以函数f(x)的最大值是 sin?4??

πkπ??

2＋2，此时x的集合为?x|x＝16＋2，k∈Z?.

??12．(14分)(2009·肇庆模拟)设函数f(x)＝cos ωx(3sin ωx＋cos ωx)，其中0<ω<2.

ππ(1)若f(x)的周期为π，求当－≤x≤时f(x)的值域； 63π(2)若函数f(x)的图象的一条对称轴为x＝，求ω的值． 3311解 f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋ 222π12ωx＋?＋. ＝sin?6?2?

(1)因为T＝π，所以ω＝1. π12x＋?＋， ∴f(x)＝sin?6?2?π5ππππ－，?， 当－≤x≤时，2x＋∈?636?66?30，?. 所以f(x)的值域为??2?π(2)因为f(x)的图象的一条对称轴为x＝，

3

π?ππ

所以2ω?＋＝kπ＋(k∈Z)， ?3?62

31

ω＝k＋ (k∈Z)，

22

1

又0<ω<2，所以－

31

所以k＝0，ω＝.

2

§4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

一、选择题(每小题7分，共42分)

π

1．(2009·山东文，3)将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得

4

图象的函数解析式是 ( )

22

A．y＝2cosx B．y＝2sinx

π

C．y＝1＋sin(2x＋) D．y＝cos 2x

4

ππ

解析 将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到函数y＝sin2(x＋)，即y＝sin(2x

44

π

＋)＝cos 2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y＝1＋cos 2x＝22cos2x. 答案 A

π

2x＋?的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2．(2010·泉州模拟)将函数y＝sin?4??

π2倍，再向右平移个单位，所得到的图象解析式是 ( )

4A．f(x)＝sin x B．f(x)＝cos x C．f(x)＝sin 4x D．f(x)＝cos 4x

ππx＋?→y＝sin?x＋? 解析 y＝sin??4??4?ππx－＋?＝sin x. →y＝sin??44?答案 A

π

3．(2010·莱芜一模)若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，

2

π

直线x＝是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( )

3

π?2x＋π?＋2 4x＋? A．y＝4sin? B．y＝2sin6?3???π?4x＋π?＋2 4x＋?＋2 C．y＝2sin? D．y＝2sin3?6????A＋m＝4，?A＝2，??

解析 ∵? ∴?

??－A＋m＝0，m＝2.??π2π

∵T＝，∴ω＝＝4.∴y＝2sin(4x＋φ)＋2.

2T

ππ

4×＋φ?＝±∵x＝是其对称轴，∴sin??3?1. 3

4ππ

∴＋φ＝＋kπ (k∈Z)． 32

5ππ

∴φ＝kπ－ (k∈Z)．当k＝1时，φ＝.

66

答案 D

ππ

ωx＋?(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函4．(2009·全国Ⅱ文，9)若将函数y＝tan?4??6

π

ωx＋?的图象重合，则ω的最小值为 数y＝tan? ( ) 6??

111B. C. D. 432ππ

ωx＋?向右平移后得到 解析 函数y＝tan?4??6ππωππππωππ

x－?＋?＝tan?ωx－＋?.又因为y＝tan?ωx＋?，∴令－＝＋kπ，解析y＝tan?ω?64?6?????6?4?466

πωπ1∴＝＋kπ(k∈Z)，由ω>0得ω的最小值为. 1262答案 D 5．(2009·杭州一模)电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数

I=Asin(ωt+φ)(A>0，ω>0,0<φ<则当t=

1A. 6

π)的图象如右图所示， 2

( )

1秒时，电流强度是 100

B．5安 C．53安 D．10安 T411

解析 由图象知A＝10，＝－＝，

2300300100

2π

∴ω＝＝100π.∴I＝10sin(100πt＋φ)．

T

?1，10?为五点中的第二个点，∴100π×1＋φ＝π. ?300?3002

ππ

100πt＋?， ∴φ＝.∴I＝10sin?6??6

1

当t＝秒时，I＝－5安． 100答案 A

π6．(2009·天津理，7)已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函

4数g(x)＝cos ωx的图象，只要将y＝f(x)的图象 ( )

πA．向左平移个单位长度 8πB．向右平移个单位长度 8πC．向左平移个单位长度 4πD．向右平移个单位长度 4π2π

2x＋?， 解析 因为T＝π，则ω＝＝2，f(x)＝sin?4??T

ππππ

x＋?＋?＝sin?2x＋?＝ g(x)＝cos 2x，将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度时，y＝sin?2?2??8??8?4?

cos 2x. 答案 A

二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2009·江苏，4)函数y=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ为常数， A>0，ω>0)在闭区间[-π，0]上的图象如图所示，则ω= .

解析 由函数y=Asin(ωx+φ)的图象可知：

A．－5安

Tπ2π2?(?)?(?π)?,?T?π. 23333

?T?2π??2π,???3. 3答案 3 8．(2008·全国Ⅱ改编)若动直线x＝a与函数f(x)＝sin x和g(x)＝cos x的图象分别交于M、N 两点，则|MN|的最大值为________．

解析 设x＝a与f(x)＝sin x的交点为M(a，y1)， x＝a与g(x)＝cos x的交点为N(a，y2)， 则|MN|＝|y1－y2|＝|sin a－cos a|

?a－π??≤2. ＝2?sin??4??

答案 2

2π2π

－，?上单调递增，则ω的最大值为 9．(2009·云浮期末)若函数f(x)＝2sin ωx (ω>0)在??33?________．

?TT?,?上递增， 44???2π2π??TT?故??,????,?, ?33??44?T2π33即≥.∴ω≤.∴ωmax=.

3444T答案

4解析 ∵f(x)在??三、解答题(共40分) 10．(13分)(2009·周口调研)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+ b (ω>0，|φ|<π)的图象的一部分如图所示： 2(1)求f(x)的表达式； (2)试写出f(x)的对称轴方程． 解 (1)由图象可知，函数的最大值M=3， 最小值m=-1，则A=又T?2(π?3?(?1)3?1?2,b??1,， 222?)?π， 362π2π??2，∴f(x)=2sin(2x+φ)+1， ∴??Tπππ将x=，y=3代入上式，得(??)?1，

63ππ∴????2kπ，k∈Z， 32ππ即φ=+2kπ，k∈Z，∴φ=，

66π∴f(x)=2sin(2x?)+1.

6πππ1(2)由2x+=+kπ，得x=+kπ，k∈Z，

6262

∴f(x)=2sin(2x?π)+1的对称轴方程为 6x?π1?kπ，k∈Z. 62π

11．(13分)(2009·合肥联考)函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<)的一段图象如图所示．

2

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

π

(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，得到y＝g(x)的图象，求直线y＝6与函数y＝

4

f(x)＋g(x)的图象在(0，π)内所有交点的坐标．

2π

解 (1)由题图知A＝2，T＝π，于是ω＝＝2，

T

π

将y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，

12

得y＝2sin(2x＋φ)的图象．

πππ

2x＋?. 于是φ＝2×＝，∴f(x)＝2sin?6??126

ππx－?＋? (2)依题意得g(x)＝2sin?2???4?6?π2x＋?. ＝－2cos?6??

ππ2x＋?－2cos?2x＋? 故y＝f(x)＋g(x)＝2sin?6?6???π2x－?. ＝22sin?12??

ππ32x－?＝6，得sin?2x－?＝. 由22sin?12?12?2??πππ∵0

12．(14分)(2009·金华模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的图象的

2

一部分如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；

2

－6，－?时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值． (2)当x∈?3??

解 (1)由图象知A＝2，T＝8，

2ππ∵T＝＝8，∴ω＝. ω4

π

－＋φ?＝0. 又图象过点(－1,0)，∴2sin??4?

ππ

∵|φ|<，∴φ＝.

24

ππ?∴f(x)＝2sin??4x＋4?. (2)y＝f(x)＋f(x＋2)

ππ?πππx＋＋2sin?x＋＋? ＝2sin??44??424?ππ?πx＋＝22cos x. ＝22sin??42?4

23πππ

－6，－?，∴－≤x≤－. ∵x∈?3??246ππ2

∴当x＝－，即x＝－时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值6；

463π

当x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－22. 4

§4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切

( )

一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2010·青岛模拟)sin 45°·cos 15°＋cos 225°·sin 15°的值为

3113

A．－ B．－ C. D.

2222

解析 原式＝sin 45°·cos 15°－cos 45°·sin 15° 1＝sin 30°＝. 2答案 C

52．(2009·岳阳调研)已知sin(45°＋α)＝，则sin 2α等于

54334A．－ B．－ C. D. 5555

25解析 sin(α＋45°)＝(sin α＋cos α)·＝， 2510

∴sin α＋cos α＝.

5

23

两边平方，得1＋sin 2α＝.∴sin 2α＝－. 55

答案 B

ππ5π3

－α?＝，则sin2?α－?－cos?＋α?的值是 3．(2010·阳江一模)已知cos??6?3?6??6?

2＋32＋3A. B．－

332－3－2＋3C. D.

33

π5π

α－?－cos?＋α? 解析 sin2??6??6?

( )

( )

ππ2＋3－α?＋cos?－α?＝＝1－cos2?. ?6??6?3

答案 A

?α＋π?，1?，?α＋4π? 4．(2009·济宁模拟)已知向量a＝?sinb＝(4,4cos α－3)，若a⊥b，则sin3???6???

等于 A．－

1

B．－

4π

α＋?＋4cos α－3 解析 a·b＝4sin??6?3

4

3 C.

4

1 D.

4

( )

π

α＋?－3＝0， ＝23sin α＋6cos α－3＝43sin??3?π1α＋?＝. ∴sin??3?4

4ππ1α＋?＝－sin?α＋?＝－. ∴sin?3???3?4答案 B

π2π1

－α?＝，则cos?＋2α?的值是 5．(2010·舟山一模)已知sin? ( ) ?6?3?3?

7117A．－ B．－ C. D. 93392ππ＋2α?＝－cos?－2α? 解析 cos??3??3??π－α??＝－?1－2sin2?π－α??＝－7. ＝－cos?2??6????6??9答案 A 26．(2009·哈尔滨期末)在△ABC中，角C＝120°，tan A＋tan B＝3，则tan Atan B的值为( )

31115A. B. C. D. 4323解析 tan(A＋B)＝－tan C＝－tan 120°＝3， tan A＋tan B∴tan(A＋B)＝＝3， 1－tan Atan B2331即＝3，解得tan Atan B＝. 31－tan Atan B答案 B 二、填空题(每小题6分，共18分)

sin α＋cos α

7．(2010·长春一模)若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.

sin α－cos α

sin α＋cos αtan α＋1

解析 ∵＝＝3，∴tan α＝2.

sin α－cos αtan α－1

又tan(α－β)＝2，故tan(β－α)＝－2. ∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] tan(β－α)－tan α4＝＝. 1＋tan(β－α)·tan α3

4答案

3

3－sin 70°

8．(2009·宁波模拟)＝________.

2－cos210°

3－sin 70°3－sin 70°

＝

2－cos210°1＋cos 20°

2－

2

2(3－sin 70°)2(3－cos 20°)＝＝＝2. 3－cos 20°3－cos 20°答案 2

3π?3，π，sin(α＋β)＝－， 9．(2009·铜陵模拟)已知α，β∈??4?5

π12π

β－?＝，则cos?α＋?＝________. sin??4?13?4?3π?3ππ3，π，∴π<α＋β<2π，<β－<π， 解析 ∵α、β∈??4?22444π5

∴cos(α＋β)＝，cos(β－)＝－，

5413ππα＋?＝cos?(α＋β)－?β－?? ∴cos??4???4??

ππβ－?＋sin(α＋β)sin?β－? ＝cos(α＋β)cos??4??4?5312456－?＋?－?×＝－. ＝×?5?13??5?136556

答案 － 65三、解答题(共40分) 10．(13分)(2009·珠海模拟)化简： π?π－x＋6cos?－x?； (1)2sin??4??4?22cosα－1(2). π2?π???2tan?4－α?sin?4＋α?π13?π－x?? 解 (1)原式＝22?sin?－x?＋·cos?4???2?4?2π?πππ－x＋coscos?－x?? ＝22?sin6sin??4?6?4???ππ?＝22cos??6－4＋x? πx－?. ＝22cos??12?cos 2α(2)原式＝ 1－tan α?π

＋2α??1－cos?2????1＋tan α

cos 2α

＝＝1.

cos 2α

(1＋sin 2α)

1＋sin 2α

π?

11．(13分)(2009·烟台三模)已知函数f(x)＝2sin2??4＋x?－3cos 2x. (1)求f(x)的周期和单调递增区间；

ππ?

(2)若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈??4，2?上有解，求实数m的取值范围．

π?

解 (1)f(x)＝2sin2??4＋x?－3cos 2x

π?＝1－cos??2＋2x?－3cos 2x

＝1＋sin 2x－3cos 2x 解析

π

2x－?＋1， ＝2sin?3??

πππ

周期T＝π；令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，

232

π5π

kπ－，kπ＋?(k∈Z)． 解得单调递增区间为?1212??

ππ?ππ2π，，所以2x－∈?，?， (2)x∈??42?3?63?π1

2x－?∈?，1?， sin?3??2??

所以f(x)的值域为[2,3]．

而f(x)＝m＋2，所以m＋2∈[2,3]，即m∈[0,1]． 12．(14分)(2009·宁德期末)已知向量a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，

3π?α∈??2，2π?，且a⊥b. (1)求tan α的值；

απ?(2)求cos??2＋3?的值． 解 (1)∵a⊥b，∴a·b＝0.

而a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)， 故a·b＝6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0. 由于cos α≠0，∴6tan2α＋5tan α－4＝0. 41解之，得tan α＝－，或tan α＝. 323π?∵α∈??2，2π?，tan α<0， 1故tan α＝(舍去)． 24∴tan α＝－. 33πα3π，2π?，∴∈?，π?. (2)∵α∈??2??2?44α1α由tan α＝－，求得tan ＝－或tan ＝2(舍去)． 3222α5α25∴sin ＝，cos ＝－， 2525απ?απαπ＋＝cos cos －sin sin cos??23?23232515325＋15＝－×－×＝－. 525210

§4.6 正弦定理和余弦定理

一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2010·汕头模拟)△ABC的三边分别为a，b，c且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形

22

解析 ∵2b＝a＋c，∴4b＝(a＋c)， 又∵b2＝ac，∴(a－c)2＝0.∴a＝c. ∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c. 答案 D 2．(2009·清远期末)△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且cos 2B＋3cos(A＋ C)＋2＝0，b＝3，则c∶sin C等于 ( ) A．3∶1 B.3∶1 C.2∶1 D．2∶1

1解析 cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝2cos2B－3cos B＋1＝0，∴cos B＝或cos B＝1(舍)．∴B

2π＝. 3cb3∴＝＝＝2. sin Csin B32答案 D 3．(2010·滨州模拟)△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于( )

33A. B. 24333C.或3 D.或 224133解析 ＝，∴sin C＝. sin 30°sin C2∵0°

S△ABC＝×3×1×sin 30°＝. 24

答案 D

5

4．(2008·四川文，7)△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝b，A＝

2

2B，则cos B等于 ( )

5555A. B. C. D. 3456

asin A

解析 由正弦定理得＝，

bsin B

5sin A5

∴a＝b可化为＝.

2sin B2

sin 2B55

又A＝2B，∴＝，∴cos B＝. sin B24

答案 B 5．(2008·福建理，10)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tan B ＝3ac，则角B的值为 ( ) πππ5ππ2πA. B. C.或 D.或 636633解析 ∵(a2＋c2－b2)tan B＝3ac， a2＋c2－b23∴·tan B＝，

2ac2

3

即cos B·tan B＝sin B＝.

2

π2π

∵0

答案 D 6．(2010·湖州一模)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，若b2＋c2－bc＝a2，

a

且＝3，则角C的值为 ( ) bA．45° B．60° C．90° D．120°

222222

解析 由b＋c－bc＝a，得b＋c－a＝bc，

b2＋c2－a21

∴cos A＝＝，∴A＝60°.

2bc2

asin A又＝3，∴＝3， bsin B3331∴sin B＝sin A＝×＝， 3322∴B＝30°，∴C＝180°－A－B＝90°. 答案 C 二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2009·上海春招)在△ABC中，若AB＝3，∠ABC＝75°，∠ACB＝60°，则BC＝________. 解析 根据三角形内角和定理知 ∠BAC＝180°－75°－60°＝45°. BCAB根据正弦定理得＝， sin∠BACsin∠ACB23×2BC33sin 45°即＝，∴BC＝＝＝6. sin 45°sin 60°sin 60°32答案 6 8．(2009·泰安调研)在△ABC中，AB＝2，AC＝6，BC＝1＋3，AD为边BC上的高，则AD的长是________． a2＋b2－c222

解析 cos C＝＝，∴sin C＝. 2ab22

11

∴S△ABC＝absin C＝a×AD.∴AD＝3.

22

答案 3

1

9．(2010·中山一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S＝(b2

4

＋c2－a2)，则∠A＝________.

111

解析 S＝(b2＋c2－a2)＝(2bccos A)＝bccos A，

4421

又S△ABC＝bcsin A，∴sin A＝cos A，

2

π

即tan A＝1.又A为△ABC的内角，∴A＝. 4

π答案

4

三、解答题(共40分)

bcos C1＋cos 2C

10．(13分)(2009·淮南调研)在△ABC中，若＝，试判断△ABC的形状．

ccos B1＋cos 2B

1＋cos 2C2cos2Ccos2Cbcos C

解 由已知＝， 2＝2＝1＋cos 2B2cosBcosBccos B

cos Cb所以＝. cos Bc

方法一 利用正弦定理边化角．

bsin Bcos Csin B

由正弦定理，得＝，所以＝，

csin Ccos Bsin C

即sin Ccos C＝sin Bcos B，即sin 2C＝sin 2B. 因为B、C均为△ABC的内角， 所以2C＝2B或2C＋2B＝180°， 所以B＝C或B＋C＝90°，

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．

a2＋b2－c2

2abb

方法二 由余弦定理，得222＝， a＋c－bc2ac即(a2＋b2－c2)c2＝b2(a2＋c2－b2)， 所以a2c2－c4＝a2b2－b4， 即a2b2－a2c2＋c4－b4＝0， 所以a2(b2－c2)＋(c2－b2)(c2＋b2)＝0， 即(b2－c2)(a2－b2－c2)＝0， 所以b2＝c2或a2－b2－c2＝0， 即b＝c或a2＝b2＋c2. 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 11．(13分)(2010·芜湖模拟)在△ABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c，设a、b、c

c1满足条件b2＋c2－bc＝a2和＝＋3，求角A和tan B的值．

b2b2＋c2－a21222解 由b＋c－bc＝a，得＝， 2bc21π即cos A＝，又0

c1sin C1又＝＋3，＝＋3， b2sin B2

2π

C＝π－A－B＝－B，

3

2π1

－B?＝?＋3?sin B， ∴sin??3??2?311

整理得cos B＋sin B＝sin B＋3sin B.

22211∴cos B＝sin B，则tan B＝. 2212．(14分)(2010·广东五校联考)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a

A＋B7

＋b＝5，c＝7，且4sin2－cos 2C＝. 22

(1)求角C的大小；

(2)求△ABC的面积． 解 (1)∵A＋B＋C＝180°，

A＋B7

由4sin2－cos 2C＝，

22C7

得4cos2－cos 2C＝，

221＋cos C7∴4·－(2cos2C－1)＝，

22

1

整理，得4cos2C－4cos C＋1＝0，解得cos C＝，

2

∵0°

22

(2)由余弦定理得c＝a＋b2－2abcos C， 即7＝a2＋b2－ab，∴7＝(a＋b)2－3ab， 由条件a＋b＝5，得7＝25－3ab，ab＝6，

11333

∴S△ABC＝absin C＝×6×＝. 2222

§4.7 正弦定理、余弦定理应用举例

一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2010·佛山模拟)在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为 ( ) 400400200200A. m B.3 m C.3 m D. m 3333解析 作出示意图如图， 由已知：在Rt△OAC中， OA=200，∠OAC=30°， 则OC=OA·tan∠OAC 2003. 32003在Rt△ABD中，AD=，∠BAD=30°， 32002003则BD=AD·tan∠BAD=·tan 30°=，

33200400∴BC=CD-BD=200-=. 33=200tan 30°=答案 A

2．(2010·池州模拟)一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一 条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°， 则这艘船的速度是每小时 ( ) A．5海里 B．53海里 C．10海里 D．103海里 解析 如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°， 所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10， 在Rt△ABC中，得AB＝5，

5

于是这艘船的速度是＝10(海里/小时)．

0.5

答案 C 3．(2009·六安期末)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站 C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔 B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( ) A．a km B.3a km C.2a km D．2a km 解析 利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2

1

－?＝3a2，∴AB＝3a. ＋BC2－2AC·BCcos 120°＝2a2－2a2×??2?答案 B 4．(2009·黄山第一次月考)一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75° 距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为

( )

176A.海里/小时 B．346海里/小时

2172C.海里/小时 D．342海里/小时

2

PMMN

解析 如图所示，在△PMN中，＝，

sin 45°sin 120°68×3MN17∴MN＝＝346，∴v＝＝6(海里/小时)． 422答案 A 5．(2009·汕尾联考)如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北 偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行 30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( ) A．20(2+6)海里/小时 B．20(6-2)海里/小时 C．20(6+3)海里/小时 D．20(6-3)海里/小时 解析 由题意知SM=20，∠SNM=105°，∠NMS=45°， ∴∠MSN=30°，∴

MN20. ?sin30?sin105?∴MN=??=10(??-??)．

10(6－2)

∴货轮航行的速度v＝＝20(6－2)海里/小时．

12

答案 B 6．(2010·滁州调研)线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始____ h后，两车的距离最小． ( ) 6970A. B．1 C. D．2 4343

解析 如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行 驶到E，则AD=80t，BE=50t.因为AB=200，所以BD=200-80t，问

题就是求DE最小时t的值．

由余弦定理：DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos 60° =(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)·50t

2

=12 900t-42 000t+40 000. 当t=

70时，DE最小． 43答案 C

二、填空题(每小题6分，共18分)

π

7．(2009·辽源模拟)在△ABC中，BC＝1，∠B＝，当△ABC的面积等于3时，tan C＝________.

3

1

解析 S△ABC＝acsin B＝3，∴c＝4.

2

由余弦定理：b2＝a2＋c2－2accos B＝13，

a2＋b2－c2112

∴cos C＝＝－，sin C＝，

2ab1313

∴tan C＝－12＝－23. 答案 －23 8．(2009·北京海淀区4月一模)在△ABC中，AC＝6，BC＝2，B＝60°，则∠A＝________， AB＝________.

262

解析 由正弦定理＝，∴sin A＝.

sin Asin 60°2∵BC＝2

2∴∴BC=AB=a，

∴AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos 120° =a2+a2-2a2·(?)=3a2，∴AC=3a.

答案 北偏东30° 3a 三、解答题(共40分)

10．(13分)(2009·福州模拟)如图所示，扇形AOB，圆心角 AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P 引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP=θ，求 △POC面积的最大值及此时θ的值．

解 ∵CP∥OB，∴∠CPO=∠POB=60°-θ，

12

∠OCP=120°.

OPCP， ?sin?PCOsin?2CP4 ??,?OC?sin?

sin12?0sinq3OC24又?,?OC?sin(60???)，∴OC=??sin(60°-θ)． sin(60???)sin120?3在△POC中，由正弦定理得因此△POC的面积为 S(θ)====

13·sin θ·sin(60°-θ)× 232341 CP·OCsin 120° 244343sin θsin(60°-θ) sin θ(=2sin θ·cos θ-=sin 2θ+31cos??sin?) 22223sinθ 33cos 2θ- 33π323=sin(2??)? 633?3∴θ=时，S(θ)取得最大值为. 633

11．(13分)(2009·鲁东南三地四市联合考试)在△ABC中，已知cos A＝.

5

A(1)求sin2－cos(B＋C)的值； 2(2)若△ABC的面积为4，AB＝2，求BC的长． 1－cos AA解 (1)sin2－cos(B＋C)＝＋cos A 2231－

534＝＋＝.

255

34

(2)在△ABC中，∵cos A＝，∴sin A＝.

55

1

由S△ABC＝4，得bcsin A＝4，得bc＝10.

2

∵c＝AB＝2，∴b＝5.

∴BC2＝a2＝b2＋c2－2bccos A

3

＝52＋22－2×5×2×＝17.∴BC＝17.

5

12．(14分)(2009·金华模拟)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A(3－1)n mile的B处 有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向 逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

解 如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等， 若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求 ∠BCD.

设缉私船用t h在D处追上走私船， 则有CD=103t，BD=10t. 在△ABC中，∵AB=3-1，AC=2， ∠BAC=120°， ∴由余弦定理，

得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC

=(3-1)2+22-2×(3-1)×2×cos 120°=6， ∴BC=6，∵∠CBD=90°+30°=120°， 在△BCD中，由正弦定理，得

BD?sin?CBD

CD10tsin120?1?， =

2103tsin∠BCD=

∴∠BCD=30°.

即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．

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