初中数学错题集

中 考 常 见 陷 阱 题

一、因对数学概念的认识模糊而掉入陷阱。 例1.当x=________时，分式

x?2x2?x?2的值为零。

错解 x=±2

分析 分式的取值必须满足分母不等于零的限制，而当x=2时，分母为零，原分式无意义，故x=-2.

x2?2?1的解为（ ） 例2.方程

x?1x?1A．x=1 B. x=-1 C. x=1或-1 D.无解 错解 选B

分析 解分式方程一定要检验，原分式方程去分母后解得x=-1,但将其代人最简公分母?x?1??x?1?中，最简公分母等于0，故x=-1是增根，应舍去，故选D. 例3.函数y?x?1的自变量x的取值范围是_______________. x2?1错解 不少学生要么只考虑x?1?0,得x??1；要么只考虑x2?1?0,得x??1. 分析 要使函数解析式有意义，不但要考虑分式的分母不为0，而且还要考虑偶次

?x?1?0根号下的被开方数大于或等于0，故?2，解得x＞-1，且x≠1.

?x?1?0例4.方程2x(x?2)?x?2的解是___________.

1 2分析 运用等式的性质解方程时，要注意等式两边所除以的数或式必须不等于0，而本题中(x-2)是可以为0的，所以不能等式两边都除以（x-2）.正解是：将右边（x-2）整体移项至左边，再用提公因式法分解因式解方程，即可解得：

1x1?,x2?2.

2

二、因忽略题目的隐含条件而掉入陷阱

例5. 已知关于x的一元二次方程(k+4)x2+3x+k2+3k-4=0的一个根为0，求k的值。

2

错解 把x=0代入方程中，得k+3k-4=0，解得k1=1，k2=-4.

分析 本题错解忽视了题中的隐含条件：方程必须是一元二次方程，则二次项系数

k+4≠0,所以k≠-4. 故k=-4应舍去。正确结果为k=1。

错解 x?例6.已知：关于x的一元二次方程kx2?2k?4x?1?0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。

错解 由于方程有两个不相等的实数根，所以??(2k?4)2?4k?0，解得k?2. 分析 本题错解忽视了题中有两个隐含条件：由于原方程是一元二次方程，其二次项系数必须不为0，所以k?0；另外，方程中还出现了二次根式，其被开方数必须大于或等于0，所以2k?4?0，解的k??2.再综合??(2k?4)2?4k?0，可得出k的取值范围是;?2?k?2,且k?0.

12x2?4)?2例7.先化简代数式(1?，然后再任选一个你喜欢的x的值代入x?1x?2x?1求值。

x?2，为使计算简单，取x=2代入计算，得出结果为0. x?2分析 这里x的取值并不是可以随心所欲的取任何数值，它的的取值必须要保证原式有意义，即分式的分母不能为0，且除式不能为0。所以x的取值要满足下列要求：

错解 化简原式=

?x?1?0?2?x?2x?1?0，解得x≠1和±2，其余数值都可以代入化简式进行计算。 ?x2?4?0?例8.某等腰三角形的两条边长分别是3cm和6cm,则它的周长是（ ） A.9cm B.12cm C.15cm D.12cm或15cm 错解 选D

分析 在求三角形的边长时，边长的取值一定要满足三角形的三边关系定理。而当腰长为3cm时，3+3=6，不满足“两边之和大于第三边”的要求。故答案选C.

三、因几何图形的形状或位置的多样性而掉入陷阱。 例9.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=900，AB=7,AD=2,BC=3,A D 问：在线段AB上是否存在点P，使得以P、A、D为顶点的三角P 形和以P、B、C为顶点的三角形相似？如不存在，请说明理由；若存在，求出PA的长。 错解：由△PAD∽△PBC,得

PAADPA2?,所以?,求得PBBC7?PA3B C 14PA=。

5分析：由于本题并未指明两相似三角形的各个顶点的对应情况，故存在两种可能：除了△PAD∽△PBC外，还有△PAD∽△CBP,此时有PA=6或1.故答案共有三个：PA=

PAADPA2?,??,求得CBBP37?PA14或6或1. 5例10.在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，1），在x轴上是否存在点p，使△AOP为等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由。 错解：因为△AOP为等腰三角形，则AO=AP,由等腰三角形的“三线合一”性质

可知点P坐标为（2，0）。

分析：由于题目并没有指明以哪条边为等腰三角形的腰，所以等腰三角形的形状要分三种情况讨论：若OA=OP，且O为顶角的顶点，则P点的坐标为；若AO=AP，且A为顶角顶点，则P点坐标为（2，0）；若(2,0)或（?2，0）PA=PO,则P点在OA的垂直平分线与X轴的交点，此时P点坐标为（1，0）。故本题答案共有四个：(2,0)或（?2，或（2，0）或（1，0）。 0）例11.相交两圆公共弦长16cm，其半径长分别为10cm和17cm，则两圆圆心距为

__________。 错解：两圆圆心距为21cm。

分析：两圆相交有两种位置情况：两圆的圆心在公共弦德同侧和异侧，此解忽略在同侧情况。正确解答为21cm或9cm。

例12.园内有一弦，其长度等于园的半径，则这条弦所对的圆周角的度数为_________. 错解：300.

分析：园内的弦所对的圆周角有两种情况：当圆周角的顶点在优弧上时，其度数等于300；当圆周角的顶点在劣弧上时，其度数为1500.

四、因忽略变量的取值范围而掉入陷阱。

例13.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为矩形，点A、B的坐标分别为（6，1）、（6，3），C、D在y轴上，点M

y 从点A出发，以每秒3个单位的速度沿

AD向终点D运动，点N从点C同时出发，以每秒1个单位的速度沿CB向终点B运

动，当一个点到达终点时，另一个点也同C N B P 时停止运动。过点M作MP⊥AD，交BD

A 于P，连接NP，两动点同时运动了t秒。D M 当运动了t秒时，△NPB的面积为S,求SO x 与t的函数关系式，并求S的最大值。 错解：当运动了t秒时，CN=t,AM=3t,则BN=6-t,DM=6-3t，∵tan∠BAD=

1PMBA211 ???,∴PM=DM=(6?3t)?2?t，

3DMDA63311199∴S=(6?t)?2?(2?t)?= ?t2?3t??(t?3)2?，∴当t=3时，S有最大值是。

22222分析：本题由于时间t有限制：0?t?2，而当t=3时并不在其取值范围内，

19所以当t=2时，S有最大值=?(2?3)2??4。

22例14.在△ABC 中，∠B =900，AB=6 cm ，BC=7 cm，点

P从点A开始沿AB边向点B以1 cm／s的速度移动，点Q

A P B Q C 从点B 开始沿BC边向点C以2 cm／s的速度移动。如果点P、Q同时从A、B两点出发，经过几秒钟后，△PBQ的面积等于8 cm2?

很多学生给出以下的解答，

解：设 秒钟后△PBQ的面积等于8 cm2。

则有：（6-x）×2x/2=8解这个方程，得 x=2或4。答：经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8 cm。

这个解答显然忽略了“BC=7 cm”这一条件。事实上，当经过4秒时，BQ=4×2=8 cm>7 cm，此时点Q已不在BC边上，这与题意不符，所以4秒不合题意，应舍去。正确的答案应为：经过2秒，△PBQ的面积等于8 cm2。

五、因思维定势而掉入陷阱。

例15.直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于____________。

错解：由勾股定理得，该直角三角形的斜边c?a2?b2?62?82?10。而直角三角形的外接圆的直径就是它的斜边，所以这个三角形的外接圆的半径等于5。 剖析：这里受勾股定理中常见的勾股数6，8，10的影响，把6，8作为直角边，实际上8也可以作为斜边，即：

（1）当6，8分别为直角边时，第三边即斜边为10；

（2）当6为直角边，8为斜边时，第三边是另一直角边为27。 所以这个三角形的外接圆的半径等于5或4

例16.若关于x函数y?ax2?(a?3)x?1的图像与x轴有唯一公共点，则

a=__________.

错解:由于有唯一公共点，所以△=0，即??(a?3)?2?4a?0，解得a=1或9. 分析：此题错在误以为原函数是二次函数，而原函数还可以是一次函数，故a还可以等于0。

六、因审题不细致而掉入陷阱。

例17.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，如扩大销售量增加盈利，尽快减少库存，商场决定要取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫降低1元，商场平均每天可多售出2件。如果商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

错解:设每件衬衫应降价x元方可做到平均每天盈利1200元，列出方程:(40-x)(20+2x)=1200，解得x1=10，x2=20.

答:每件衬衫降价10元或20元都能保证商场平均每天盈利1200元。

分析；此题错在最后的作答未对两个答案作讨论，原因是没有考虑到题中的条件:“为了扩大销售量”、“尽快减少库存”这一要求。正确的答案是取x=20.

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