高中机械能知识点、例题详解

第六章机械能

大纲要求：

1．功、功率Ⅱ

2．动能、做功与动能改变的关系Ⅱ

3．重力势能、重力做功与重力势能改变的关系Ⅱ

4．弹性势能Ⅰ

5．机械能守恒定律Ⅱ

6．动量知识和机械能知识的应用（包括碰撞、反冲、火箭）Ⅱ

7．航天技术的发展和宇宙航行Ⅰ

知识网络：

单元切块：

按照考纲的要求，本章内容可以分成四个单元，即：功和功率；动能、势能、动能定理；机械能守恒定律及其应用；功能关系动量能量综合。其中重点是对动能定理、机械能守恒定律的理解，能够熟练运用动能定理、机械能守恒定律分析解决力学问题。难点是动量能量综合应用问题。

§1 功和功率

知识目标

一、功的概念

1、定义：力和力的作用点通过位移的乘积．

2.做功的两个必要因素：力和物体在力的方向上的位移

3、公式：W＝FScosα（α为F与s的夹角）．

说明：恒力做功大小只与F、s、α这三个量有关．与物体是否还受其他力、物体运动的速度、加速度等其他因素无关，也与物体运动的路径无关．

4.单位：焦耳（J) 1 J＝1N·m.

5.物理意义：表示力在空间上的积累效应，是能的转化的量度

6.功是标量，没有方向，但是有正负．正功表示动力做功，负功表示阻力做功，功的正负表

示能的转移方向．

①当0≤a ＜900时W ＞0，力对物体做正功；

②当α=900时W ＝0，力对物体不做功；

③当900＜α≤1800时W ＜0，力对物体做负功或说成物脚体克服这个力做功，这两种说法

是从二个角度来描述同一个问题．

二、注意的几个问题

①F ：当F 是恒力时，我们可用公式W ＝Fscos θ运算；当F 大小不变而方向变化时，分段求

力做的功；当F 的方向不变而大小变化时，不能用W ＝Fscos θ公式运算（因数学知识的原

因），我们只能用动能定理求力做的功．

②S ：是力的作用点通过的位移，用物体通过的位移来表述时，在许多问题上

学生往往会产生一些错觉，在后面的练习中会认识到这一点，另外位移S 应

当弄清是相对哪一个参照物的位移

③功是过程量：即做功必定对应一个过程（位移），应明确是哪个力在哪一过程中的功．

④什么力做功：在研究问题时，必须弄明白是什么力做的功．如图所示，在力F 作用下物体

匀速通过位移S 则力做功FScos θ，重力做功为零，支持力做功为零，摩擦力做功－Fscos

θ，合外力做功为零．

【例1】如图所示，在恒力F 的作用下，物体通过的位移为S ，则力F 做的功为 解析：力F 做功W ＝2Fs ．此情况物体虽然通过位移为S ．但力的作用点通过的

位移为2S ，所以力做功为2FS ． 答案：2Fs

【例2】如图所示，质量为m 的物体，静止在倾角为α的粗糙的斜面体上，

当两者一起向右匀速直线运动，位移为S 时，斜面对物体m 的弹力做的功

是多少？物体m 所受重力做的功是多少？摩擦力做功多少？斜面对物体m

做功多少？

解析：物体m 受力如图所示，m 有沿斜面下滑的趋势，f 为静摩擦力，位移

S 的方向同速度v 的方向．弹力N 对m 做的功W 1＝N ·scos （900＋α）＝－ mgscos

αs i n α，重力G 对m 做的功W 2＝G ·s cos900=0．摩擦力f 对m 做的功W3=fscos

α=mgscos αsin α．斜面对m 的作用力即N 和f 的合力，方向竖直向上，大小

等于mg （m 处于平衡状态），则： w ＝F 合scos900＝mgscos900＝o

答案：－ mgscos αs i n α，0， mgscos αs i n α，0

点评：求功，必须清楚地知道是哪个力的功，应正确地画出力、位移，再

求力的功．

【例3】如图所示，把A 、B 两球由图示位置同时由静止释放（绳开始时拉

直），则在两球向左下摆动时．下列说法正确的是

A 、 绳子OA 对A 球做正功

B 、 绳子AB 对B 球不做功

C 、 绳子AB 对A 球做负功

D 、 绳子AB 对B 球做正功

解析：由于O 点不动，A 球绕O 点做圆周运动，OA 对球A 不做功。对于AB 段，我们可

以想象，当摆角较小时．可以看成两个摆长不等的单摆，由单摆的周期公式就可以看出，A

摆将先回到平衡位置．B 摆将落后于A 摆，AB 绳对A 球做负功，对B 球做正功。答案：CD

扩展与研究：一个力对物体做不做功，是正功还是负功，判断的方法是：①看力与位移之间

夹角，或者看力与速度方向之间的夹角：为锐角时，力对物体做正功，在上例中AB

的拉力

与B 球的速度方向就是锐角；为钝角时，力对物体做负功，上例中AB 的拉力与A 球的速度方向就是钝角。为直角时，力对物体不做功，上例中OA 与A 球的拉力与A 球速度方向就是直角。②看物体间是否有能量转化。若有能量转化，则必定有力做功。此法常用于相连的物体做曲线运动的情况。 规律方法

1、功的计算方法

1.由公式W=Fs cos α求解

两种处理办法：

①W 等于力F 乘以物体在力F 方向上的分位移scos α,即将物体的位移分解为沿F 方向上和垂直F 方向上的两个分位移s 1和s 2，则F 做的功W ＝F s 1＝Fscos α.

②W 等于力F 在位移s 方向上的分力Fcos α乘以物体的位移s ，即将力F 分解为沿s 方向和垂直s 方向的两个分力F 1和F 2，则F 做功W=F 1s ＝Fcos αs. 注意：这种方法只能用来计算恒力做功（轨迹可以是直线也可以是曲

线）

【例】如图所示，带有光滑斜面的物体B 放在水平地面上，斜面底端有一重G=2 N 的金属块A

，斜面高h =，倾角α＝600，用一水平推力F 推A ，在将A 从底端推到顶端的过程中,A 和B 都做匀速运动，

且B 运动距离L=30 cm ，求此过程中力F 所做的功和金属块克服斜面支持力所做的功． 解析：此题应先求出两个力的大小，再由公式W ＝Fscosa 求解，如图所示．

由物体平衡条件： F ＝Gtan α＝2tan600

＝，

024cos cos60N G F N α===

斜面的水平宽度l=hcot

α06015cm ==

由勾股定理得金属块A 的位移

s =， F 与s 的夹角设为α2

，则2tan h l l

α==+2=300 力F 做功：W 1=Fscos

α2

=20210cos6010J --?=或. W 1=Fscos α2=F

（

l+L ）210J -=

F N 与s 的夹角α1=900＋（α一α2）＝900＋（600一300）＝1200

故克服支持力N 所做的功

W N =一F N

scos120

0202410cos6010J --=??=

2、多个力的总功求解

①用平行四边形定则求出合外力，再根据w ＝F 合scos α计算功．注意α应是合外力与位移s 间的夹角．

②分别求各个外力的功：W 1＝F 1 scos α1， W 2=F 2scos α2……再求各个外力功的代数和．

【例】物体静止在光滑水平面上，先对物体施一水平右的恒力F l ，经ts 后撤去F 1，立即再对它施一水平向左的恒力F 2，又经ts 后物体回到原出发点，在这一点过程中，F l 、F 2分别对物体做的功W 1、W 2间的关系是（）

A. W 1 = W 2 ；

B. W 2＝2 W 1；

C. W 2＝3W 1；

D. W 2=5 W 1 ；

【解析】认为F 1和F 2使物体在两段物理过程中经过的位移、时间都相等，故认为W 1 = W 2而误选A;

而认为后一段过程中多运动了一段距离而误选B 。这都反映了学生缺乏一种物理思想：

那就

是如何架起两段物理过程的桥梁？很显然，这两段物理过程的联系点是“第一段过程的末速度正是第二段过程的初速度”。由于本题虽可求出返回时的速度，但如果不注意加速度定义式中ΔV 的矢量性，必然会出现错误，错误得到其结果v 2＝0，而误选A,其原因就是物体的运动有折返。

解法1：如图,A 到B 作用力为F 1，BCD 作用力为F 2,由牛顿第

二定律F=ma ，及匀减速直线运动的位移公式S=v o t －?at 2

,匀加速直线运动的速度公式v 0=at ，设向右为正，AB=S ，可得：

一S ＝v 0t －?a 2t 2=（a 1t ）t －?a 2t 2，S=0＋?a 1t 2；∴－?a 1t 2=a 1t

2

－?a 2t 2

；即22211211;22F F F t t t m m m ??????-=- ? ? ???????

∴F 2=3 F 1

A 到

B 过程F 1做正功，BCB /过程F 2的功抵消，B /

到D 过程F 2做正功，即W 1＝F 1 S, W 2=F 2S ，∴W 2＝3W 1,

解法2：设F 2的方向为正方向，F 1作用过程位移为S ，F 1对物体做正功，由动能定理：F 1S=?mv 12

。

在F 2作用的过程中，F 2的位移为一S ，与F 2同向，物体回到出发点时速度为v 2，由动能定理得：F 2S=?mv 2

2

－?mv 1

2

。2

1122221

,

F v F v v ∴=-由牛顿第二定律得

11;v F m t =21

2;v v F m t ---=11212

;F v F v v ∴=+21122

2112v v v v v v ∴=-+．∴v 2＝2v 1，∴W 2＝3W 1 拓展：若该物体回到出发点时的动能为32J ，则F l 、F 2分别对物体做的功W 1、W 2是多少？

由动能定理得：ΔE K = W 1＋W 2=32J ，W 1/W 2= F 1/F 2，∴W 1=8J ；W 2=24J 。 3、变力做功问题

①W ＝F ·scos α是用来计算恒力的功，若是变力，求变力的功只有通过将变力转化为恒力，再用W ＝Fscos α计算．

②有两类不同的力：一类是与势能相关联的力，比如重力、弹簧的弹力以及电场力等，它们的功与路径无关，只与位移有关或者说只与始末点的位置有关；另一类是滑动摩擦力、空气阻力等，在曲线运动或往返运动时，这类力（大小不变）的功等于力和路程（不是位移）的积．

③根据功和能关系求变力的功．如根据势能的变化求对应的力做的功，根据动能定理求变力做的功，等等．

④根据功率恒定，求变力的功，W=Pt.

⑤求出变力F 对位移的平均力来计算，当变力F 是位移s 的线性函数时，平均力122F F

F --+=．

⑥作出变力F 随位移，变化的图象，图象与位移轴所围均“面积”即为变力做的功． 【例】面积很大的水池，水深为H ，水面上浮着一正方体木块，木

块边长为a 。，密度为水密度的?，质量为m,开始时，木块静止，

如图所示，现用力F 将木块缓慢地压到水池底，不计摩擦，求： (1）从木块刚好完全没人水中到停止在池底的过程中，池水势能的改变量． (2)从开始到木块刚好完全没入水中的过程中，力F 所做的功． 解析:(1)木块刚好没入水中到到达池底的过程中,相当于有相同

体积的水从池底到达水面,因木块的密度为水的冗长度的?,故相

同体积的水的质量为2m,,故池水势能的改变量为ΔE P =2mg(H －a);

(2)因水池面积很大,可忽略因木块压入而引起的水深的变化,木块刚好完全没入水中时,图中原来划线区域的水被排开,相当于这部分水平铺于水面,这部分水的质量为m,其势能的改变量为:

3344E mgH mg H a mga ???=--= ??

?水 木块势能的改变量为:122a E mg H mgH mga ???=--=- ??

?木 根据动能定理,力F 做的功为:W=ΔE 水+ΔE 木=?mga.

(2)又解：从开始到木块完全没入水中的过程，力F 所做的功为变

力功．也可画出Fs 图象，做功在数值上等于Fs 图线与位移S 轴所

围图形的面积的数值，在压下木块过程中，力F 与位移s 成正比，

从开始到完全没入水中，力F 的位移为

12a ，作出F-s 图象如图,,据图象可求得做功111W=amg=mga.224

? 4、做功求解的典型情况

①注意力、冲量、功的区别

除了它们的物理定义、单位以及是标量还是矢量以外，从动力学观点来看：（1）力和物体的运动状态的变化存在着瞬时因果关系，即力是产生加速度的原因，有力才有加速度，力变加速度变，它们之间的因果规律用牛顿第二定律来表达．（2）力的冲量反映的是力持续在一段时间的作用效果的累积量．其结果是要引起物体动量的改变，它们之间的因果规律用动量定理来表达．（3）功是力持续作用在一段空间位移上的作用效果的累积量，是标量．其结果是要引起物体动能的改变，它们之间的因果规律用动能定理来表达．

【例4】如图所示，质量相等的两物体沿相同高度不同倾角的两光滑斜面由静止滑下，到达底端的过程中，两情况（ ）

A ．重力冲量相等

B ．重力做功相等

C ．物体受合外力冲量相等

D ．物体受合外力做功相等

解析： A ．重力冲量大小不相等，由于所用时间不同，因而不相等；B ．重力做功相等，

重力做功特点是只与始末位置而跟路径无关；C ．物体所受合外力冲量大小相等，都为m h l v -2

，由于∠θ≠∠α，所以方向不同；D ．物体所受合外力做功相等，都为mgh ．答案：BD ②作用力和反作用力的做功

作用力与反作用力同时存在，作用力做功时，反作用力可能做功，也可能不做功，可能做正功，也可能做负功，不要以为作用力与反作用力大小相等、方向相反，就一定有作用力、反作用力的功数值相等，一正一负．所以作用力与反作用力做功不一定相等，但冲量的大小相等．

【例5】以下说法正确的是（ ）

A ．摩擦力可以对物体做正功

B ．摩擦力可以使物体的速度发生变化，但对物体不做功

C ．作用力与反作用力做功一定相等

D ．一对平衡力做功之和为零

解析：A ．摩擦力可以对物体做正功，只要摩擦力的方向与物体运动方向相同，摩擦力就做正功．摩擦力可以改变物体的速度，对物体有一个冲量作用，但物体在力的方向上没有位移，因而不做功，如随圆板一起转动的物体．

由此可以认识到：力对物体有冲量，但不一定对物

体做功，相反只要力对物体做功，一定会有冲量．又可进一步认识：力使物体动量发生变化，其动能不一定变化；但力使物体动能发生变化时，其动量一定发生变化．c ．作用力与反作用力做功不一定相等，如一炸弹炸成质量为m 与 2 m 的两块，根据动量守恒mv 1=2mv 2， 则

v 1=2v 2，作用力和反作用力做功为W 1=?m(2v 2)2与W 2=?mv 22，所以不相等。可认识到：作用力

和反作用力产生的冲量总是大小相等，但做功可能不相等．D ．一对平衡力合力为零，所以二力合力做功为零．答案：ABD

③摩擦力的做功

A 、静摩擦力做功的特点

（1）静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。

（2）在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有机械能转化为其他形式的能．

（3）相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做功的代数和总为零。

B ．滑动摩擦力做功的特点

如图所示，上面不光滑的长木板，放在光滑的水平地面上，一小木块以速度V 0从木板的左端滑上木板，当木块和木板相对静止时，木板相对地面滑动了S ，小木块相对木板滑动了d ，则由动能定理知：

滑动摩擦力对木块所做功为： W 木块=一f （d ＋S ）……①

滑动摩擦力对木板所做功为： W 木板=fs ……②

所以，木块动能增量为： ΔE K 木块=一f （d ＋s ）……③

木板动能增量为： ΔE K 木板=fs ………④

由③④得：ΔE K 木块＋ΔE K 木板=一fd ………⑤

⑤式表明木块和木板组成的系统的机械能的减少量等于滑动摩擦力与木块相对木板的位移的乘积。这部分减少的能量转化为内能。

故滑动摩擦力做功有以下特点：

1）滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以对物体做负功，当然也可以不做功。

2）一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两个方面：一是相互摩擦的物体之间机械能的转移；二是机械能转化为内能。转化为内能的量值等于滑动摩擦力与相对位移的乘积。

3）滑动摩擦力、空气摩擦阻力等，在曲线运动或往返运动时等于力和路程（不是位移）的乘积

【例6】如图所示，半径为R 的孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管

内以足够大的初速度v 0在水平面内做圆周运动，小球与管壁间的动摩擦因

数为μ，设从开始运动的一周内小球从A 到B 和从B 到A 的过程中摩擦力

对小球做功分别为W 1和W 2，在这一周内摩擦力做的总功为W 3，则下列关系

式正确的是（ ）

A ．W 1＞W 2

B ．W 1＝W 2

C ． W 3＝ 0

D ． W3＝W 1＋W 2

解析：求某一力对物体所做的功值有多种思路，对于恒力（大小、方向均

不变的力）做功的情况，通常由w ＝Fscos α求解．对于变力（特别是方向发生变化的力）做功的情况，一般由功能转换关系求解．对于后一种思路，一定要正确判断哪些力做功，在外力做功的过程中，物体（或系统）的能量如何发生变化，变化了多少．

小球在水平弯管内运动，滑动摩擦力始终与速度方向相反，做负功，而小球在水平面内的圆周运动的向心力是由外管壁对小球的弹力N 提供的，由于转动半径R 始终不变，摩擦力对小球做负功，小球运动的速率逐渐减小，向心力减小即N 减小，而f ＝μN ，滑动摩擦力f 也减小，即由下列关系：

N=Fn=mv 2/R m ，R 不变，v 减小，则N 减小，

f ＝μN N 减小，则f 减小

W=－f πR f 减小，则W 减小

所以W 1＞W 2

W 1．W 2都为负功，因此W 3＝W 1＋W 2．答案：AD

【例7】如图所示，PQ 是固定在水平桌面上的固定挡板，质量为m 的小

木块N 从靠近P 以一定的初速度向Q 运动，已知物块与桌面间的动摩擦

因数为μ，P 与Q 相距为s ，物块与Q 板碰撞n 次后，最后静止于 PQ

的中点，则整个过程摩擦力所做的功为多少？（n 为自然数）

解析：物块与Q 板碰撞n 次后，最后停在PQ 中点，会有两种可能，一种可能是与Q 板

碰后向P 板运动至中点而停止，设与Q 板碰撞n 次，则物体运动的路程为（2n 一2

1）s ，摩擦力所做的功为W f1=μmg （2n 一2

1）s 第二种可能是物块与Q 板碰后再与P 板碰撞向Q 板运动至中点而停止，在这种情况下，

物体运动的路程为（2n ＋21）s ，摩擦力所做的功为 W f2= μmg （2n ＋2

1）s ，两种情况下，摩擦力对物体均做负功。

扩展与研究：两类不同的力，一类是与势能相关的力，如重力、弹簧的弹力、电场力等，它们的功与路程无关系，只与位移有关。另一类是滑动摩擦力，空气阻力等，这类力做功与物体的运动路径有关。在上例中，滑动摩擦力是一个变力，方向在变化，可转化为恒力做功，同时滑动摩擦力做功要看物体运动的路程，这是摩擦力做功的特点，必须牢记。

点评：求功的思路共有四条:（1）由功的定义．恒力做功；（2）由能量关系求解；（3）由功率的定义；（4）由动能定理求解．

§2 功率 知识目标

一、功率的定义: 功跟完成这些功所用时间的比值叫做功率，它表示物体做功的快慢．

二、单位：瓦（w ），千瓦（kw ）；

三、标量

四、公式:P ＝W ／t ＝Fv

1．P ＝W ／t 所求的是这段时间内平均功率．

2．P ＝Fv 当v 为平均值时为平均功率，当v 为即时值时为即时功率．

3．P ＝Fv 应用时，F 、v 必须同向，否则应分解F 或v ，使二者同向．这里的P=Fv 实际上是Fvcos θ、θ为F 、v 夹角．

4．我们处理问题时必须清楚是哪一个力的功率，如一个机械的功率为P ，这里指的是牵引力的功率，不可认为是机械所受合外力的功率．

五、发动机铭牌上的功率，是额定功率，也就是说该机正常运行时的最大输出功率，该机工作时输出功率要小于或等于此值． 规律方法

1、功率的计算方法

【例1】如图所示，质量为lkg 的物体与平面间摩擦系数μ=0．l （g 取10m ／s 2），在2 N

水平拉力作用下由静止开始运动了2s ，求这段时间内拉力、摩擦力、重力、支持力的平均功率及2s 末的即时功率各为多少？

解析：a=m

f F -=1m ／s 2．s ＝?at 2＝2m ． v ＝at ＝2m/s 外力 F 做功功率．平均值为：p 1＝W/t=Fs/t=2W 2s 末即时功率为：P 1/=Fv ＝4 W

摩擦力做功功率．平均值：P 2=fs/t=1W 2 s 末即时功率为：P 2/=fv= 2 W

重力与支持力N 由P=Fvcos θ知：功率都为0．

答案：外力F 平均功率和即时功率分别为2W 、4W ；摩擦力平均功率和即时功率分别为1W 、2W ；重力和支持力功率都为0．

点评：（1）明确是什么力做功功率； （2）清楚是平均功率还是即时功率．

【例2】如图所示，质量为m 的物体沿高为h 的光滑斜面滑下到达底端时重力

的即时功率为多少？

错解：由机械能守恒定律可知到达底端速度v=gh 2，所以此时功率P ＝mgv=mg gh 2：提示：这里没有注意到mg 与v 的夹角，应当为P= mgsin θgh 2

点评：做题时注意力跟速度的夹角．

【例3】一个小孩站在船头，按应当为图5—15两种情况用同样

大小力拉绳，经过相同的时间t （船未碰撞），小孩所做的功W 1、

W 2及在时间t 内小孩拉绳的功率 P 1、P 2的关系为（ ）

A ．W 1＞W 2，P 1= P 2

B ．W 1＝W 2，P 1＝P 2

C ．W 1＜W 2，P 1＜P 2

D ．W 1＜W 2，P 1= P 2

提示：两种情况中拉力对人做的功一样，第二种情况拉力除

对人做功外，又对另一只小船也做了功，所以W 2＞W 1．由于所用时间一样，所以P 2＞P 1．

答案：C

点评：应弄清哪一个力对哪一个物体做功，其功率是什么 2、两种功率

【例4】长为L 的细线一端固定在O 点，另一端系一质量为m 的小球，开始时，

细线被拉直，并处于水平位置，球处在0点等高的A 位置，如图所示，现将球由

静止释放，它由A 运动到最低点B 的过程中，重力的瞬时功率变化的情况是（ ） A.一直在增大 B.一直在减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大

解析:小球在A 位置时速度为零，重力的瞬时功率为零，到达B

位置时，速度达到最大B v 900

，P B ＝0，由于两个极端位置瞬时功率均为0，故可判断C 正确．

点评:物体在恒力作用下的变速运动或在变力作用下的运动，力做功的瞬时功率一般都随时间变化，因此，在求某力在某时的瞬时功率或讨论某力做功的瞬时功率随时间的变化时，都应根据公式P=Ftcos α来进行分析和计算．

【例5】（1994年上海高考题）跳绳是一种健身运动。设某运动员的质量是50kg ，他一分钟跳绳180次。假定在每次跳跃中，脚与地面的接触时间占跳跃一次所需时间的2/5，

则该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率是＿。（g 取10m/s 2）

解析：把运动员每次跳跃转换成质点做竖直上抛运动模型。每次跳跃总时间

T ＝60/180＝1/3s ． 每次腾空的时间t=3

1（l 一52）=0．02s 。 每次腾空高度 h=?g （t/2）2=?×10×（0．02/2）2＝0．05m 。

每次腾空上升时克服重力做的功 W=mgh=50×10×0．05＝25J 。

把每次跳跃总时间T 内的触地过程、下落过程舍弃，简化成在T 内就是单一竖直上升克服重力做功的过程，故可解出 P ＝W/T ＝25／（1/3）=75 W 。

点评：综上所述不难发现，灵活地转换物理模型是一种重要的物理思想方法。学会这种方法，就会使我们在解决物理问题时变得从容自如，巧解速解物理问题，从而提高学习的效率。

【例6】随着生活水平的提高，伴随着心血管病也比

以前增加了．为了提高生活质量，延长人的寿命，掌

握心血管健康活动的常识就显得十分重要，心脏在人

的一生之中之所以能够 不停地跳动而不疲倦，其原

因之一在于它的活 动具有节律性，图中是心脏每跳

动一次，心房和心室的舒张、收缩情况：

（1）从图分析，心脏在人的一生中不停地跳动，为什么不会疲倦？

（2）如果有人心率为75次／min ，则每搏的输出量为70ml ，每分钟输出量为 ，一般情况

下，长跑运

动员与正

常人相比，

心率较慢，

但

较多，所以能满足运动时的供血．

（3）如果有人的心率为 75次／min ，则心脏每跳动一次所需的时间是 ，心房、心室共同处于 期，所占的时间约为

（4）若某人的心脏每分钟跳动75次，心脏收缩压为135mmHg （lmmHg ＝133．322Pa ）收缩一次输出血量平均为70ml ，那么心脏收缩时的平均功率有多大？

解析：（1）从图中可以看出，如果心率是75次／min ，其中心房只工作（收缩）了0．1s ，休息（舒张）了0．7s ，心室工作了0．3s ，休息了0．5s ，可见心脏每跳动一次，心房、心室的舒张期比收缩期长，心脏有充分休息的时间，因此人的一生，心脏不停地跳动而不知疲倦．

（2）5250ml （每搏输出量是指心脏跳动一次，心脏收缩时向动脉输出的血量，每收缩一次输出70ml ，每分输出量为70×75=5250ml ）

经常参加体育锻炼的人，心肌发达，搏动有力，每搏输出量比一般人要大．

（3）0．8s 舒张0．4s （心脏每分钟跳动的次数叫心率）

（4）心脏收缩一次做功：W=P ·ΔV

∵P=135mmHg ＝1．8×104Pa ΔV ＝70ml ＝7×10－5m

3 ∴W ＝1．8×104Pa ×7×10－5m 3＝1．26J ∴每分钟，心脏做功W /=75×1．26=94．5J

∴心脏收缩时平均功率为P =94．5/60=1．6W

3、汽车起动问题分析

(1)当以恒定功率运动时，做加速度越来越小的变加速直线运动，a=vm P －m

f ，当F 牵＝f 时，加速度a ＝0，此时的速度为最大速度．所以v m =p/f ，以后机车做匀速直线运动。

(2)欲使汽车从静止开始做匀加速直线运动，一开始不能用额定功率，功率必须随着速度增加而增加，使P/v=F 恒定；这种运动持续一段时间后．汽车又做加速度越来越小的加速运动，最后达到最大速度v m ，所以求匀加速直线运动的时间不可用t=v m /a ，必须用v=P 额/F ，而t=v/a ， 由此得：t= P 额

/Fa

【例7】质量为lkg 的机械与平面间摩擦力f=2N ，其额定功率为12 W ，要使它以a ＝lm ／s 2

的加速度做匀加速直线运动，问做这种运动的最长时间为多少？

错解：v m ＝P/f ＝6m ／s ， t=v m /a=6s

解析：以上做法错在何处，我们进行如下的分析：要使a ＝lm ／s 2，必须F ＝f ＋ma ＝3N

要使F=3N 速度最大为v=P/F=4m ／s 所以做匀加速直线运动的时间为t=v/a=4s

这里可做这样的检验：当速度大于4m ／s 时，不妨设为5 m ／s ；F=P/v=2．4N ，则加速度

a=（F －f ）/m=0．4 m ／s 2，显然不是匀加速直线运动了，所以一旦速度大于4m ／s 时，由

于功率不再增加，加速度则变小，做的是加速度越来越小的加速直线运动，直到加速度为零，之后做匀速运动．答案：4 s 点评（1）此类问题关键是发动机的功率是否达到额定功率，若在额定功率下起动，则一定是交加速运动，因为牵引力随速度的增大而减小．求解时不能用匀变速运动的规律来解．具体变化过程可用如下示意图表示．

（2）特别注意匀加速起动时，牵引力恒定．当功率随速度增至预定功率时的速度（匀加速结束时的速度），并不是车行的最大速度．此后，车仍要在额定功率下做加速度减小的加速运动．（这阶段类同于额定功率起动）直至a=0时速度达到最大．具体变化过程可用如下示意图 【例】一辆汽车在平直的公路上以速度v 0开始加速行驶，经过一段时间t ，前进了距离s ，此时恰好达到其最大速度V m .设此过程中汽车发动机始终以额定功率P 工作，汽车所受的阻力恒定为F ，则在这段时间里，发动机所做的功为（ ）

A 、 Fv m t ；

B 、Pt ；

C 、?mv m 2＋Fs －?mv 02；

D 、02

m v v Ft +； 解析：汽车在恒定功率作用做变牵引力的加速运动，所以发动机做功为变力

做功，根据P=W/t 可求得W=Pt ，而P=F /v=Fv m ，所以W= Fv m t ；根据能量守恒：W ＋?mv 02=?mv m

2＋Fs

所以W=?mv m 2＋Fs －?mv 02；答案：ABC

思考：为何用0,2m v v s vt t -+==得到02

m v v w Fs Ft +==不正确？错在哪里？ 【例】质量为m = 4000kg 的卡车，额定输出功率为P=60 kW 。当它从静止出发沿坡路前进

时，每行驶100 m ，升高5m ，所受阻力大小为车重的0.1倍，取g=10 m/s 2 .

试求：(1)卡车能否保持牵引力为8000 N 不变在坡路上行驶？

(2)卡车在坡路上行驶时能达到的最大速度为多大？这时牵引力为多大？

(3)如果卡车用4000 N 牵引力以12m/s 的初速度上坡，到达坡顶时，速度为4 m/s,那么卡车在这一段路程中的最大功率为多少？平均功率是多少？

分析:汽车能否保持牵引力为8000 N 上坡要考虑两点：第一，牵引力是否大于阻力？第二，汽车若一直加速，其功率是否将超过额定功率，依P=Fv 解。本题考查了汽车牵引力恒定时功率的计算。不少同学在得到 F > f + mgsin θ后，立即做出结论：汽车可以保持牵引力8000 N 不变上坡；而没有考虑到汽车由于加速，速度不断增大，其功率不断增大，如果坡路足够长，这种运动方式是不允许的。

解：分析汽车上坡过程中受力情况如图所示：牵引力F,重力mg ＝4×10

4N ，f ＝kmg ＝4×103 N ，

支持力N ，依题意sin θ＝5/100。

（1）汽车上坡时，若F ＝8000N,而f ＋mgsin θ＝4×103＋4×104×1/20＝6×103

N,即F> f +mgsin θ,汽车将加速上坡，速度不断增大，其输出功率P=Fv 也不断增大，长时间后，将超出其额定输出功率，所以，汽车不能保持牵引力为8000N 不变上坡。

(2)汽车上坡时，速度越来越大，必须不断减小牵引力以保证输出功率不超过额定输出功率，

当牵引力F= f + mgsin θ=6×103 N 时，汽车加速度为零，速度增大到最大，设为v m ，则P

＝Fv ＝（f ＋mgsin θ）·v m ；

3601010/,sin 6000m P v m s f mg θ?===+F= f + mgsin θ=6×103 N （3）若牵引力F=4000N ，汽车上坡时，速度不断减小，所以最初的功率即为最大，P=Fv=4000

×12=48×103w 。整个过程中平均功率为12440002

P F v --+==?=32×103W 4、实际问题中的功率

【例8】推动节水工程的转动喷水“龙头”。如图所示，龙头距地

面h ，其喷灌半径可达10h ，每分钟喷水质量为m ，所用水从地面下

H 的井中抽取，设水以相同的速率喷出，水泵的效率为η，水泵的

功率P 至少多大？

解析:水泵对水做功，用来增大水的重力势能和动能．

设水喷出时速度为v ，则h=?gt 2

,10h=vt;

解得v =每分钟内水泵对水做的功W ＝mg （H ＋h ）＋?mv 2=mg(H+26h)，又W=ηPt,∴

()2660mg H h w p t ηη

+== 【例9】一传送带装置示意如图，其中传送带经过AB 区域时是水平的，经过BC 区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD 区域时是倾斜的，AB 和CD 都与BC 相切。现将大量的质量均为m 的小箱一个一个在A 处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D 处，D 和A 的高度差为h 。稳定工作时传送带速度

不变，CD 段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L 。每个

箱子在A 处投上后，在到达B 之前已经相对于传送带静止，

且以后也不再滑动（忽略经BC 段时的微小滑动）。己知

在一段相当长的时间T 内，共运送小货箱的数目为N ，这

装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮

轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率P 。

【解析】以地面为参考（下同），设传送带的运动速度为v 0，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，设这段路程为S ，所用时间为t ，加速度为a ，则

对小箱有：S ＝?at 2……①

v 0＝at ………②。在这段时间内，传送带运动的路程为：S 0= v 0t ……③，由以上可得S 0＝2S ……④。用f 表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为：W 1=fS=?mv 02……⑤；传送带克服小箱对它的摩擦力做功：W 0=Fs 0=2·?mv 02……⑥

两者之差就是克服摩擦力做功发出的热量：Q=?mv 02……⑦

可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与发热量相等。

T 时间内，电动机输出的功为：W=PT ……⑧

此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热,即W=?Nmv 02十Nmgh ＋NQ ……⑨

已知相邻两小箱的距离为L ，所以：v 0T ＝NL ……⑩

联立⑦⑧⑨⑩得

22

2

Nm N L

P gh

T T

??

=+

??

??

。

§3动能动能定理

知识目标

一、动能

如果一个物体能对外做功，我们就说这个物体具有能量．物体由于运动而具有的能． E k ＝?mv2，其大小与参照系的选取有关．动能是描述物体运动状态的物理量．是相对量。

二、动能定理

做功可以改变物体的能量．所有外力对物体做的总功等于物体动能的增量． W1＋W2＋W3＋……＝?mv t2－?mv02

1．反映了物体动能的变化与引起变化的原因——力对物体所做功之间的因果关系．可以理解为外力对物体做功等于物体动能增加，物体克服外力做功等于物体动能的减小．所以正功是加号，负功是减号。

2．“增量”是末动能减初动能．ΔE K＞0表示动能增加，ΔE K＜0表示动能减小．

3、动能定理适用单个物体，对于物体系统尤其是具有相对运动的物体系统不能盲目的应用动能定理．由于此时内力的功也可引起物体动能向其他形式能（比如内能）的转化．在动能定理中．总功指各外力对物体做功的代数和．这里我们所说的外力包括重力、弹力、摩擦力、电场力等．

4．各力位移相同时，可求合外力做的功，各力位移不同时，分别求力做功，然后求代数和．5．力的独立作用原理使我们有了牛顿第二定律、动量定理、动量守恒定律的分量表达式．但动能定理是标量式．功和动能都是标量，不能利用矢量法则分解．故动能定理无分量式．在处理一些问题时，可在某一方向应用动能定理．

6．动能定理的表达式是在物体受恒力作用且做直线运动的情况下得出的．但它也适用于变为及物体作曲线运动的情况．即动能定理对恒力、变力做功都适用；直线运动与曲线运动也均适用．

7．对动能定理中的位移与速度必须相对同一参照物．

三、由牛顿第二定律与运动学公式推出动能定理

设物体的质量为m，在恒力F作用下，通过位移为S，其速度由v0变为v t，

则：根据牛顿第二定律F=ma……①根据运动学公式2as=v t2一v02……②

由①②得：FS=?mv t2－?mv02

四．应用动能定理可解决的问题

恒力作用下的匀变速直线运动，凡不涉及加速度和时间的问题，利用动能定理求解一般比用牛顿定律及运动学公式求解要简单的多．用动能定理还能解决一些在中学应用牛顿定律难以解决的变力做功的问题、曲线运动等问题．

【例1】如图所示，质量为m的物体与转台之间的摩擦系数为μ，物体与转轴间距离为R，物体随转台由静止开始转动，当转速增加到某值时，物体开始在转台上滑动，此时转台已开始匀速转动，这过程中摩擦力对物体做功为多少？

解析

：物体开始滑动时，物体与转台间已达到最大静摩擦力，这里认为就

是滑动摩擦力μmg ．

根据牛顿第二定律μmg=mv 2/R ……① 由动能定理得：W=?mv 2 ……②

由①②得：W=?μmgR ，所以在这一过程摩擦力做功为?μmgR 点评：（1）一些变力做功，不能用 W ＝ FScos θ求，应当善于用动能定理．

（2）应用动能定理解题时，在分析过程的基础上无须深究物体的运动状态过程中变化的细节，只须考虑整个过程的功量及过程始末的动能．若过程包含了几个运动性质不同的分过程．即可分段考虑，也可整个过程考虑．但求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同情况分别对待求出总功．计算时要把各力的功连同符号（正负）一同代入公式．

【例2】一质量为m 的物体．从h 高处由静止落下，然后陷入泥土中深度为Δh 后静止，求阻力做功为多少？

提示：整个过程动能增量为零， 则根据动能定理mg （h ＋Δh ）－W f ＝0

所以W f ＝mg （h ＋Δh ） 答案：mg （h ＋Δh ）

规律方法

1、动能定理应用的基本步骤

应用动能定理涉及一个过程，两个状态．所谓一个过程是指做功过程，应明确该过程各外力所做的总功；两个状态是指初末两个状态的动能．

动能定理应用的基本步骤是：

①选取研究对象，明确并分析运动过程．

②分析受力及各力做功的情况，受哪些力？每个力是否做功？在哪段位移过程中做功？正功？负功？做多少功？求出代数和．

③明确过程始末状态的动能E k1及E K2

④列方程 W=E K2一E k1，必要时注意分析题目的潜在条件，补充方程进行求解．

【例3】总质量为M 的列车沿水平直线轨道匀速前进，其

末节车厢质量为m ，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶

了L 的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力，设阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的，当列车的两部分都

停止时，它们的距离是多少？

解析:此题用动能定理求解比用运动学结合牛顿第二定律

求解简单．先画出草图如图所示，标明各部分运动位移（要

重视画草图）；对车头，脱钩前后的全过程，根据动能定理便可解得.FL －μ(M －m)gS 1=－

?(M －m)v 02

对末节车厢，根据动能定理有一μmgs 2＝－?mv 02 而ΔS=S 1一S 2由于原来列车匀速运动，所

以F=μMg ．以上方程联立解得ΔS=ML/ (M 一m ）．

说明:对有关两个或两个以上的有相互作用、有相对运动的物体的动力学问题,应用动能定理求解会很方便．最基本方法是对每个物体分别应用动能定理列方程，再寻找两物体在受力、

运动上的联系，列出方程解方程组．

2、应用动能定理的优越性

(1)由于动能定理反映的是物体两个状态的动能变化与其合力所做功的量值关系，所以对由初始状态到终止状态这一过程中物体运动性质、运动轨迹、做功的力是恒力还是变力等诸多问题不必加以追究，就是说应用动能定理不受这些问题的限制．

(2)一般来说，用牛顿第二定律和运动学知识求解的问题，用动能定理也可以求解，而且往往用动能定理求解简捷．可是，有些用动能定理能够求解的问题，应用牛顿第二定律和运动学知识却无法求解．可以说，熟练地应用动能定理求解问题，是一种高层次的思维和方法，应该增强用动能定理解题的主动意识．

(3)用动能定理可求变力所做的功．在某些问题中，由于力F 的大小、方向的变化，不能直接用W=Fscos α求出变力做功的值，但可由动能定理求解．

【例4】如图所示，质量为m 的物体用细绳经过光滑小孔牵引

在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个值F 时，转动半

径为R ，当拉力逐渐减小到F/4时，物体仍做匀速圆周运动，

半径为2R ，则外力对物体所做的功的大小是:

FR 3FR 5FR B C D 442

A 、；、；、；、零; 解析:设当绳的拉力为F 时，小球做匀速圆周运动的线速度为v 1，则有F=mv 12

/R ……①

当绳的拉力减为F/4时，小球做匀速圆周运动的线速度为v 2,则有F/4=mv 22/2R ……②

在绳的拉力由F 减为F/4的过程中，绳的拉力所做的功为W=?mv 22－?mv 12=－?FR

所以，绳的拉力所做的功的大小为FR/4,A 选项正确．

说明:用动能定理求变力功是非常有效且普遍适用的方法．

【例5】质量为m 的飞机以水平v 0飞离跑道后逐渐上升,若飞机在此过程中水平速度保持不变,同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供,不含重力).今测得当飞机在水平方向的位移为L 时,它的上升高度为h,求(1)飞机受到的升力大小?(2)从起飞到上升至h 高度的过程中升力所做的功及在高度h 处飞机的动能?

解析(1)飞机水平速度不变,L= v 0t,竖直方向的加速度恒定,h=?at 2,消去t 即得2022h a v l

= 由牛顿第二定律得:F=mg ＋ma=20221h mg v gl ??+ ??

? (2)升力做功W=Fh=20221h mgh v gl ??+ ??? 在h 处,v t

02hv l =, ()2222002114122k t h E m v v mv l ??∴=+=+ ???

3、应用动能定理要注意的问题

注意1．由于动能的大小与参照物的选择有关，而动能定理是从牛顿运动定律和运动学规律的基础上推导出来，因此应用动能定理解题时，动能的大小应选取地球或相对地球做匀速直线运动的物体作参照物来确定．

【例6】如图所示质量为1kg 的小物块以5m/s 的初速度滑上一块原来静止在水平面上的木板，木板质量为4kg ，木板与水平面间动摩擦因数是0.02，经过2S 以后，木块从木板另一端以1m/s 相对于地的速度滑出，g 取10m ／s ，求这一过程中木板的位移．

解析：设木块与木板间摩擦力大小为f 1，木板与地面间摩擦力大小为f 2．

对木块：一f 1t=mv t 一mv 0，得f 1=2 N

对木板：（f l －f 2）t ＝Mv,f 2＝μ（m ＋ M ）g

得v ＝0．5m/s 对木板：（f l －f 2）s=?Mv 2，得 S=0·5 m 答案：0．5 m

注意2．用动能定理求变力做功，在某些问题中由于力F 的大小的变化或方向变化，所以不能直接由W=Fscos α求出变力做功的值．此时可由其做功的结果——动能的变化来求变为F 所做的功．

【例7】质量为m 的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg,此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为（）

A.mgR/4

B. mgR/3

C. mgR/2

D.mgR

解析:小球在圆周运动最低点时,设速度为v 1,则7mg －mg=mv 12/R ……①

设小球恰能过最高点的速度为v 2,则mg=mv 22/R ……②

设设过半个圆周的过程中小球克服空气阻力所做的功为W,由动能定理得:－mg2R －W=?mv 2

2－?mv 12……③

由以上三式解得W=mgR/2. 答案：C 说明：该题中空气阻力一般是变化的，又不知其大小关系，故只能根据动能定理求功，而应用动能定理时初、末两个状态的动能又要根据圆周运动求得不能直接套用，这往往是该类题目的特点．

注意3．区别动量、动能两个物理概念．动量、动能都是描述物体某一时刻运动状态的状态量，动量是矢量，动能是标量．动量的改变必须经过一个冲量的过程，动能的改变必须经过一个做功的过程．动量是矢量，它的改变包括大小和方向的改变或者其中之一的改变．而

动能是标量，它的改变仅是数量的变化．动量的数量与动能的数量可以通过P 2=2mE K 联系在

一起，对于同一物体来说，动能E K 变化了，动量P 必然变化了，但动量变化了动能不一定变化．例如动量仅仅是方向改变了，这样动能就不改变．对于不同的物体，还应考虑质量的多少．

【例8】动量大小相等的两个物体，其质量之比为2：3，则其动能之比为（ B ）

A ．2：3；

B ．3：2；

C ．4：9；

D ．9：4

解析：由E k =m

P 22

可知，动量大小相等的物体，其动能与它们的质量成反比，因此动能的比应为3：2．

【例9】在水平面上沿一条直线放两个完全相同的小物体A 和B ，它

们相距s ，在B 右侧距B2s 处有一深坑，如图所示，现对A 施以瞬间

冲量，使物体A 沿A 、B 连线以速度v 0开始向B 运动．为使A 与B 能

发生碰撞，且碰撞之后又不会落入右侧深坑中，物体A 、B 与水平面

间的动摩擦因数应满足什么条件？设A,B 碰撞时间很短，A 、B 碰撞后不再分离．

解析:A 与B 相碰，则22001,.22v mv mgs gs

μμ?? A 和B 碰前速度v 1，22101122

mv mv mgs μ

-=-,1v =A 与B 碰后共同速度v 2.mv 1

=2mv 2,2112v v =AB 不落入坑中,221222,2mv mg s μ?≤ 解得2014v gs μ≥ 综上，μ应满足条件2200142v v gs gs

μ≤≤ 【例10】如图所示，两个完全相同的质量为m 的木板A 、B

置于水平地面上它们的间距s =2.88m ．质量为2m 、大小

可忽略的物块C 置于A 板的左端． C 与A 之间的动摩擦因

数为μ1=0.22， A 、B 与水平地面的动摩擦因数为μ2=0.10，

最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力． 开始时， 三个物体处于静止状态．现给C 施加一个水平向右，大小为mg 5

2的恒力F ， 假定木板

A 、

B 碰撞时间极短且碰撞后粘连在一起．要使

C 最终不脱离木板，每块木板的长度至少应为多少?

【分析】：这题重点是分析运动过程，我们必须看到A 、B 碰撞前A 、C 是相对静止的，A 、B 碰撞后A 、B 速度相同，且作加速运动，而C 的速度比A 、B 大，作减速运动，最终A 、B 、C 达到相同的速度，此过程中当C 恰好从A 的左端运动到B 的右端的时候，两块木板的总长度最短。

【解答】：设l 为A 或B 板的长度，A 、C 之间的滑动摩擦力大小为f 1，A 与水平面的滑动摩擦力大小为f 2

∵μ1=0.22。 μ2=0.10 ∴mg f mg 252F 11μ=<=……① 且()g m m f mg +=>=25

2F 22μ…② 一开始A 和C 保持相对静止,在F 的作用下向右加速运动.有()()21222

1v m m s f F +?=?- …③ A 、B 两木板的碰撞瞬间，内力的冲量远大于外力的冲量。由动量守恒定律得mv 1=(m +m )v 2 …④

碰撞结束后到三个物体达到共同速度的相互作用过程中，设木板向前移动的位移为s 1. 选三个物体构成的整体为研究对象，外力之和为零，则()()32122v m m m v m m mv ++=++ …⑤

设A 、B 系统与水乎地面之间的滑动摩擦力大小为f 3。对A 、B 系统，由动能定理

2223132122

1221mv mv s f s f -=

?-? … ⑥ ()g m m m f ++=23.μ…⑦ 对C 物体，由动能定理()()212311122122122mv mv s l f s l F -=+?-+?……… ⑧ 由以上各式，再代人数据可得l =0.3(m)

注意4．动量定理与动能定理的区别，两个定理分别描述了力对物体作用效应，动量定理描述了为对物体作用的时间积累效应，使物体的动量发生变化，且动量定理是矢量武；而动能定理描述了力对物体作用的空间积累效应，使物体的动能发生变化，动能定理是标量式。所以两个定理分别从不同角度描述了为对物体作用的过程中，使物体状态发生变化规律，在应用两个定理解决物理问题晚要根据题目要求，选择相应的定理求解。

【例11】如图所示，在光滑的水平面内有两个滑块A 和B ，其质量

m A ＝6kg ，m B =3kg ，它们之间用一根轻细绳相连．开始时绳子完全松

弛，两滑块靠在一起，现用了3N 的水平恒力拉A ，使A 先起动，当

绳被瞬间绷直后，再拖动B 一起运动，在A 块前进了0．75 m 时，两滑块共同前进的速度v=2/3m ／s ，求连接两滑块的绳长．

解析：本题的关键在于“绳子瞬间绷直”时其张力可看成远大于外力F ，所以可认为A 、B 组成的系统动量守恒．此过程相当于完全非弹性碰撞，系统的机械能有损失．

根据题意，设绳长为L ，以绳子绷直前的滑块A 为对象，由动能定理得FL=?m A v 12①

绳绷直的瞬间，可以认为T ＞＞F ，因此系统的动量守恒，m A v 1＝（m A 十m B ）v 2②

对于绳绷直后，A 、B 组成的系统（看成一个整体）的共同运动过程，由动能定理

F （0．75－L ）＝?（m A 十m B ）v 12－?（m A 十m B ）v 22……③

由式①一③解得L ＝0．25m 答案：0．25 m

4、 动能定理的综合应用

动能定理和动量定理、动量守恒定律的综合应用是力学问题的难点，也是高考考查的重点，解决这类问题关键是分清哪一过程中动量守恒，哪一过程中应用动能定理、动量定理

【例12】某地强风的风速约为v=20m/s,设空气密度ρ=1.3kg/m 3,

如果把通过横截面积=20m 2风的动能全部转化为电能,则利用上述已知量计算电功率的公式应为P=_________,大小约为_____W(取一位有效数字)

E k =231122mv v ts ρ?=? P=33511 1.32020110()22

k E v s w t ρ==???=?? 【例13】两个人要将质量M ＝1000 kg 的小车沿一小型铁轨推上长L ＝5 m,高h ＝1 m 的斜坡顶端．已知车在任何情况下所受的摩擦阻力恒为车重的0.12倍，两人能发挥的最大推力各为800 N.水平轨道足够长，在不允许使用别的工具的情况下，两人能否将车刚好推到坡顶？

如果能应如何办？（要求写出分析和计算过程）（g 取10 m/s 2）

解析:小车在轨道上运动时所受摩擦力f

f ＝μM

g ＝0.12×1000×10N=1200 N

两人的最大推力F ＝2×800 N ＝1600 N

F ＞f,人可在水平轨道上推动小车加速运动，但小车在斜坡上时f ＋Mgsin θ＝1200 N ＋10000·1/5N ＝3200 N ＞F=1600 N

可见两人不可能将小车直接由静止沿坡底推至坡顶．

若两人先让小车在水平轨道上加速运动，再冲上斜坡减速运动，小车在水平轨道上运动最小距离为s

（F 一f ）s 十FL 一fL 一Mgh=0

100001520400

Mgh s L m m m F f ?∴=-=-=- 答案:能将车刚好推到坡顶，先在水平面上推20 m ，再推上斜坡．

§4 机械能守恒定律 知识目标

一、机械能

1．由物体间的相互作用和物体间的相对位置决定的能叫做势能．如重力势能、弹性势能、分子势能、电势能等．

（1）物体由于受到重力作用而具有重力势能，表达式为 E P =一mgh ．式中h 是物体到零重力势能面的高度．

（2）重力势能是物体与地球系统共有的．只有在零势能参考面确定之后，物体的重力势能

才有确定的值，若物体在零势能参考面上方高 h 处其重力势能为 E P =一mgh ，若物体在零势能参考面下方低h 处其重力势能为 E P =一mgh ，“一”不表示方向，表示比零势能参考面的势能小，显然零势能参考面选择的不同，同一物体在同一位置的重力势能的多少也就不同，所以重力势能是相对的．通常在不明确指出的情况下，都是以地面为零势面的．但应特别注意的是，当物体的位置改变时，其重力势能的变化量与零势面如何选取无关．在实际问题中我们更会关心的是重力势能的变化量．

【例1】如图所示，桌面高地面高H ，小球自离桌面高h 处由静止落下，

不计空气阻力，则小球触地的瞬间机械能为（设桌面为零势面）（ ）

A ．mgh ；

B ．mgH ；

C ．mg （H ＋h ）；

D ．mg （H －h ）

解析：这一过程机械能守恒，以桌面为零势面，E 初=mgh ，所以着地时也为

mgh ，有的学生对此接受不了，可以这样想，E 初=mgh ，末为 E 末=?mv 2－mgH ，而?mv 2=mg （H

＋h ）由此两式可得：E 末=mgh 答案：A

（3）弹性势能，发生弹性形变的物体而具有的势能．高中阶段不要求具体利用公式计算弹性势能，但往往要根据功能关系利用其他形式能量的变化来求得弹性势能的变化或某位置的弹性势能．

2．重力做功与重力势能的关系：重力做功等于重力势能的减少量W G =ΔE P 减=E P 初一E P 末，克服重力做功等于重力势能的增加量W 克=ΔE P 增=E P 末—E P 初

特别应注意：重力做功只能使重力势能与动能相互转化，不能引起物体机械能的变化．

3、动能和势能（重力势能与弹性势能）统称为机械能．

二、机械能守恒定律

1、内容：在只有重力（和弹簧的弹力）做功的情况下，物体的动能和势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变．

2.机械能守恒的条件

（1)对某一物体，若只有重力（或弹簧弹力）做功，其他力不做功（或其他力做功的代数和为零），则该物体机械能守恒．

(2）对某一系统，物体间只有动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统和外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变为其他形式的能，则系统机械能守恒．

3．表达形式：E K1＋E pl =E k2＋E P2

（1）我们解题时往往选择的是与题目所述条件或所求结果相关的某两个状态或某几个状态建立方程式．此表达式中E P 是相对的．建立方程时必须选择合适的零势能参考面．且每一状态的E P 都应是对同一参考面而言的．

（2）其他表达方式，ΔE P =一ΔE K ，系统重力势能的增量等于系统动能的减少量．

（3）ΔE a =一ΔE b ，将系统分为a 、b 两部分，a 部分机械能的增量等于另一部分b 的机械能的减少量，

三、判断机械能是否守恒 首先应特别提醒注意的是，机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力等于零，例如水平飞来的子弹打入静止在光滑水平面上的木块内的过程中，合外力的功及合外力都是零，但系统在克服内部阻力做功，将部分机械能转化为内能，因而机械能的总量在减少．

（

1)用做功来判断：分析物体或物体受力情况（包括内力和外力），明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒；

(2）用能量转化来判定：若物体系中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系机械能守恒．

（3）对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等除非题目的特别说明，机械能必定不守恒，完全非弹性碰撞过程机械能不守恒 说明：1．条件中的重力与弹力做功是指系统内重力弹力做功．对于某个物体系统包括外力和内力，只有重力或弹簧的弹力作功，其他力不做功或者其他力的功的代数和等于零，则该系统的机械能守恒，也就是说重力做功或弹力做功不能引起机械能与其他形式的能的转化，只能使系统内的动能和势能相互转化．如图5－50所示，光滑水平面

上，A 与L 1、L 2二弹簧相连，B 与弹簧L 2相连，外力向左推B 使L 1、L 2

被压缩，当撤去外力后，A 、L 2、B 这个系统机械能不守恒，因为L I 对

A 的弹力是这个系统外的弹力，所以A 、L 2、

B 这个系统机械能不守恒．但

对L I 、A 、L 2、B 这个系统机械能就守恒，因为此时L 1对A 的弹力做功属系统内部弹力做功．

2．只有系统内部重力弹力做功，其它力都不做功，这里其它力合外力不

为零，只要不做功，机械能仍守恒，即对于物体系统只有动能与势能的相

互转化，而无机械能与其他形式转化（如系统无滑动摩擦和介质阻力，无

电磁感应过程等等），则系统的机械能守恒，如图5－51所示光滑水平面

上A 与弹簧相连，当弹簧被压缩后撤去外力弹开的过程，B 相对A 没有发

生相对滑动，A 、B 之间有相互作用的力，但对弹簧A 、B 物体组成的系统

机械能守恒．

3．当除了系统内重力弹力以外的力做了功，但做功的代数和为零，但系

统的机械能不一定守恒．如图5—52所示，物体m 在速度为v 0时受到外

力F 作用，经时间t 速度变为v t ．（v t ＞v 0）撤去外力，由于摩擦力的作

用经时间t /速度大小又为v 0，这一过程中外力做功代数和为零，但是物体m 的机械能不守恒。

【例2】对一个系统，下面说法正确的是（ ）

A ．受到合外力为零时，系统机械能守恒

B ．系统受到除重力弹力以外的力做功为零时，系统的机械能守恒

C ．只有系统内部的重力弹力做功时，系统的机械能守恒

D ．除重力弹力以外的力只要对系统作用，则系统的机械能就不守恒

解析

：

系统受到合外力为零时，系统动量守恒，

但机械能就不一定守恒，

C 对

【例3】如图所示，在光滑的水平面上放一质量为M ＝96．4kg 的木箱，

用细绳跨过定滑轮O 与一质量为m=10kg 的重物相连，已知木箱到定滑

轮的绳长AO ＝8m ，OA 绳与水平方向成300角，重物距地面高度h=3m ，

开始时让它们处于静止状态．不计绳的质量及一切摩擦，g 取10 m ／s 2，

将重物无初速度释放，当它落地的瞬间木箱的速度多大？

解析：本题中重物m 和水箱M 动能均来源于重物的重力势能，只是m 和M 的速率不等． 根据题意，m ，M 和地球组成的系统机械能守恒，选取水平面为零势能

面，有mgh ＝?mv 2m ＋?Mv 2M

从题中可知，O 距M 之间的距离为 h /＝Oasin300

＝4 m

当m 落地瞬间，OA 绳与水平方向夹角为α，则cos α=h OA h /

=4/5 而m 的速度v m 等于v M 沿绳的分速度，如图5—55所示，则有 v m ＝v M cos α 所以，由式①一③得v M =6m/s 答案：6m/ s

四．机械能守恒定律与动量守恒定律的区别：

动量守恒是矢量守恒，守恒条件是从力的角度，即不受外力或外力的和为零。机械能守恒是标量守恒，守恒条件是从功的角度，即除重力、弹力做功外其他力不做功。确定动量是否守恒应分析外力的和是否为零，确定系统机械能是否守恒应分析外力和内力做功，看是否只有重力、系统内弹力做功。还应注意，外力的和为零和外力不做功是两个不同的概念。所以，系统机械能守恒时动量不一定守恒；动量守恒时机械能也不一定守恒。

【例4】如图所示装置，木块B 与水平面的接触是光滑的，子弹A 沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短．现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象（系统），则此系统在子弹射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中（ ）

A ．动量守恒、机械能守恒

B ．动量不守恒，机械能不守恒

C ．动量守恒、机械能不守恒

D ．动量不守恒、机械能守恒

解析：在力学中，给定一个系统后，这个系统经某一过程兵动量和机械能是否守恒，要看是否满足动量守恒和机械能守恒条件．在这个过程中，只要系统不受外力作用或合外力为零（不管系统内部相互作用力如何）动量必然守恒．但在子弹、木块、弹簧这个系统中，由于弹簧的压缩，墙对弹簧有作用力，所以水平合外力不等于零，系统动量不守恒，若选取子弹，木块为系统，在子弹射入木块过程中，因t 很短，弹簧还来不及压缩，或认为内力远大于外力（弹力），系统动量守恒．在这个过程中，外力 F 、N 、 mg 不做功．系统内弹力做功，子弹打入木块的过程中，有摩擦力做功，有机械能向内能转化．因此机械能不守恒（若取子弹打入B 后，A 、B 一起压缩弹簧的过程，系统只有弹力做功，机械能守恒）．答案：B 由上述分析可知，判定系统动量，机械能是否守恒的关键是明确守恒条件和确定哪个过程．

【例5】两个完全相同的质量均为m 的沿块A 和B ，放在光滑水平面上，滑块A 与轻弹簧相连，弹簧另一端固定在墙上，当滑块B 以v 0的初速度向滑块A 运动时，如图所示，碰A 后不再分开，下述正确的是（ ）

A ．弹簧最大弹性势能为?mv 02

B ．弹簧最大弹性势能为?mv 02

C ．两滑块相碰以及以后一起运动系统机械能守恒

D ．两滑块相碰以及以后一起运动中，系统动量守恒

解析：两滑决的运动应分两阶段，第一阶段两滑决相碰，由于碰后两滑块一起运动，有部分机械能转化为内能．机械能不守恒，但动量守恒．因此有： mv 0=（m 十m ）v 所以v=?v 0

第二阶段，两滑块一起在弹簧力作用下来回振动，此时只有弹簧力做功，机械能守恒．但在

此过程系统外力冲量不为零，系统动量不守恒，因此有： E P ＋?（m ＋m ）v 2/2=?（m ＋m ）

v 2

所以弹性势能最大为v /

2＝0时，所以E P =?mv 20． 答案：B 五.机械能守恒定律与动能定理的区别

机械能守恒定律反映的是物体初、末状态的机械能间关系，且守恒是有条件的，而动能定理揭示的是物体动能的变化跟引起这种变化的合外力的功间关系，既关心初末状态的动能，也必须认真分析对应这两个状态间经历的过程中做功情况．

规律方法

1、单个物体在变速运动中的机械能守恒问题

【例6】从某高处平抛一个物体，物体落地时速度方向与水平方向夹角为θ，取地面处重力势能为零，则物体落下高度与水平位移之比为 ．抛出时动能与重力势能之比为 ．

解析：设平抛运动的时间为 t ，则落地时， gt=v 0tan θ即 gt 2＝

v 0

ttan θ

所以 2h ＝stan θ所以h/s=tan θ/2

由于落地的速度v=v 0/cos θ 又因为?m v 02十mgh=?mv 2

所以mgh=?m v 02/cos 2θ－?mv 02 所以?mv 02/mgh=cot 2θ

【例7】如图所示，一个光滑的水平轨道AB 与光滑的圆轨道BCD 连接，其中图轨道在竖直平面内，半径为R ，B 为最低点，D 为最高点．一个质量为m 的小球以初速度v 0沿AB 运动，刚好能通过最高点D ，则（ ）

A ．小球质量越大，所需初速度v 0越大

B ．圆轨道半径越大，所需初速度v 0越大

C ．初速度v 0与小球质量m 、轨道半径R 无关

D 。小球质量m 和轨道半径R 同时增大，有可能不用增大初速度v 0

解析：球通过最高点的最小速度为v ，有mg=mv 2

/R ，v=gR 这是刚好通过最高点的条件，根据机械能守恒，在最低点的速度v 0应满足 ?m v 02=mg2R ＋?mv 2，v 0=gR 5 答案：B

2、系统机械能守恒问题

【例8】如图,斜面与半径R=2.5m 的竖直半圆组成光滑轨道,一个小球从A 点斜向上抛,并在半圆最高点D 水平进入轨道,然后沿斜面向上,最大高度达到h=10m,求小球抛出的速度和位置.

解析:小球从A 到D 的逆运动为平抛运动,由机械能守恒,

平抛初速度v D 为mgh —mg2R=?

mv D 2;

10/D v m s = 所以A 到D

的水平距离为

10D s v t m ===

由机械能守恒得A 点的速度

v 0为mgh=?

mv 02;0/v s =

由于平抛运动的水平速度不变,则V D =V

0cos θ,所以,仰角为00arccos 45D v v θ=== 【例9】如图所示，总长为L 的光滑匀质的铁链，跨过一光滑的轻质小定滑轮，开始时底端相齐，当略有扰动时，某一端下落，则铁链刚脱离滑轮的瞬间，

其速度多大？

解析：铁链的一端上升，一端下落是变质量问题，利用牛顿

定律求解比较麻烦，也超出了中学物理大纲的要求．但由题目的

叙述可知铁链的重心位置变化过程只有重力做功，或“光滑”提

示我们无机械能与其他形式的能转化，则机械能守恒，这个题目

我们用机械能守恒定律的总量不变表达式E 2=E l ，和增量表达式ΔE P =一ΔE K 分别给出解答，以利于同学分析比较掌握其各自的特点．

（1）设铁链单位长度的质量为P ，且选铁链的初态的重心位置所在水平面为参考面，则初态E 1=0

滑离滑轮时为终态，重心离参考面距离L/4，E P/=－PLgL/4

E k2=?Lv 2即终态E 2=－PLgL/4＋?PLv 2

由机械能守恒定律得E 2= E 1有 －PLgL/4＋?

PLv

2=0

，所以v=2/gL

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