课题：空间线面关系的判定 - 无锡市第六高级中学

基于空间向量的立体几何教学设计 ------空间线面关系的判定 无锡市第六高级中学 杜根华

摘要：本文利用空间向量判定空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，用直线的方向向量和平面的法向量来表述，是一个“符号化”的过程。让学生在明确方向向量和法向量含义的基础上，借助图形,自己独立“翻译”完成。为提高教学质量，笔者针对自己开的公开课进行合理的设计。教学设计必须考虑4个基本要素:教学对象、教学目标、教学策略、教学评价。为了更好地发挥教学过程的整体功能，笔者针对这4个基本要素完成对空间线面关系的判定的教学设计。在教学中，教师要加强学生的直观性、培养和提高学生的悟性、训练学生的数学思维、培养学生的数学能力、强调理解记忆。 关键词：直观性 思维论证 向量坐标法 向量几何法 1基本情况 1.1学情分析

授课班级是物化平行班，学生相对来讲，在基本功方面、思维品质方面都不是很出色，所以夯实基础是关键。在平时的教学过程中，笔者重基础、落实基本知识点、基本技能、基本方法。本节课笔者通过学生的直观感知去建构向量和转化为坐标运算，通过激发学生学习立体几何的兴趣，锻炼其思维，达到通过自己的思维进行向量之间的几何变化。 1.2教材分析

本节主要内容是空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定，用直线的方向向量和平面的法向量来表述，是一个“符号化”的过程。应让学生在明确方向向量和法向量含义的基础上，借助图形,自己独立“翻译”完成。本节课既对空间共面向量定理和空间向量基本定理的灵活应用，又为后面学习空间角的计算奠定了基础，在本章中起到了承上启下的作用。通过本节课的学习，可进一步认识和解决立体几何问题，更好地培养学生观察发现空间想象以及推理论证能力。

1.3设计思路

立体几何是培养学生空间想象能力最有力的工具，也是高考重要的考点，空间向量为解决立体几何问题提供了一个十分有效的工具。学习立体几何，必须通过直观感知和思辨论证这样的一个过程。本节课目的要锻炼学生通过直观判断，去建立空间直角坐标系，构建向量和转化为坐标运算。然而，当我们无法直接发现有明显垂直关系时，应将我们的认识过程推向思维论证的过程，去利用空间共面向量定理和空间向量基本定理的知识，引导学生回归向量的本质，探究用向量的几何法去解决立体几何。由于我校的生源一般，又是物化的平行班，因此，在进行本节课教学的时候做了适当的变化.在苏教版选修2-1教科书上一共有五道例题，但在一节课上是无法完成。笔者根据学生的学情，选择容易想到的，容易上手的作为例题，先通过直观感受，再通过思维论证去体会空间图形的研究方法。本节课采取老师引导、学生探究的方式进行，把学生的想法规范的在黑板上演示出来，使学生有自主探究、自主思考的意识，同时也发展了学生的几何直观感。 教学目标：

1、理解用向量语言来表述空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；

2、掌握用向量方法判定空间线线、线面、面面的平行和垂直关系； 3、培养学生的探索精神与实践操作的能力。

教学重点：建构向量和转化坐标运算的方法去解决线线、线面、面面平行和垂直的关系。

教学难点：灵活运用向量法判定空间线线、线面、面面平行和垂直的关系。 2过程实录 2.1复习回顾

师：同学们，前面学习了几个重要的关于空间向量的概念、定理和结论，下面我们一起来回忆。

生：学生齐声回答笔者所给出的问题，增加了课堂气氛，展现出班级昂扬的斗志。

a?b?01、两个非零向量a,b，a?b的充要条件是 .

a?b?cos?2、设向量a,b的夹角为?，则a?b= . 3、共面向量定理: 如果两个向量a,b不共线，那么向量P与向量a,b共

?x,y?，使得： . p?xa?yb面的充要条件是存在有序实数组

4、空间向量基本定理: 如果三个向量e1,e2,e3不共面，那么对空间任

p?xe1?ye2?ze3一向量P，存在惟一有序实数组(x,y,z)，使 .

设计意图:这四小题起到了承上启下的作用，即对前面所学的知识

进行了回顾，也为后面解决空间立体几何图形的位置关系提供了一个十分有效的工具。 2.2知识建构 2.2.1问题情境

问题一：在数学“立体几何初步”一章中，空间线线、线面、面面的位置关系主要有哪几种关系？

师：线线关系有哪几种关系？ 生：平行、相交、垂直

师：这样的回答对吗？线线关系的判定依据是什么呢？ 生：根据是否共面来分，有共面和异面。

师：那共面当中有几种线线关系呢？它的分类依据是什么呢？ 生：根据是否有公共点来分，有平行和相交 师：那垂直为什么不是呢？ 生：垂直可以分为共面垂直也可以异面垂直。它是一种特殊情况，是相交的一种特例，也是异面中的一种的特例。

师：请同学们齐声回答下线线关系有哪三种？ 生：平行、相交、异面。 师：线面之间有哪些关系呢？ 生：相交、平行、在平面内

师：很好，证明同学们已经受到线线关系判定依据的鼓舞，掌握

情况很好，希望继续保持。

师：那面面又有哪些关系呢？ 生：平行和相交 2.2.2合作探究

问题二：同学们能不能用直线的方向向量和平面法向量来刻画空间线线、线面、面面位置关系？

师：下面，同学们分成三大组，第一组研究线线平行和垂直之间的关系？如何用直线的方向向量来刻画？第二组和第三组分别研究线线、线面、面面平行和垂直之间的关系以及如何利用直线的方向向量和法向量来刻画？最后请每组一位同学发言，展示同学们的风采。 探究成果

?1//?2?n1//n2?存在实数?，使n1??n2?1??2?n1?n2?n1?n2?0l1//?1?e1?n1?e1?n1?0l1??1?e1//n1?存在实数?，使e1??n1l1//l2?e1//e2?存在实数?，使e1??e2l1?l2?e1?e2?e1?e2?0师：根据同学们的发言，可以用直线的方向向量和平面的法向量来表述空间线线、线面、面面之间的平行和垂直关系。下面，请同学们齐声回答它们彼此之间的关系以便加深印象。

设空间两条直线l1,l2的方向向量为e1,e2，两个平面?1,?2的法向量分别为n1,n2则有

l1与l2 l1与?1 平行 ??e1//e2 ??e1?n1 垂直 ??e1?e2 ??e1//n1 ?1与?2 ??n1//n2 ??n1?n2 2.3数学应用 2.3.1师生对话

例1、如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ACB?900,?BAC?300

CC1的中点.求证：AM是棱 . BC?1,AA1?6, 1B?AM C1B1A1 A1B1C1 M

MC AB

ACB

试上前的图形 正式上课的图形

设计意图：试上之前的图形是课本上的原图，但根据学生的学情和学生掌握知识的能力，笔者将教科书上的图形，进行了改变，目的是为了让学生直接想到建立空间直角坐标系的方法，让学生熟悉和感知坐标系的作法，体现出直观感知的作用。

师：同学们如何将向量法应用到具体的立体几何中呢?笔者给学生

5-6分钟时间思考和解题，并观察学生的解题思路和解题规范性，有问题的指出不足，好的给予赞扬。

A1B?AM，只要证A1B?AM?0,A1B?A1A?AB, 生：要证

AM?AC?CM故只要证明(A1A?AB)?(AC?CM)?0。

师：很好。请同学们跟着老师把这位同学的思路完整的板演出来，

看看同学们写的解题格式和老师的解题格式有何区别？

笔者点出学生解题的不足,加强立体几何书写的规范性,并强调解决这道题目的关键是要善于挖掘已知的垂直关系，将未知向已知转化。这里的关键就是将A1B?A1A?AB,AM?AC?CM。在教学中，笔者注重了学生的思维，启发学生探索得到。

师：解决这道题目的关键是将这两个向量进行转化，那这种转化到底应用哪个知识点呢？

生：共面向量定理。

师：很好，它的本质是将一个向量转化为两个向量，那能不能把它转化为三个向量的线性表示呢？

生：我们可以选择以AB,AC,AA1作为基底，先将A1B和AM分别用基底线性表示，然后运用向量的数量积去证明A1B?AM?0。 师：很好。证明同学们已经把向量之间的转化，掌握的非常熟练，从二维到三维的升华。请同学们课后把刚刚这位同学的想法规范的写在自己的讲义上。

师：同学们既然能想到把一个向量转化为一个基底来表示，那么这个基底可不可以选择特殊的基底呢?同学们是不是可以通过观察图形对称性、已有的垂直关系选择特殊的基底吗？ 生：可以选择正交基底建立空间直角坐标系。分别以CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系，然后表示相应点和向量的坐标。

师：这位同学的观察能力非常强。下面老师和同学们一起按照这位同学的思路去表示A1B和AM。

笔者在书写板书时，注意三点规范性：（1）在图形中作出空间直角坐标系，并用文字语言叙述（2）准确的地拿出点的坐标（3）表示

出关键向量的坐标。

师：本题同学们用了三种方法，但本质都是一样，都是用向量的方法处理立体几何问题.我们把一二两种证法归结为向量的几何法，第三种证法归结为向量的坐标法。鼓励同学们灵活选择适合自己的方法，学习立体几何应采用直观感知、思维论证等认识过程，探索空间图形的性质和解决空间问题的方法。以后，同学们在立体几何试题中发现明显的垂直关系，就可以首先选择建立空间直角坐标系的方法，如果不能发现明显的垂直关系，而且建立空间直角坐标系要通过一定的转化证明，难度较大，那么,同学们就可以考虑向量的几何法，这样避免了建系的困难。

师：有了这样一个依据,同学们如何用向量的方法来解决线面之间的关系？

2.3.2学生板演

例2、如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面垂直，点M,N分

AE上，MN∥平面CDE. AN= AE.求证：别在对角线BD，且BM= BD，

F E

1313

N A D

M

B C

师：同学们如何证明线面平行呢？

生：寻找MN和平面CDE的法向量是否垂直？

师：那根据例1的感受，如何去表示这两个向量？ 生：建立空间直角坐标系。 师：您是如何想到的呢？

生：因为题目中出现明显的垂直关系。

师：漂亮！下面的目标就是如何去建系，如何去表示这两个向量？ 生：以AB、AD、AF所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标

系，设AB?a,AD?b,AF?c,然后拿出各个点坐标，最后拿出MN和平面CDE的法向量的坐标。

师：这位同学的思路很明确，但必须付出实践。同学们在实践过程中，会不会碰到难处理的问题呢？下面由这位同学到黑板上来板演，其他学生在将以上完成。

师：请同学们观察自己在书写的过程中有没有用到矩形ABCD和矩形ADEF所在平面垂直这个条件？是不是这个条件没有用？还是你已经在不经意间用到了呢？

生：在建立空间直角坐标系的时候用到的。

师：很好，但必须通过证明立体几何的传统方法来说明AB、AD、AF互相垂直，体现书写的完整性。 师：同学们在表示点和向量的坐标时，发现MN的坐标有点难表示，而且它的表示带有分数形式，那能不能通过改变设法从而使得MN的坐标没有分数形式呢？

生：应该假设AB?3a,AD?3b,AF?3c 师：很好。你是怎么能想到的呢？你的假设会不会影响到结论呢？ 生：因为题目中出现的字样，提示我们这样假设，而且题中AB、AD、AF的长度与要证的结论无关。

师：这位同学的回答非常精辟。选择合理的假设，将会给解题带来很大的方便之处。同学们证到了MN?AD之后，必须添加MN不在平面CDE内，加以强调。 通过直观感知的坐标法，我们再次感知本题是不是在哪里见过了呢？笔者指导学生查阅教材第75页例1，感受教材是如何应用向量的几何法来证明的，教材中把MN?DE?DC，表示MN与DE,DC共面，但在本题中MN不和平面DCE共面，所以只能MN∥平面CDE 师：用坐标运算的方法证明，目的在于让学生领会向量坐标法的思想。那么，同学们能将坐标法的思想应用在面与面的关系上吗？

1323132.3.3合作交流

例3、如图，已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，E,F分别为BB1,CD的中点， 求证：平面DD1F?平面ADE.

D1 A1 B1

D

E

C F A B

师：请同学们同桌之间相互讨论，探讨如何用向量的知识来证明面与面的位置关系呢？

生：这个很显然嘛!AD?平面ADE。笔者当时听了一愣，这是我在备课前没有预设到，因为我将思维固定在只能用向量的方法来解题，这是本节课的重点。于是，我临场应变，跟着同学的思路，将题目适当改变。

师：恩，很好，这位同学已经很好的掌握了必修2中利用传统方法解立体几何，那同学们又如何用向量的方法去解决面与面垂直的问题呢？

生：可以去求平面DD1F和平面ADE的法向量，因为AD为平面DD1F的法向量，所以，只要求平面ADE的法向量。

师：分析的很不错，笔者当机立断立即把题目的结论做了改变，把结论变为D1F?平面ADE

生：就是要证D1F为平面ADE的法向量嘛,即证D1F?AD,D1F?AE 师：有没有其它想法呢？

生：去寻找平面ADE的法向量与D1F平行就可以。 师：完全正确！课后请同学们将刚才的思路完整的整理在讲义上。 最后，请同学们回忆下，本节课你学到了什么？你的收获的是什么？

生：本节课我学习了用向量的方法来解决立体几何。

师：很好。老师希望同学们熟练掌握这种方法，即要解决规则的图形，又要解决不规则的图形，达到孰能生巧的地步。

C1

2.4课堂小结

本节课主要研究用向量的方法解决空间线线、线面、面面关系. 2.5布置作业

教科书第94页练习1，3，5 3教学感悟

空间立体几何图形是学生在日常生活中经常见到的，通过直观感知、思维论证，用空间向量的方法，为解决空间立体几何图形的位置关系提供了一个十分有效的工具。本节课首先用直观感知的认识转化为数学符号语言，其次通过思维论证解决实际的立体几何问题，最后笔者通过多样化的师生互动方式，使同学们达到了感性和理性的完美统一，是培养学生素养、发展学生数学综合能力的好素材。具体体现在以下几个方面：

3.1选材源于教材，把握学情，加强直观性

直观性原则就是在教学中尽可能使学生从直观出发去概括数学现象的本质和规律。本节课教科书上的内容一共有5道例题，但一节课是不可能完成，那么教师必须根据学生的实际情况，选择最适合学生的例题，这样才会实现教学的高效性。笔者根据学生的学情和直观视觉的角度选择三道题，这三道题的图形从直观的角度很容易建立空间直角坐标系，很容易将学生引入用空间向量的方法来解决立体几何。所以，我们以后上每一节课都要用好教材，把握学情，对教材中的题目适当删减和变动。

3.2注重直观感知和思维论证的认识过程

本节课改变了教科书上例题1图形的方向，让学生通过直观感知很快的就能建立空间直角坐标系，体现直观性原则。例题2虽然没有改变，但是笔者注重了学生运算能力和书写能力的培养，让学生不断观察自己所写的步骤，不断去观察题目中所给出的隐含信息，先让学生去尝试，通过教师的引导，改变假设，使题目顺利解决。通过直观感知和思维论证的合理运用，学生智慧的大门将被打开。 3.3注重思维的递进性，方法的优越性

本节课在例题1的讲解过程中，笔者用了三种方法，这其中体现出思维的递进。第一种方法运用共面向量定理由一个向量被表示成两

个向量；第二种方法运用空间向量基本定理将一个向量用三个向量线性表示，解决此题的关键点就是建立基底；第三种方法是一般到特殊的思想，为了使解题更简便，方法更优越，建立特殊的正交基底，建立空间直角坐标系，运用向量的坐标法去解决。思维越来越递进，方法越来越便利，不断地转化到本节课的重点，娓娓道来，点出本节课的精华之处。

3.4给学生提供合作交流的时间和空间，让学生在课堂上放飞思维的翅膀

数学活动的核心是数学思考，学生只有在活动和思考的过程中才能感悟出数学的真谛，才能逐渐养成良好的思维习惯，才能培养创新的意识和能力。有效的课堂活动，主要是学生自己“动”，学生处于主体地位，要给学生一定的思维活动的时间和空间，要给学生充分发表自己见解与自我表现的机会，不仅使学生在深层次上理解数学知识，而且使学生学习数学的兴趣、学习数学的动机以及其他非智力因素都能得到很好的锻炼，使得认识得以升华，能力得以提高，素养得以发展，通过活动，学会思维，学会发现，学会创新，这是在实施新课程教学中需要认真解决好的问题。

学生的学习风格是多样化的，这就要求教师在每节课的教学中采取多样化的互动方式。本节课有小组合作交流、两人合作交流等方式，这一切都充分体现出以学生为主体、一切为了学生的发展的教学理念，尽可能地让学生开展自主探究，给学生留下足够的思考、交流的时间和空间，注意观察学生的表现，看其是否能做到积极地探究和主动与他人探究，对学生在探究学习过程中的良好表现及时鼓励和肯定，使学生在教师的引导下，通过自己的思维活动获得知识，体会思想，掌握方法，学会应用，争取使每一个学生得到不同程度的提高，此时，学生的喜悦之情溢于言表，整节课进行的很有节奏，课堂充满活力并取得良好的教学效果。

3.5课堂总结应起到画龙点睛的作用

本节课笔者在总结的时候为了突出空间向量坐标法的重要性，就特别强调坐标法，有点摒弃了其他方法的运用，限制了学生思维的发展。教师在讲解新课的时候不应该说哪种方法好，哪种方法不好，只

能在讲课的时候把教师认为重要的方法可以多讲多练，也只能相对哪种方法而言。处理立体几何问题可以首先考虑向量坐标法，再去考虑其他的做法。其实本节课可以总结为有机结合传统方法和向量方法解决空间立体几何问题，用空间向量解答立体几何问题有优势有时也有劣势，在不规则的几何体中建立空间直角坐标系就并非易事，单纯的传统方法或向量方法都不是解答问题的最佳方案，只有有机地将两种方法结合在一起，才能更好地体现数学方法使用的灵活性。将传统方法和向量法完美结合在一起才是解决立体几何的真谛。简简单单的一句总结,起到了画龙点睛的作用,课堂也上升到理论的高度,显现出数学课堂的魅力。

参考文献

1.徐英俊.教学设计「M].北京:教育科学出版社，2001.

2.李士绮.PME:数学教育心理[M].上海:华东师范大学出版社，2001. 3.李光.新课程背景下立体几何教学研究:[硕士学位论文].昆明:云南师范大学数学学院，2006

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