2.9 导体系统的电容

第二章 2.9

2.9定义

导体系统的电容qU

一、电容：q C U

q

q q

两导体之间的电容：

U

单位：法拉(F)

孤立导体的电容： 可将其视为孤立导体与无穷远处的另一导体之间的电容。C q

则

C只与导体的形状、尺寸、位置及周围的介质 相关，与带电量无关。2013-2-26 1

第二章 2.9

例:如图所示,电容器一极板位于xoz平面,另一极板和xoz平 面成 角,电容器高为h,径向尺寸为 r r2 r1 ,内部填充 介质的介电常数为 ,求电容. z

解: 方法一:

U E dl E rd E r 0 l

且 E a E 则 两极板间的电压为:

如图, 若忽略边缘效应,则极 板间的电场为均匀场.

hx

y

r2

r1

0 的左极板

利用边界条件:

D1n D2n s两极板间 D1n D

D2n 0

导体内

2013-2-26

第二章 2.9

s D E 即 s U r

则电容器极板上的总电荷为:Q s dS S h

0

r2

r1

U Uh r2 drdz ln r r1单位:F 5

故电容为:

Q h r2 C ln U r1

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第二章 2.9

方法二: 若 很小,电容器的径向尺寸比其极 板的距离大许多.可近似认为电容器由许 多个小平行板电容器并联而成,令小电 容器宽度为dr ,高度为h ,则极板间隔 和面积分别为 d r

dr

r

由定义

dS hdr dS hdr dC d r

则总电容为

h r 1 h r2 C dC r r dr ln r1 2 1

F

2013-2-26

第二章 2.9

二、部分电容：三导体系统：如图，若在一平行板电容器中置入一金属 球，由于静电感应，面对正极板的一侧带负电，而面对 负极板的一侧带正电，其结果将使平板电容器正负两极 板间的电位差变小，而极板上总电荷量仍维持不变。电 容增大。c12 c12

c13 c23

c13

c23

C13C23 C C12 C13 C23

c12、 13、 23 c c2013-2-26

称为导体系统的部分电容。5

第二章 2.9

有两个以上导体的系统称为多导体 系统。其中每个导体所带的电量都会影 响其它导体的电位，在线性媒质中，应 用叠加原理，就可得到每个导体的电位 和各导体所带电量的关系。设N个导体所带电量分别为 q1 N个导体的电位分别为

,q2 , ,qN

;

1 , 2 , 3 , N 。6

2013-2-26

第二章 2.9

则

1 p11q1 p12 q2 p1N qN 2 p21q1 p22q2 p2 N qN

(2-9-1)

N pN1q1 pN 2q2 pNN qN即pii pij2013-2-26

P q

10

为电位系数，只与导体的形状、尺寸、位置及周围介质有关。

第二章 2.9

其中 pii 为自电位函数；电位系数的物理意义：

pii 是除导体 i 以外，其余导体均不带电时，其自身电位与电量之比。

即

pii

iqi

iiq1 q2 qi 1 qi 1 q N 0

当 qi 1C 时，pii

i

。

2013-2-26

第二章 2.9

pij是除导体 j 以外，其余导体均不带电时，其 i 导体的电位与 j 导体所带电量之比。

即

pij

iqjq1 q2 q j 1 q j 1 q N 0

当 q j 1C 时，

pij i 。互易

7

pij (i j ) 为互电位函数。

且 pij p ji2013-2-26

第二章 2.9

求解方程组(2-9-1)得：

q1 11 1 12 2 1N N

7 (2-9-2)

q2 21 1 22 2 2 N N qN N1 1 N 2 2 NN N ii电容系数

ij (i j)2013-2-26

感应系数

ij ji互易 1210

q p 1

第二章 2.9

ii

i 为除 i 导体以外，其余导体均接地时， 导体上 的电荷量与其自身电位之比。

ii

i

qi

当 i 1V 时， ii

qi

。

1 2 i 1 i 1 N 0

ij 为除 j 导体以外，其余导体均接地时，i 导体上的电荷量与

j 导体电位之比。

ij 2013-2-26

j

qi

当 j 1 时， ij V

qi

。

1 2 j 1 j 1 N 011

将(2-9-2)改写成：

第二章 2.9

q1 ( 11 12 1N ) 1 12 ( 1 2 ) 1N ( 1 N ) C11 1 C12 ( 1 2 ) C13 ( 1 3 ) C1N ( 1 N )即

q1 C11U10 C12U12 C13U13 C1NU1N

q2 C21U 21 C22U 20 C23U 23 C2 NU 2 NqN CN1U N1 CN 2U N 2 CN 3U N 3 CNNU N 0写成矩阵形式：为

(2-9-3)

q C U 1012

…

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第二章 2.9

其中：C ii i1 i2 iN

Cij ij (i j) U i0 i U ij i j (i j)

C ii C ij

导体的自部分电容 互部分电容

且

Cij C ji

所有的部分电容不仅与相关的两个导体有 关，且与所有其它导体的几何条件相关。2013-2-26 13

第二章 2.9

C12

四导体系统的部分电容：自部分电容： C , C , C 11 22 33 互部分电容：

C11

C13

C23

C 22

C33

C12 , C13 , C23

工作电容： 两端的工作电容，指从这两端看进

去的所有部分电容的等效电容。1C11

如1导体与大地之间的工作电容：

C13

C23

C33C 2214

C122013-2-26

第二章 2.9

例：如图所示的三心电缆。当三根心线用细导线连接在一 起时，测得它与外壳之间的电容为 0.054 F ;当两根心线 与外壳连接时,测得另一心线与外壳之间的电容为 0.036 F, 试求各部分电容.

解:

当三根心线用细导线连接在一起时， 测得它与外壳之间的电容为 0.054 F

C11 C22 C33 0

.054 F

当两根心线与外壳连接时,测得另一 心线与外壳之间的电容为 0.036 F

C33 C23 C13 0.036 F 0.009 F 由于对称性.则 0.018 F

C11 C22 C33 C12 C23 C132013-2-26 15

第二章 2.9

例：导体球及与其同心的导体球壳构成一个双 导体系统。若导体球的半径为 a ,球壳的内半径 为 b ,壳的厚度很薄可以不计(如图),求电位 系数、电容系数和部分电容。

解： 1.

求电位系数。

设导体球带电量为 q1,球壳带总电荷为零，无限远处的电位为零。则

0

b

1 a

1 2 2013-2-26

4 0 a 4 0b q1

q1

p11q1 p21q1

2

p11 p21

1 1

第二章 2.9

4 0 a 4 0b

再设导体球的总电荷为零，球壳带带电量为 q2 , 无限远处的电位为零。则

4 0b q2 2 p22 q2 4 0b

1

q2

p12 q2

01

b

1 a

2013-2-26

p22 p12

217

4 0b

第二章 2.9

p

1 4 0

2. 求电容系数：

1 a 1 b 1

1 b 1 b

p p 0, 1

又

p

存在.1

1 1 p [ 2] 2 ( 4 0 ) ab b2013-2-26 18

第二章 2.9

求 p 的代数余子式：

1 a 1 p 1 4 0 b 1 b 1 # p 1 4 0 bP 的伴随矩阵。2013-2-26

1 b 1 b 1 b 1 a

第二章 2.9

故 # p 4 0 ab p3. 求部分电容：

b a ab

ab 2 b

C11 11 12 0

C22 21 22 4 0b2013-2-26 20

4 0 ab C12 C21 12 b a

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ssa1.html