高中数学人教a版必修1学案：2.1.1指数与指数幂的运算

第二章 基本初等函数(Ⅰ) §2.1 指数函数

2.1.1 指数与指数幂的运算

自主学习

1．了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理数指数幂的必要性． 2．理解有理数指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算．

1．如果______________________，那么x叫做a的n次方根． n2．式子a叫做________，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． n3．(1)n∈N*时，(a)n＝________.

nn

(2)n为正奇数时，an＝________；n为正偶数时，an＝________. 4．分数指数幂的定义：

m

(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝__________(a>0，m、n∈N*，且n>1)；

nm

(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝______(a>0，m、n∈N*，且n>1)；

n

(3)0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂________________． 5．有理数指数幂的运算性质：

(1)aras＝________(a>0，r、s∈Q)；(2)(ar)s＝________(a>0，r、s∈Q)； (3)(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)．

对点讲练

根式与分数指数幂的互化

【例1】 用分数指数幂的形式表示下列各式(式中a>0)的化简结果： 33113－－

(1)a3·a2； (2)aa； (3)a·a3·?a5?－?a－?13.

222

mn规律方法 此类问题应熟练应用a＝am (a>0，m，n∈N*，且n>1)．当所求根式含

n有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．

变式迁移1 将下列根式化成分数指数幂的形式：

(1)

135x?x2?2

； (2)(

4

22

b－)－ (b>0)．

33

利用幂的运算性质化简、求值

【例2】 计算(或化简)下列各式：

2＋－

(1)421·2322·8－；

37141－?0＋[(－2)3]－＋16－0.75＋|－0.01|； (2)(0.064)－－?3?8?32

11

a＋b－2a·b

22a－b

(3)－(a>0，b>0)．

1111a＋ba－b2222

规律方法 一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．利用

1

乘法公式解决分数指数幂的化简求值问题，是简化运算的常用方法，熟练掌握a＝(a)2

2

1bbbb

(a>0)，a＝(a)3以及ab－a－b＝(a＋a－)·(a－a－)等变形．

32222

7143

－?0＋80.25×2＋(2×3)6－变式迁移2 求值：1.5－×?3?6?

灵活应用——整体代入法

11x－y22

【例3】 已知x＋y＝12，xy＝9，且x

11x＋y22

规律方法 “整体代入”方法在条件求值中非常重要，也是高中数学的一种重要的解题思想、解题方法，它反映了我们“把握全局”的能力．解题过程中不宜求出x、y后再代入，

?－2?2.

?3?3

而应考虑把x＋y及xy整体代入求值．

33x＋x－＋22211

变式迁移3 已知x＋x－＝3，求的值． －

22x＋x1＋3

1．理解好方根的概念，是进行根式的计算和化简的关键． 2．将根式转化为分数指数幂是化简求值的关键．

3．正整数指数幂的运算性质对于实数指数幂仍然适用，只是底数的范围缩小为a>0.(想一想，为什么？)

课时作业

一、选择题

1．下列根式与分数指数幂互化中正确的是( )

113

A．－x＝(－x)(x≠0) B．x－＝－x(x≠0)

234y3x316

C．()－＝ ??(xy>0) D.y2＝y(y<0)

y4x3

1＋＋

?2n1?2×??2n1

2

2．计算(n∈N*)的结果为( ) －2n4×8

11－＋

A.4 B．22n5 C．2n2－2n＋6 D．()2n7 623623．(a6)2·(a)等于( )

A．a B．a2 C．a3 D．a4 5－

4．把根式－2?a－b?2改写成分数指数幂的形式为( )

25

A．－2(a－b)－ B．－2(a－b)－

522255

C．－2(a－－b－) D．－2(a－－b－) 552241?111?2

－ab的结果是( ) 5．化简(ab)÷32?364?A．6a B．－a C．－9a D．9a

二、填空题

344

2

6．计算：64－的值是________．

3－x37．化简的结果是________．

x

－

8．设5x＝4,5y＝2，则52xy＝________. 三、解答题 9．化简求值：

3

(1)(a－1)2＋?1－a?2＋?1－a?3；

3－831537－3－－a÷aa÷a3a1； 2

113

－?－2＋256－3－1＋(2－1)0. (3)(0.027)－－?3?7?4

－－

10．(1)若2x＋2x＝3，求8x＋8x的值；

2213a＋3ab＋9ba333817

(2)已知a＝－，b＝，求÷的值．

27714133a－27aba－3b33

(2)

a3

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

§2.1 指数函数

2．1.1 指数与指数幂的运算

答案

自学导引

1．xn＝a(n>1，且n∈N*) 2．根式

3．(1)a (2)a |a|

1n

4．(1)am (2) (3)0 没有意义

man

＋

5．(1)ars (2)ars (3)arbr 对点讲练

22113【例1】 解 (1)a3·a2＝a3·a＝a3＋＝a. 333

11313

(2)aa＝(a·a)＝(a)＝a.

22224

331－5111

(3)原式＝(a·a－)·[(a)－·(a－)13]

22322215131＝(a0)·(a·a－) 32221

＝(a－4)＝a－2.

2

111

变式迁移1 解 (1)原式＝＝＝ 332439x·?x?2x·xx

555

113＝＝＝x－. 9135?x?x535

2212211－?＝b. (2)原式＝[(b－)]－＝b－××?34334?3?9

2

【例2】 解 (1)原式＝(22)2＋1·23－22·(23)－ 3＝22＝22

2＋2

·23－2

2·2－2

2＋2＋3－22－2

＝23＝8.

11

(2)原式＝[(0.4)3]－－1＋(－2)－4＋2－3＋[(0.1)2] 3211143

＝(0.4)－1－1＋＋＋0.1＝. 16880111111?a＋b??a－b??a－b?2222222

(3)原式＝－

1111a＋ba－b2222

1111

＝a－b－(a－b)＝0. 2222

2?21131

变式迁移2 解 原式＝×1＋2×2＋22×33－??3?3×2 44?3?1

?2?3

2?1?2?1＝110. ＝?＋2＋108－?3?3?3?3

1111x－y?x－y?22222

【例3】 解 ＝

111111x＋y?x＋y??x－y?2222221

?x＋y?－2?xy?

2

＝. ①

x－y∵x＋y＝12，xy＝9， ② ∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy ＝122－4×9＝108.

∵x

＝＝－. 113－63x＋y22

11

变式迁移3 解 ∵x＋x－＝3，

22

11

∴(x＋x－)2＝9，即x＋x－1＋2＝9， 22∴x＋x－1＝7，x＋x－1＋3＝10. 3311∵x＋x－＝(x)3＋(x－)3 22221111＝(x＋x－)(x－x·x－＋x－1)

2222＝3×(7－1)＝18， 33

∴x＋x－＋2＝20， 2233x＋x－＋22220∴＝＝2. 1－10x＋x＋3

课时作业

1．C 2.D 3.B 4.A 5.D 16. 16

221

解析 64－＝(26)－＝2－4＝.

3316

7．－－x

解析 由题意知x<0， －x3∴＝－x8．8

－x3

＝－x2－x.

解析 52x－y＝(5x)2·(5y)－1＝42·2－1＝8. 9．解 (1)由题意知，a>1， ∴原式＝a－1＋(a－1)＋1－a＝a－1. (2)原式＝3

23

73aa－÷22

815331a－a÷a－a－ 3322

73－2

＝a÷a÷a

3

271－21＝a÷(a)÷(a) 3323272＝a÷a÷a－ 3632721＝a－－(－)＝a. 3636

131

(3)原式＝(0.33)－－(－7－1)－2＋(44)－＋1

343

101

＝－49＋64－＋1＝19. 3310．解 (1)∵8x＋8－x＝(2x)3＋(2－x)3 ＝(2x＋2－x)[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2] ＝3[(2x＋2－x)2－3·2x·2－x] ＝3×(32－3)＝18. (2)∵a≠0，a－27b≠0

211111a＋3ab＋?3b?2a－3b333333

∴原式＝×

11a?a－27b?a33

11?a?3－?3b?3332＝＝a－

23a?a－27b?382239＝(－)－＝(－)－2＝(－)2＝.

273324

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ss9x.html