探索一元二次方程根与系数的关系的教学设计

兰州文理学院学生毕业设计

题 目：《探索一元二次方程根与系数的关系》的教学设计

作 者： 郑品君

指导老师： 胡 萍

师范学院 学院 数学系 系 数学教育 专业 2011 级 三 年制 一 班

2014年 1 月 2 日

《探索一元二次方程根与系数的关系》的教学设计

一、教学目标

1、知识与技能目标：理解掌握一元二次方程ax2?bx?c?0 (a?0)的两根

x1,x2与系数a、b、c之间的关系.

2、过程与方法目标：能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数以及会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差.

3、情感态度与价值观目标：在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法.

二、重难点

根与系数的关系是重点，由于式子的抽象性，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学生理解和掌握的难点.

三、教学过程 （一）问题引探

问题1.在方程ax2?bx?c?0中，a的取值决定什么？b2?4ac的取值呢？同学们可知道a、b、c的取值与一元二次方程ax2?bx?c?0的根还有其它关系？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系.

问题2.解方程x2?5x?6?0，并先指出a、b、c各是多少，然后再解方程，计算两根的和与积，你能发现什么结论（现象）？

问题3.解下列方程：

（1）2x2?5x?3?0，（2）3x2?2x?2?0

问题4.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2?bx?c?0 (a?0) 的根x1,x2与a、b、c之间的关系：____________.

观察之后，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？ 问题5.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明. 分小组讨论以上的问题，并作出推理证明.

若方程ax2?bx?c?0的两根为x1?、x2?, 则

x1?x2??x1x2??

即：如果ax2?bx?c?0 (a?0)的两根是x1,x2，那么x1?x2??x1x2??由此得出一元二次方程的根与系数的关系；还可以让学生用自己的语言表述这种关系，来加深理解和记忆.

这个关系是一个法国数学家韦达发现的，所以也称之为韦达定理. 问题6.在方程ax2?bx?c?0 (a?0)中，a、b、c的作用吗？（引导学生反思性小结）

<1> 二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程； <2> 当a?0时，b?0，a、c异号，方程两根互为相反数； <3> 当a?0时，??b2?4ac可判定根的情况；

<4> 当a?0时,b2?4ac?0时，x1?x2?? ，x1x2?? <5> 当a?0时，c?0时，方程有一根为0.

说明：1、本设计采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神.

2、本设计遵循由特殊到一般，从实践到理论（即从感性认识上升到理性认识）的认知规律.

3、本设计注重了学生的反思过程，使学生将知识系统化、格式化. （二）尝试发展

试一试：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1,x2,k是常数）

（1）2x2?3x?1?0 ，x1?x2= ________， x1x2= _________. （2）3x2?5x?0， x1?x2= ________， x1x2= _________. （3）5x2?x?2?0 ， x1?x2= ________， x1x2= _________. （4）5x2?kx?6?0， x1?x2= ________， x1x2= _________. （此试一试作为巩固知识而用）

尝试题1、已知方程6x2?kx?5?0的一个根为，求它的另一个根及k的值. 组织学生自己分析解决，然后一学生演板，其余学生在草稿本上练习. 学生练习：P32 1、2.

尝试题2、利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2?3x?1?0的两个根的平方和与倒数和.

讨论：解上面问题的思路是什么？ （三）拓展创新

1、在尝试2中能否求（x1?x2）的值？

2、已知实数满足关系式a2?5a?6，b2?5b?6?0，且a?b，能否求a?b与ab的值？

说明：1、“试一试”是引导学生及时巩固本节所学的新知“根与系数的关系”，其中第（3）小题是培养学生思维严谨性和批判性；第（4）小题是起过渡作用设计.

2、尝试题1、2让学生讨论完成或独立完成，可以看书完成，其系数与例题

有别.

3、“拓展创新”中是培养学生思维的发散性教学设计，也是开放性教学，使有的学生的奇异思维得到发展.

（四）归纳小结本课主要研究了什么？ 1、方程的根是由系数决定的.

2、a?0时，方程ax2?bx?c?0是一元二次方程.

3、a?0且b2?4ac?0时，方程ax2?bx?c?0=的根为 x1、x2. 4、b2?4ac的值可判定根的情况.

5、a?0，??0时，x1?x2?? ，x1x2?? 6、方程根与系数关系的有关应用.

（1）已知一根求另一根及k的值；（2）求有关代数式的值. （五）布置作业

P33A 1、2 ， B 1（1）.

练习：１．已知三角形的两边长a、b是方程x2?2mx?m2的两个根，等腰三角形的另一条边c?4,求这个等腰三角形的周长.

2、已知关于x的方程x2?2mx?m2=0.其中方程的两根分别是一个等腰三角形的腰和底边的长.

（1）求证这个方程有两个不相等实数根.

（2）若方程的两个实数根差的绝对值是8，并且等腰三角形的面积是12，求这个三角形的内切圆的面积．

222 3、已知二次函数y?x?2ax?2b?1和y??x??a?3?x?b?1的图象都经

过x轴上两个不同的点 ,求这两个函数的解析式.

四、教学反思

本节的教学设计，依据《新课程标准》的要求，立足于学生的认知基础来确定适当的起点与目标，内容安排从求方程式根方法出发，论证和运用，逐步展示知识的过程，使学生的思维层层展开，逐步深入．让学生在“做”的过程中，借助已有的知识和方法主动探索新知识，扩大知识结构，发展能力.而且这节的设计体现了以教师为主导、学生为主体，以知识为载体、以培养学生的思维能力为重点的教学思想.教师以探究任务引导学生自学自悟的方式，提供了学生自主合作探究的舞台，营造了思维驰骋的空间，在经历知识的发现过程中，培养学生分类、探究、合作、归纳的能力.

指导老师姓名 胡 萍 职 称 讲 师 论 文 评 语 成 绩 总评意见： 指导老师签名 评审人： 年 月 日 注：1.评语、成绩由指导老师填写。

2.评语及总评意见应包括学术价值、实际意义、达到水平、学术观点和论证有无错误。

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