概率论与数理统计练习题及答案6

概率论与数理统计练习题（6） 随机变量的函数的分布 数学期望

1．填空题

（1）设随机变量X的密度函数为为 .

（2）设X1～N?1,2?，X2～N?0,3?，X3～N?2,1?，且X1,X2,X3相互独立，则

?(x)?1，则Y?2X的密度函数2?(1?x)P?0?2X1?3X2?X3?6?? .

????4?asinx?b0?x?EX?（3）设连续型随机变量X的概率密度为f?x???，且，28?0其它?则a? ，b = .

（4）设随机变量X服从(0,1)上的均匀分布，则随机变量Y??2lnX的概率密度函数

fY(y)?_______________

2．选择题

（1）设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间上的均匀分布，则服从相应区间或区域上

均匀分布的是（ ）

2（A）X （B）X?Y （C）X?Y （D）（X,Y）

（2）设随机变量X与Y相互独立，其分布函数分别为FX(x)，FY(y)则Z?max{X,Y}的分布函数为（ ）

（A）max{FX(z)，FY(z)} （B）

1(FX(z)+FY(z)） 2（C）FX(z)FY(z) （D）以上结论都不对.

22（3）设随机变量X与Y相互独立，且X～Na1,?1，Y～Na2,?2，则Z?X?Y服

????从正态分布，且有（ ）

（A）Z～Na1,?1??2 （B）Z～N?a1?a2,?1?2?

22??

（C）Z～Na1?a2,?1?2 （D）Z～Na1?a2,?1??2

?22??22??0?3（4）设随机变量X的分布函数为F?x???x?1?（A）

x?00?x?1，则EX=（ ） x?1???0x4dx （B）?3x3dx （C）?x4dx?0011???1xdx （D）?3x3dx

0??3．设随机变量X的分布律为P(X?k)?1?X,k?1,2,?Y?sin，求的分布律.

22k4．设随机变量X与Y相互独立，其密度函数分别为

?e?y,y?0;?1,0?x?1;fX?x???，fY?y???.

0,其它.??0,y?0.求随机变量Z?2X?Y的分布函数.

5．一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为：

?1?x4?ef?x???4??0x?0， x?0工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换，若工厂售出一台设备盈利100

元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净盈利的数学期望.

6. 设长方形的高（以m计）X~U(0,2)，已知长方形的周长（以m计）为20，求长方形面积的数学期望

概率论与数理统计练习题（6）详细解答

1．填空题

?1?y/2112?e,y?0a?,b??(1)?0.5（1）；（2）或0.3413；（3）．（4） ?222?y?0?(4?y)??0,2．选择题

（1）D；（2）C ；（3）D；（4）B．

?X13．解：Y?sin的可能取值为?1,0,1，而P{X?k}?k,k?1,2,?，

22故P{Y??1}??k?0?124k?3??21118?，P{Y?0}??2k?，P{Y?1}??4k?1?， 15315k?12k?02则Y的分布律为 Y pk

-1 2 150 1 31 8 15?e?y,0?x?1,y?0,4．解：由于X、Y独立，因此f(x,y)??

其它．?0,所以

FZ(z)?P{2X?Y?z}?2x?y?z???z?0,?0,z?2x?z/2f(x,y)dxdy???dx?e?ydy,0?z?2,

00?1z?2x?dxe?ydy,z?2,??0?0??0,z?0,??1即 FZ(z)??(e?z?z?1),0?z?2,

?2?121?(e?1)e?z,z?2.??2?100,5．解：由于Y????200,E(Y)?100??100e?14X?1, 所以 X?1．?1xx11?1?4edx?200?e4dx

044?14?14?200e-200?300e?200?33.64（元）．

6. 解：X的概率密度为

?1?,0?x?2f(x)??2

其他??0,长方形的面积： S?(10?X)X

[(10?X)X?] 则 ES?E?2012(1?0x x) d x 426??8.667 33 ?10?

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