椭圆与双曲线的必背的经典结论

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椭圆与双曲线的必背的经典结论

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径

的圆,除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

x0xy0yx2y2

2 1. 15. 若P在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000

a2ba2b2

x2y2

6. 若P0(x0,y0)在椭圆2 2 1外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点

abxxyy

弦P1P2的直线方程是02 02 1.

ab

x2y2

7. 椭圆2 2 1 (a>b>0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上任意一点

ab

F1PF2 ,则椭圆的焦点角形的面积为S F1PF2 b2tan.

2

x2y2

8. 椭圆2 2 1(a>b>0)的焦半径公式:

ab

|MF1| a ex0,|MF2| a ex0(F1( c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和

AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q

交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.

x2y2

11. AB是椭圆2 2 1的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,则

ab

b2x0b2

kOM kAB 2,即KAB 2。

aay0x2y2

2 1内,则被Po所平分的中点弦的方程是12. 若P0(x0,y0)在椭圆2ab

x0xy0yx02y02

2 2 2. a2babx2y2

1内,则过Po的弦中点的轨迹方程是13. 若P0(x0,y0)在椭圆

a2b2

x2y2x0xy0y 2 2 2. 2abab

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双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为

直径的圆,除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P在右支;外切:

P在左支)

x2y25. 若P0(x0,y0)在双曲线2 2 1(a>0,b>0)上,则过P0的双曲线的切线方程

ab

xxyy

是02 02 1. ab

x2y2

6. 若P0(x0,y0)在双曲线2 2 1(a>0,b>0)外 ,则过Po作双曲线的两条切

ab

xxyy

线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是02 02 1.

ab

x2y2

7. 双曲线2 2 1(a>0,b>o)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为双曲线上任意

ab

2

S bcot一点 F,则双曲线的焦点角形的面积为. PF F1PF212

2

x2y2

8. 双曲线2 2 1(a>0,b>o)的焦半径公式:(F1( c,0) , F2(c,0)

ab

当M(x0,y0)在右支上时,|MF1| ex0 a,|MF2| ex0 a.

当M(x0,y0)在左支上时,|MF1| ex0 a,|MF2| ex0 a

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,

连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点,

A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.

x2y2

11. AB是双曲线2 2 1(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB

ab

b2x0b2x0

的中点,则KOM KAB 2,即KAB 2。

ay0ay0x2y2

12. 若P0(x0,y0)在双曲线2 2 1(a>0,b>0)内,则被Po所平分的中点弦的

ab

x0xy0yx02y02

方程是2 2 2 2.

abab

x2y2

13. 若P0(x0,y0)在双曲线2 2 1(a>0,b>0)内,则过Po的弦中点的轨迹方

ab

x2y2x0xy0y程是2 2 2 2.

abab

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椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)

椭 圆

x2y2

1. 椭圆2 2 1(a>b>o)的两个顶点为A1( a,0),A2(a,0),与y轴平行的直

ab

x2y2

线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2 2 1.

ab

x2y2

2. 过椭圆2 2 1 (a>0, b>0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直

ab

b2x0

线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且kBC 2(常数).

ay0x2y2

3. 若P为椭圆2 2 1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,

ab

PF1F2 , PF2F1 ,则

a c

tancot. a c22

x2y2

4. 设椭圆2 2 1(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上

ab

任意一点,在△PF1F2中,记 F1PF2 , PF1F2 , F1F2P ,则有

sin c

e.

sin sin a

x2y2

5. 若椭圆2 2 1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0

ab

<e

1时,可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2

6. P为椭圆2 2 1(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,

ab

则2a |AF2| |PA| |PF1| 2a |AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时,等号成立.

(x x0)2(y y0)2

1与直线Ax By C 0有公共点的充要条件是7. 椭圆

a2b2

A2a2 B2b2 (Ax0 By0 C)2.

x2y2

8. 已知椭圆2 2 1(a>b>0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且OP OQ.

ab

4a2b2111122

;(1(2)|OP|+|OQ|的最大值为2;(3)S OPQ

a b2|OP|2|OQ|2a2b2

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a2b2

的最小值是2. 2

a bx2y2

9. 过椭圆2 2 1(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦

ab

|PF|e

MN的垂直平分线交x轴于P,则 .

|MN|2x2y2

10. 已知椭圆2 2 1( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分

ab

a2 b2a2 b2

x0 线与x轴相交于点P(x0,0), 则 . aax2y2

11. 设P点是椭圆2 2 1( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点

ab

2b22

S btan|PF||PF| 记 F,则(1).(2) . PF PFF121212

21 cos

x2y2

12. 设A、B是椭圆2 2 1( a>b>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,

ab

PAB , PBA , BPA ,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有

2a2b22ab2|cos |2

cot . (1)|PA| 2.(2) tan tan 1 e.(3) S PAB 2

b a2a c2cos2

x2y2

13. 已知椭圆2 2 1( a>b>0)的右准线l与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F

ab

的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上,且BC x轴,则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应

焦点的连线必与切线垂直.

15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦

半径互相垂直.

16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数

e(离心率).

(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

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18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)

双曲线

x2y2

1. 双曲线2 2 1(a>0,b>0)的两个顶点为A1( a,0),A2(a,0),与y轴

ab

x2y2

平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2 2 1.

ab

x2y2

2. 过双曲线2 2 1(a>0,b>o)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互

ab

b2x0

补的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且kBC 2(常数).

ay0x2y2

3. 若P为双曲线2 2 1(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,

ab

F 2是焦点, PF1F2 , PF2F1 ,则

c a

taco(或c a22

c a

taco). c a22

x2y2

4. 设双曲线2 2 1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)

ab

为双曲线上任意一点,在△PF1F2中,记 F1PF2 ,

PF1F2 , F1F2P ,则有

sin c

e.

(sin sin )a

x2y2

5. 若双曲线2 2 1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,

ab

则当1<e

1时,可在双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2

6. P为双曲线2 2 1(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为双曲线

ab

P和内一定点,则|AF2| 2a |PA| |PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且

A,F2在y轴同侧时,等号成立.

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x2y2

7. 双曲线2 2 1(a>0,b>0)与直线Ax By C 0有公共点的充要条

ab22222

件是Aa Bb C.

x2y2

8. 已知双曲线2 2 1(b>a >0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,

ab

且OP OQ. 4a2b2111122

(1(2)|OP|+|OQ|的最小值为2;(3)S OPQ 2 2;222

b a|OP||OQ|aba2b2

的最小值是2. 2

b ax2y2

9. 过双曲线2 2 1(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于

ab

|PF|e

M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则 .

|MN|2x2y2

10. 已知双曲线2 2 1(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点,线段AB的

ab

a2 b2a2 b2

垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则x0 或x0 .

aa

x2y2

11. 设P点是双曲线2 2 1(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2

ab

2b2

为其焦点记 F,则(1)|PF1||PF2| .(2) 1PF2 1 cos

S PF1F2 b2cot.

2

x2y2

12. 设A、B是双曲线2 2 1(a>0,b>0)的长轴两端点,P是双曲线上的

ab

一点, PAB , PBA , BPA ,c、e分别是双曲线的半焦距

2ab2|cos |

离心率,则有(1)|PA| 2.

|a c2cos2 |

2a2b22

cot . (2) tan tan 1 e.(3) S PAB 2

2

b a

x2y2

13. 已知双曲线2 2 1(a>0,b>0)的右准线l与x轴相交于点E,过双曲

ab

线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上,且BC x轴,则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交

点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连

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线必与焦半径互相垂直.

16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常

数e(离心率).

(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).

17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/stg4.html

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