数学学年论文毕业论文关于定积分一些重要性质的讨论

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关于定积分一些重要性质的讨论

摘要：本文介绍改进的定积分保序性和第一和第二中值定理及其它重要性质，并举例说明其应用。

关键词：定积分 保序性 中值定理 1．引言：

由定积分的保序性可导出严格保序性，积分中值定理的中值号可在开区间（a,b）内取得。通常的高等数学教材将这些内容或者省略或者放入习题，而不加以重视。本文对此类性质作介绍，并举例说明它们在处理习题过程中的灵活应用，而且由此得出的结论也会加强。 2．定积分重要性质及其应用 2.1 保序性

设f（x）在[a,b]上连续非负，且f（x）不恒为零，则?f(x)dx>0

ab证明 若?f(x)dx=0,由f(x)的连续性和非负性有:

ab0≤?f(t)dt≤?f(x)dx=0 x∈[a，b].

aaxb从而?f(t)dt≡0，即

axddx?xaf(t)dt≡0，x∈[a，b]这与f（x）在[a，

b]上不恒为零矛盾。定理得证。

例1设f(x) 于[0, ?] 连续,且??0f(x)sinxdx=?f(x)cosxdx=0

0?试证在(0,?) 内至少存在两点?,? ,使得f( ?)=f(? )=0 证明 令F(t)=?f(x)sinxdx (0≤ t ≤

0t?), 则F(t) 于 [0,

?]连续,且可导,

由罗尔定理,存在??(0,

?), 使 Fˊ(?)=0,

由于 Fˊ(t) =f(t)sint

所以 f(?)sin ?=0 ,又由??(0,

下面证明又有??(0,

假设f(x)于(0,

?),所以sin ?? 0, 故f(?)=0

?),???, 使f(?)=0

?)内只有一个零点?, 则f(x)于(0, ?)及(? ,? )两个区间

内符号必相反,否则不可能有

??0f(x)sinxdx=0,而sin(x- ?)在(0, ?)及(? ,? )

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内显然符号也相反,故f(x) sin(x- ?)于这两个区间内符号相同.又[0, 此由上述定理可知?f(x)sin?(x??)dx?0 (*)

0?] 连续,因

?又由于?f(x)sinxdx=?f(x)cosxdx=0

0??0则

???0f(x)sin(x??)dxf(x)sinxdx-sin?=

??0f(x)?sinxcos??cosxsin??dx=cos??0??0f(x)cosxdx=0,这与 (*) 试矛盾,从而 f(x) 在 (0,

?)内除?之外必有另一零点?.

推论1 （严格保序性）f（x），g（x）在[a，b]上连续，f（x）≤g（x）且f（x）不恒等于g（x）。则：

?bbaf(x)dx＜?g(x)dx

ab推论2 设m,M分别是 连续函数f(x)在[a,b]上的最小值和最大值，且f(x)非常数。则：m(b-a)

a由推论1，2可得：

?试估计积分

10ex^2dx〉?ex^3dx，2e〈?e?x^2dx〈 2

0?111例2 设 f(x)在[a,b]上连续,f(0)=3,且对[0，1]上的一切 x,y成立| f(x)-f(y)| ≤|x-y|

?10f(x)dx的值.

解: 当 0≤x≤1 时,|f(x)-f(0)| ≤|x-0|=x, 即|f(x)-3|≤x? 3-x≤ f(x) ≤3+x

??0(3?x)dx≤?0f(x)dx ≤?0(3?x)dx 有

52111≤?f(x)dx ≤72.

01例3 设函数f(x)在取间[0，1]上连续且严格单调减。试证对任何a∈（0，1）有

?a0f(x)dx〉a?f(x)dx.

01证 令x=at,则?f(x)dx=a?f(at)dt.

00a1由于a,t∈（0，1），故ata?f(t)dt=a?f(x)dx.

000111?a0f(x)dx=

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2.1.1利用积分的有关性质可以证明许多有用的不等式

（1）许瓦兹不等式（schwarz）f(x),g(x)在[a,b]上可积，试证

b(?af(x)g(x)dx)?2?fab2(x)dx?gab2(x)dx

因对任一常数t有:(tf(x)?g(x))2?0 则

??tf(x)?g(x)ba?dx=t222?f(x)dx+2t?af(x)g(x)dx+?aba2bbg(x)dx?0

2因此上面关于 的二次三项式不可能有不同的实根，故

b(2?af(x)g(x)dx)-4?bbaf22(x)dxba?g(x)dx?0

a2b22bf(x)g(x)dx)?即 (?a?af(x)dx?g(x)dx

（2）由许瓦兹不等式可得：闵可夫斯基不等式（Minkowshi）f(x),g(x)都于[a,b]可积，

?b?a(f(x)?g(x))dx?212???b?ab?ab2?ag(x)dx2?12??b?abaf(x)dx2?212

2bf(x)f(x)?g(x)dx)?bf证明：(?a?a??2(x)dxb?a(??f(x)?g(x)?dx f(x)?g(x))dx?

12 ??f(x)?f(x)?g(x)?dx?ab?bag(x)?f(x)?g(x)?dx?f(x)dx??g(x)dx??212212b?a(f(x)?g(x))dx?2112两式相加有：

bb??f(x)?g(x)?dx???a(f(x)?g(x))2dx????af2(x)dx???abg2(x)dx??

b2(x)dx????bf2(x)dx? ???b(f(x)?g(x))2dx???aagab2122a+

12121212（3） 由许瓦兹不等式可以证明有些关系式的成立

设f(x)在[a,b]上连续可微，|f(x)|的最大值为M,且 f(a)=0,试证:M??(fa2b?(x)?dx

x∈[a，b],由许瓦兹不等式,都有

2证明：

对任意的

x(?ab2af?(t)dt)2x=(?abf?(t).1dt)22??(f?(t))dt?1dt??(f?(x))dx2ax2xb2aa?1dx=(b-a) ?(f?(x))dx

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x而 (?af?(t)dt)=(f(x)?f(a))=f2222(x)

所以

f2(x)?(b-a)

?(f?(x))dx

ab2上面不等式对一切x∈[a，b]成立，所以max?f2(x), x∈[a，b]

? ?(b-a)

?(f?(x))dx

ab即:

M2?(b-a)

?(f?(x))dx

ab22.2积分第一中值定理:

设f(x),g(x) 在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上不变号，则?存在y∈[a，b] ，使：

?baf(x)g(x)dx=f(?)?ag(x)dx

b证明过程参考华东师范大学数学系编著《数学分析》上册。

推论3 设f(x)在[a,b]上连续，则存在?∈（a,b），使：?f(x)dx=f(?)(b-a)

ab例4 试证：

?sinx01?x^2?2dx

证法1（用定理2）

?sinx?cosx01?x^2?2?2dx=?sinx?cosx01?x^2?4dx+???2sinx?cosx1?x^2dx=

411?y^2??40(sinx?cosx)dx+1?1t^2?(sinx?cosx)dx=(

?42-1)(

11?t^2?2?1??-1?y^2)其中：0

?2从而

?sinx?cosx01?x^2?2dx<0,即

?sinx01?x^2dx

证法 2（用推论1），令?2-x=t,，则

??2?4?4sinx?cosx1?x^2dx=??2cosx?sinx?01?(2?x)^2?4dx,?sinx?cosx01?x^2?4dx=

?sinx?cosx01?x^2?4dx+???2sinx?cosx1?x^24dx=

11??(sinx?cosx)dx ?1?x^2?01?(?x)^2由于0x,

??1?x1^2?1?(1?x)^2?(sinx-cosx)<0

?2所以

?sinx?cosx01?x^2?2dx<0

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例5（2004年考研题）

设f(x)在[0，?]连续。??0f(x)dx=0,??0f(x)cosxdx=0

试证 ：在（0，?）至少存在两不同点y1，y2，使f(y2)=f(y2)=0

证明 令F(x)=?x0f(t)dt，则F(0)=F(?)=0而

???0f(x)cosxdx=F(x)cosx|0+?F(x)sinxdx=?F(x)sinxdx=F(y)siny=

00??0,y?(0,?)

推出 F(y)=0(若仅有y?(0,?),就不能推出 F(y)=0 , 因sin0=sin?=0),由 F(0)=F(y)=F(?)=0,对F(x)在[0,y],及[y,?]上应用罗尔中值定理得：存在y1?[0,y],y2?[y,?] ，使 f(y1)=f(y2)=0.证毕。

上述讨论表明：由非严格不等试变为严格不等试，由闭区间缩小为开区间看似细节，但由此增加了解题的有用信息，其意义又不小。联想到：在级数中处理好区域内不满足格林公式或高斯公式条件的个别点，都是解决某些问题的关键。 2.2.1积分第一中值定理的几何意义：

若f(x)在[a,b]上连续，则y=f(x)在[a,b ]上的曲边梯形面积等于以推论3式所示的f(?) 为高,[a,b]为底的矩形面积，而 b?a1?baf(x)dx 则可理解为f(x) 在区间

[a,b]上所有函数的平均值，这是通常有限个算术平均值的推广。 例6 试求f(x)=sinx在[0, ?] 的平均值。 解 所求平均值为

f(y)=?1??01cosx| sinxdx=-??02=?

2.2.2 第一中值定理与拉格朗日中值定理（或罗尔定理）之间存在着密切的联系。 （1）当积分的被积函数f(x)是连续函数时，通过拉格朗日中值定理直接证明第一中值成立也是十分容易的。

事实上，令F(x)=?xaf(t)dt(a≤x≤b )则F(a)=0,F(b)=?f(x)dx

ab由于f(x)于[a,b]连续，于(a,b)可导,且Fˊ(x)=f(x),由拉格朗日中值定理可知，存在 y?(a,b) 使?f(x)dx=F(b)-F(a)=Fˊ(y)(b-a)=f(y)(b-a)

ab于是命题得证。

（2）如果在满足fˊ(x)于[a,b]连续的条件下，我们又可以通过第一中值定理来

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