2015高中数学一轮复习066离散型随机变量的数学期望与方差

2015级高三数学一轮复习学案（理） 编写： 审核： 时间： 编号：066

第六十六课时 随机变量的数学期望与方差

课前预习案

考纲要求

1.理解随机变量的均值、方差的意义、作用，能解决一些简单的实际问题． 2.理解二项分布、超几何分步的数学期望与方差.

基础知识梳理

1． 离散型随机变量的数学期望与方差

设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，?，xn，这些值对应的概率是p1，p2，?，pn. (1)数学期望：

称E(X)＝ 为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的 ． (2)方差：

称D(X)＝ 叫做这个离散型随机变量X的方差，即反映了离散型随机变量取值相对于期望的 (或说离散程度)，

D(X)的算术平方根D?X?叫做离散型随机变量X的标准差． 2． 二点分布与二项分布、超几何分布的期望、方差

期望 变量X服从二点分布 X～B(n，p) X服从参数为N，M， n的超几何分布 方差 预习自测

1． 若随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)的值为________.

ξ P 0 2x 1 3x 2 7x 3 2x 4 3x 5 x 2

2．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到3

乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数．若1

P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.

123． 某射手射击所得环数ξ的分布列如下：

ξ P

7 x 8 0.1 9 0.3 10 y 1

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已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为 ( ) A．0.4

B．0.6

C．0.7

D．0.9

X B．4

C．－1

D．1

P

－1 1 20 1 31 1 64． 已知X的分布列为设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为 ( )

7A. 3

5． 设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则

( )

A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4

C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45

课堂探究案考点1 离散型随机变量的均值、方差

典型例题

【典例1】(2012年高考湖北卷)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：

降水量X 工期延误天数Y 0 2 6 10 X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求： (1)工期延误天数Y的均值与方差；

(2)在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率．

【变式1】某中学在高三开设了4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课．对于该年级的甲、乙、丙3名学生，回答下面的问题：

(1)求这3名学生选择的选修课互不相同的概率； (2)某一选修课被这3名学生选修的人数的数学期望．

考点2 二项分布的均值、方差

【典例2】某人投弹命中目标的概率p＝0.8.

(1)求投弹一次，命中次数X的均值和方差； (2)求重复10次投弹时命中次数Y的均值和方差．

2

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【变式2】为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E(ξ)＝3，标准差D?ξ?为(1)求n，p的值并写出ξ的分布列；

(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．

考点3 均值与方差的应用

11

【典例3】现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、62

1

；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0

年内进行两次独立的调整．记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X，对乙项目每投资10万元，X取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元．随机变量X1、X2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润．

(1)求X1，X2的概率分布列和均值E(X1)，E(X2)； (2)当E(X1)

【变式3】 A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为

X1 P

(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；

5% 0.8 10% 0.2 X2 P 2% 0.2 8% 0.5 12% 0.3 6. 2

(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．

当堂检测

1． 已知某一随机变量X的概率分布列如下，且E(X)＝6.3，则a的值为

( )

X P A.5

7

2．已知X的分布列为且Y＝aX＋3，E(Y)＝，则a的值为 ( )

3

A．1

3

B．2

C．3

D．4

X P －1 1 20 1 31 1 6B．6

C．7

D．8

4 0.5 a 0.1 9 b 2015级高三数学一轮复习学案（理） 编写： 审核： 时间： 编号：066

3． 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的

期望值为 A．2.44

( )

D．2.4

B．3.376 C．2.376

4． 体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设

学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是 ( ) 7

A.0，12

()

71

B.12，1 C.0，2

()()

1

D.2，1

()

5． 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的

均值是________．

6． 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件数，则D(X)＝________.

7．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：

请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两

“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.

课后拓展案 A组全员必做题

x P(ξ＝x) 1 ？ 2 ！ 3 ？ 个

2142

1． 若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1

3339

11

D. 3

( )

5A. 37B. 3

C．3

2． 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，

记随机变量ξ＝|a－b|的取值，则ξ的数学期望E(ξ)为( ) 8A. 9

3B. 5

2C. 5

1D. 3

3． 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次

21

得分的均值为2，则＋的最小值为

a3bA.32 3

B.28 3

C.14 3

( ) D.16 3

4． 罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望

E(ξ)＝________.

5． 签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学

期望为________．

6．为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这

三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有4名武警战士(分别记为A、B、C、D)拟参加挑选，且每人能通过体能、221

射击、反应的概率分别为，，.这三项测试能否通过相互之间没有影响．

332(1)求A能够入选的概率；

(2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3 000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望．

4

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B组提高选做题

1． 设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取－22，－3，－

的距离，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________.

2．某市公租房的房源位于A、B、C三个片区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是

等可能的，求该市的任4位申请人中： (1)恰有2人申请A片区房源的概率；

(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望．

3.(2012年高考新课标全国卷)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果

当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．

(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式． (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：

日需求量n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10 55

，0，，3，22，用ξ表示坐标原点到l22

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率． ①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差． ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．

5

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参考答案

201

预习自测1．【答案】【解析】根据概率之和为1，求出x＝，则E(ξ)＝0×2x＋1×3x＋?＋5x

918

＝40x＝20

9

.

2．【答案】53【解析】由题意知P(X＝0)＝111

3(1－p)2＝12，∴p＝2

.

随机变量X的分布列为

X 0 1 2 3 E(X)＝0×112＋1×13＋2×51512＋3×6＝3. P 115112 3 12 6 3．【答案】 A

【解析】 由??x＋0.1＋0.3＋y＝1

?7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝8.9

，可得y＝0.4.

4． 【答案】 A【解析】 E(X)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13.∴E(Y)＝2E(X)＋3＝2×(－1)

7

3＋3＝3.

5． 【答案】 A【解析】 ∵X～B(n，p)，∴E(X)＝np＝1.6，D(X)＝np(1－p)＝1.28，∴??n＝8，

?p＝0.2.

典型例题

【典例1】【解析】 (1)由已知条件和概率的加法公式有P(X<300)＝0.3，

P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4， P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2， P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列为

Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3； D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.

(2)由概率的加法公式，得P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7， 又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝

P?300≤X<900?P?X≥300?

＝0.60.7＝6

7. 故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是6

7.

【变式1】【解析】 (1)3名学生选择的选修课互不相同的概率：p＝A343143＝8；

(2)设某一选修课被这3名学生选择的人数为ξ，

则ξ＝0,1,2,3.P(ξ＝0)＝3343＝2764，P(ξ＝1)＝C1332

43＝2764，P(ξ＝2)＝C23433＝9C33164，P(ξ＝3)＝43＝64

.

所以ξ的分布列为

ξ 0 1 2 3 P 27279164 64 64 64 数学期望E(ξ)＝0×2764＋1×2764＋2×91364＋3×64＝4. 【典例2】【解析】(1)随机变量X的分布列为

6

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X 0 1 P 0.2 0.8 因为X服从二点分布，故E(X)＝p＝0.8，D(X)＝p(1－p)＝0.8×0.2＝0.16. (2)由题意知，命中次数Y服从二项分布，

即Y～B(10，0.8)，∴E(Y)＝np＝10×0.8＝8，D(Y)＝np(1－p)＝10×0.8×0.2＝1.6. 探究提高 若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．

311

【变式2】【解析】(1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝，得1－p＝，从而n＝6，p＝.

222ξ的分布列为

ξ P 0 1 641 6 642 15 643 20 644 15 645 6 646 1 64(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(ξ≤3)，得 1＋6＋15＋2021P(A)＝＝

6432

【典例3】【解析】 (1)X1的概率分布列为

X1 P 111

E(X1)＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18.

623由题设得X～B(2，p)，即X的概率分布列为

X P 故X2的概率分布列为

X2 P 1.3 (1－p)2 1.25 2p(1－p) 0.2 p2 0 (1－p)2 1 2p(1－p) 2 p2 1.2 1 61.18 1 21.17 1 3所以E(X2)＝1.3×(1－p)2＋1.25×2p(1－p)＋0.2×p2＝1.3×(1－2p＋p2)＋2.5×(p－p2)＋0.2×p2 ＝－p2－0.1p＋1.3.

(2)由E(X1)1.18， 整理得(p＋0.4)(p－0.3)<0，解得－0.4

因为0

Y1 P

Y2 P E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，

D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4，E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8， D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. xx100－x?(2)f(x)＝D100Y1＋D?Y2＝100

?100?

2 0.2 8 0.5 12 0.3 5 0.8 10 0.2 ()100－x?44

D(Y)＝[x＋3(100－x)]＝(4x－600x＋3×100)． ()D(Y)＋?100100?100?

2

1

2

2

22

2

22

2

7

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600

当且仅当x＝＝75时，f(x)＝3为最小值．

2×4

当堂检测

1． 【答案】C

【解析】由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4.∴E(X)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3，∴a＝7. 1111

2．【答案】B【解析】先求出E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.

2363

17

再由Y＝aX＋3得E(Y)＝aE(X)＋3.∴＝a×－3＋3.解得a＝2.

33．【答案】C

【解析】X的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为

X P 3 0.6 2 0.24 1 0.096 0 0.064 ()

∴E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376. 4． 【答案】C

【解析】由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，

51

则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1.75，解得p>或p<，又由p∈(0,1)，

221

可得p∈0，2. 5． 【答案】 0.7

【解析】 E(X)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.

()119119

6． 【答案】【解析】由题意知取到次品的概率为，∴X～B3，4，∴D(X)＝3××1－4＝. 164416

7．【答案】2【解析】设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为1－2x，则E(ξ)＝1·x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2.

A组全员必做题

1． 【答案】C

【解析】分析已知条件，利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式得： 214

?x1·＋x2·＝，33?3

?424x1－2·＋x2－?333?

()()()()2

12

·＝，39

5?x＝1?3解得?

2x2＝??3

ξ P ?x1＝1，?x1＝1，

?或又∵x1

bb

<0，即>0，也就是a，b必须同号， 2aa

2．【答案】A【解析】∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴－

∴ξ的分布列为

0 1 31 4 92 2 91428

∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 3999

2

3． 【答案】D【解析】由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，其中0

3

213a＋2b2112ba10

＋又＋＝＝3＋＋＋≥＋2a3ba3b23a2b3

()2ba16

·＝， a2b3

8

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2ba112116

当且仅当＝，即a＝2b时取“等号”，又3a＋2b＝2，即当a＝，b＝时，＋的最小值为，故选D.

a2b24a3b312

4．【答案】 5

3

【解析】因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，连续摸4次(做4次试验)，ξ为取得

53312

红球(成功)的次数，则ξ～B4，5，从而有E(ξ)＝np＝4×＝. 555．【答案】5.25

【解析】由题意可知，X可以取3,4,5,6，P(X＝3)＝

11C233＝，P(X＝4)＝， 33＝C620C620

()C23C2145P(X＝5)＝3＝，P(X＝6)＝3＝.由数学期望的定义可求得E(X)＝5.25.

C610C62

6．解 (1)设A通过体能、射击、反应分别记为事件M、N、P，则A能够入选包含以下几个互斥事件：MNP，MNP，M

NP，MNP.

221211121221122

∴P(A)＝P(MNP)＋P(MNP)＋P(MNP)＋P(MNP)＝××＋××＋××＋××＝＝.

3323323323321832

答 A能够入选的概率为. 3

8， ()()()＝81

21212243216

P(入选了两人)＝C(3)(3)＝，P(入选了三人)＝C(3)(3)＝，P(入选了四人)＝C(3)＝，

818181(2)P(没有入选任何人)＝C42

4

2

021－3

4

＝

21

，P(入选了一人)＝C14381

3

4

3

13

3

2

44

4

记ξ表示该训练基地得到的训练经费，该基地得到训练经费的分布列为

ξ P 0 1 813 000 8 816 000 24 819 000 32 8112 000 16 818243216E(ξ)＝3 000×＋6 000×＋9 000×＋12 000×＝8 000(元)

81818181所以，该基地得到训练经费的数学期望为8 000元．

B组提高选做题

4

1．【答案】

7

1

【解析】当l的斜率k为±22时，直线l的方程为±22x－y＋1＝0，此时坐标原点到l的距离d＝；当k为±3时，d

3152

＝；当k为±时，d＝；当k为0时，d＝1，由古典概型的概率公式可得分布列如下： 223

ξ P 12122214所以E(ξ)＝×＋×＋×＋1×＝.

37273777

2．解 (1)方法一 所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有C222种，从而恰有2人申请A片4·

C22284·

区房源的概率为4＝.

327

方法二 设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验．

9

1 32 71 22 72 32 71 1 72015级高三数学一轮复习学案（理） 编写： 审核： 时间： 编号：066

1

记“申请A片区房源”为事件A，则P(A)＝. 3从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为 1

P4(2)＝C243

8

＝. ()(2)327

2

2

1322

C231143?C2C4＋C4C2?

(2)ξ的所有可能值为1,2,3.又P(ξ＝1)＝4＝，P(ξ＝2)＝＝ 4327327

?或P?ξ＝2?＝C3?24－2?＝14?，P(ξ＝3)＝C3C44C2＝4

39327??

综上知，ξ的分布列为

114465

从而有E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝. 2727927

24121

(3

C24A34

或P?ξ＝3?＝4＝.

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)

ξ P 1 1 272 14 273 4 93解 (1)当日需求量n≥16时，利润y＝80.当日需求量n<16时，利润y＝10n－80.

?10n－80，n<16，

所以y关于n的函数解析式为y＝?(n∈N)．

?80，n≥16

(2)①X可能的取值为60,70,80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7. X的分布列为

X的数学期望为E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.

X的方差为D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝②法一 花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：

若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)， 那么Y的分布列为

Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝

Y的方差为D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04. 由以上的计算结果可以看出，D(X)

若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为

Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54 Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54 76.4.

X P 60 0.1 70 0.2 80 0.7 44.

Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4. 由以上的计算结果可以看出，E(X)

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