4-3-2_平移、旋转、割补.题库教师版.doc

平移、旋转、割补

例题精讲

图形变换，是指不改变图形的大小、形状，只通过位置关系的改变（旋转、平移、折叠等），构成新的图形．

【例 1】 如下图，六边形ABCDEF中，AB?ED，AF?CD，BC?EF，且有AB平行于ED，AF平行于CD，

BC平行于EF，对角线FD垂直于BD，已知FD?24厘米，BD?18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？

BACGABC

FEDFED

【解析】 如图，我们将?BCD平移使得CD与AF重合，将?DEF平移使得ED与AB重合，这样EF、BC都

重合到图中的AG了．这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为24?18?432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米．

【例 2】 如图所示，梯形ABCD中，AB平行于CD，又BD?4，AC?3，AB?CD?5．试求梯形ABCD 的

面积．

ABABD

【解析】 如右图，将AB沿AC平移至CE,连接BE,在三角形BDE中，有BD?4，BE?AC?3，

DE?AB?CD?5，有BD2?BE2?DE2，所以三角形BDE为直角三角形．

1由于S?ABD?S?ABC?S?BCE，所以梯形ABCD的面积与三角形BDE的面积相等，为?3?4?6．

2

【例 3】 右图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10．中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行

四边形，它们的宽都是2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？

CDCE4-3-2 平移、旋转、割补 题库 page 1 of 8

【解析】 如图所示，将道路平移后的（16-2）×（10-2）=112．

【例 4】 如图所示，一个正十二边形的边长是1厘米，空白部分是等边三角形，一共有12个．请算出阴影部

分的面积．

1cm1cm1cm

【解析】 如图，将阴影部分分割成一个正六边形和12个小三角形，再把正六边形分割成6个正三角形，由于

正十二边形的每个内角为18?0??12??2?1?2，1?5所0以阴影小三角形的顶角等于

150??60??2?30?，每个顶角的两边和与其相邻的正三角形的底边所成的角都是30??60??90?，所

以通过如右上图所示的平移可以组成6个边长为1厘米的正方形，所以所求阴影部分面积为12?6?6平方厘米．

【例 5】 按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角边

分别为2cm和4cm，乙三角形两条直角边分别为3cm和6cm，求图中阴影部分的面积．

甲234乙6

甲234乙6

【解析】 如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之

（3?6?2?4?2?2）?11（cm2）和．所以阴影部分面积为：3?4?6?2?

【例 6】 在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图)，求图中阴影

部分的面积占整个图形面积的几分之几.

【解析】 阴影总值是一个梯形.我们用三种方法解答.

⑴ 割补法

从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形.将这两个直角三角形拼成一个长方形(见下图).

11显然，阴影部分正好是长方形的，所以原题阴影部分占整个图形面积的.

33⑵ 拼补法

1将两个这样的三角形拼成一个平行四边形(下页左上图).显然，图中阴影面积占平行四边形面积的.

34-3-2 平移、旋转、割补 题库 page 2 of 8

根据商不变性质，将阴影面积和平行四边形面积同时除以2，商不变.所以原题阴影部分占整个图形

1面积的.

3

⑶ 等分法

将原图等分成9个小三角形(见右上图)，阴影部分占3个小三角形，所以阴影部分占整个图形面积的31?. 93注意，后两种方法对任意三角形都适用.也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立.

【例 7】 如下左图，有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形，现在以点P为中心转动一个正方形．当

AB?5厘米，BC?13厘米，CA?12厘米时(如下右图)，求右图中的两个正方形相重叠部分的面积(注意，图的尺寸不一定准确)．

ABCP

【解析】 右图由左图旋转而得，则右图中的8个空白小三角形都是完全相同的，右图中重叠部分的面积等于

正方形面积减去4个小三角形的面积，从右图中可以看出正方形的边长为5?13?12?30厘米，所以重叠部分的面积为：302?4?(5?12?2)?780(平方厘米)．

【例 8】 如图，在直角三角形中有一个正方形，已知BD?10厘米，DC?7厘米，求阴影部分的面积．

AFEDCFC'AECBD

【解析】 绕D点逆时针旋转?CED，使E与F重合，则C点落在AB边上的C'点处，且C'D?CD．则阴影

部分面积转化为直角三角形BC'D的面积，所以阴影部分的面积为10?7?2?35平方厘米．

【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？

BC1312O131213D13 【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.

我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：

把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.

因此，原来四边形的面积为12?12?144.(也可以用勾股定理)

4-3-2 平移、旋转、割补 题库 page 3 of 8

1212AB

【例 10】 如图，三角形ABC是等腰直角三角形，P是三角形外的一点，其中?BPC?90?，AP?10cm，

求四边形ABPC的面积．

AABDCP'BDC

【解析】 因为?BAC和?BPC都是直角，和为180?，所以?ABP和?ACP的和也为180?，可以旋转三角形

APC，使AC和AB重合，则四边形的面积转化为等腰直角三角形AP'P，面积为10?10?2?50平方厘米．

【例 11】 （2008年武汉明心奥数挑战赛）如图所示，?ABC中，?ABC?90?，AB?3，BC?5，以AC为一边向?ABC外作正方形ACDE，中心为O，求?OBC的面积．

EEPPOA3B5CDA3ODFBC5

O?OAB90??OCF【解析】 如图，将沿着点顺时针旋转，到达的位置．

由于?ABC?90?，?AOC?90?，所以?OAB??OCB?180?．而?OCF??OAB， 所以?OCF??OCB?180?，那么B、C、F三点在一条直线上．

由于OB?OF，?BOF??AOC?90?，所以?BOF是等腰直角三角形，且斜边BF为5?3?8，所

1以它的面积为82??16．

45根据面积比例模型，?OBC的面积为16??10．

8

【例 12】 （2008年武汉明心奥数挑战赛）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB?BC，AD?2，

BC?3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90?至ED，连接AE、CE，则?ADE的面积是 ．

FEAEADDB

90??FDC【解析】 如图所示，将?ADE以D为中心顺时针旋转，到的位置．延长FD与BC交于H．

由于ABCD是直角梯形，AD与FD垂直，则四边形ADHB是长方形，则BH?AD．

4-3-2 平移、旋转、割补 题库 page 4 of 8

CBHC由于?ADE与?FDC面积相等，而?FDC的底边FD?AD?2，高CH?BC?BH?3?2?1，所以?FDC的面积为2?1?2?1，那么?ADE的面积也为1．

【例 13】 如图，正方形ABCD和DEFG有一个公共点D，试比较三角形ADG和三角形CDE的面积．

AGBDFCEAA'GBDFCE

【解析】 因为?ADC和?GDE是直角，所以?ADG和?CDE是互补角，将三角形ADG顺时针旋转90?到达

?A'DE的位置，则A'、D、C在同一条直线上，且A'D?AD?CD，即D是A'C的中点，所以三角形CDE和三角形A'DE面积相等，则三角形CDE和三角形ADG面积相等．

【例 14】 (2008年全国小学数学资优生水平测试)如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角

形ABE，?AEB?90?，AC、BD交于O．已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积．

CBCBOEDAOEFDA

【解析】 如图，连接DE，以A点为中心，将?ADE顺时针旋转90?到?ABF的位置．

那么?EAF??EAB??BAF??EAB??DAE?90?，而?AEB也是90?，所以四边形AFBE是直角梯形，且AF?AE?3，

所以梯形AFBE的面积为：

1?3?5??3??12(cm2)．

2又因为?ABE是直角三角形，根据勾股定理，AB2?AE2?BE2?32?52?34，所以

1S?ABD?AB2?17(cm2)．

2那么S?BDE?S?ABD??S?ABE?S?ADE??S?ABD?SAFBE?17?12?5(cm2)，

1所以S?OBE?S?BDE?2.5(cm2)．

2

【例 15】 (2008年迎春杯高年级组决赛)如图，已知AB?AE?4cm，BC?DC，?BAE??BCD?90?，

AC?10cm，则S?ABC?S?ACE?S?CDE? cm2．

4-3-2 平移、旋转、割补 题库 page 5 of 8

CBCBAEDA'AEDC' ?【解析】 将三角形ABC绕A点和C点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形AEC'和A'DC，再连接

A'C'，显然AC?AC'，AC?A'C，AC?A'C?AC'，所以ACA'C'是正方形．三角形AEC'和三角形A'DC关于正方形的中心O中心对称，在中心对称图形ACA'C'中有如下等量关系： S?AEC?S?A'DC'；S?AEC'?S?A'DC；S?CED?S?C'DE．

11所以S?ABC?S?ACE?S?CDE?S?AEC'?S?ACE?S?CDE?S?ACA'C'??10?10?50cm2．

22

【例 16】 (第八届华杯赛总决赛)如图所示的四边形ABCD中，?A??C?45°，?ABC?105°，

AB?CD?15厘米，连接对角线BD，?ABD?30?．求四边形ABCD的面积．

ECDDCAB【解析】 由?A?45°，?ABD?30?，可得?ADB?180??45??30??105?，?DBC?105??30??75?．

将?DBC剪下来，翻转，再贴在BD边上，即将B点粘在D点上，D点粘在B点上，如右上图所示．则C点在E点的位置．

由于?ADB??EDB?105??75??180?，所以A、D、E三点在同一条直线上．

由于?A??E??C?45°，所以?ABE?90?，即?ABE是等腰直角三角形，它的面积就等于四边形

ABCD的面积，所以四边形ABCD的面积为

AB

15?15?112.5平方厘米． 2

【例 17】 如图，在?ABD中，AB?CD，求“？”的度数．

AA30°B40°C?DB110°?40°70°C40°30°110°ED

0?【解析】 如图，由于AB?CD，可以将?ABC移动到?DCE，由于?ACB?180??(30??40?)?11，

?ACD?180??110??70?，所以?ACE?70??40??110?，又?CED?110?，而AC?DE，所以四边形ACED是等腰梯形，有?ADE?180???CED?180??110??70?，?ADC?70??30??40?．

4-3-2 平移、旋转、割补 题库 page 6 of 8

点评：通过构造全等三角形来转化．

?BAC?120?．【例 18】 下图三角形ABC是等腰三角形，AB?AC，三角形ADE是正三角形，点D在BC

2边上，BD:DC?2:3．当三角形ABC的面积是50cm时，三角形ADE的面积是多少？

PFAEBDCARGBDQEC

【解析】 以点A为中心，由三个三角形ABC可拼成右图：连结QE、RF、GD，则DEQFRG是一个正六边

形．连结RD、DQ、RQ，显然RDQ是一个等边三角形，并且它的面积是正六边形面积的一半，所以是三角形ADE的面积的3倍．

23由于S?PBC?S?ABC?3?150cm2，根据“鸟头定理”，S?DQC?S?PBC???36cm2，

3?22?32所以S?RDQ?S?PBC?S?DQC?3?42cm，则S?ADE?S?RDQ?3?42?3?14cm2．

【例 19】 如图，正方形PQRS有三个顶点分别在?ABC的三条边上，BQ?QC．求正方形PQRS的面积．

A7cmS9cm6cmPR2cmCBQa16127934【解析】 如下图，我们设?ABC的面积为1，有e?1?c?d?(b?)?1???????，

221321113111436875a68所以a?2e?，b?c?d?1?a?， 所以?．

143b?c?d751437cm

b9cm6cmcad2cme

如下图左，将三角形c和三角形d分别以P、R为中心按箭头方向旋转90?，形成由两个直角三角形连在一起的一个四边形，如下图右，b、c、d被虚线分成两个直角三角形，它们的面积之和为：

68b?c?d?7?6?2?9?2?2?30cm2，所以a?30??27.2(cm2)．

754-3-2 平移、旋转、割补 题库 page 7 of 8

A7cmbSPcQRdbSc6cmdd9cm6cmcBPR2cm2cmCQ

4-3-2 平移、旋转、割补 题库 page 8 of 8

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/srw7.html