证明面面垂直的方法

篇一：线面、面面垂直的证明

线面、面面垂直的证明

广东省珠海市斗门区第一中学 (519100) 冼虹雁

教材版本：普通高中课程标准实验教科书·数学（选修）人民教育出版社（人教版） 年级、科目：高三数学第1轮复习课 第十章 第9课时

一、【教材分析】

近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考查重点．在新课标教材中将立体几何难度要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，是知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重．

预测2011年高考将以多面体为载体直接考查线面位置关系：

（1）考题将可能以选择题、填空题或解答题的形式出现；

（2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考查线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主；

（3）解答题多采用一题多问的方式，这样既降低了起点又分散了难点．

二、【教学目标】

知识与技能目标：（1）理解几种垂直的定义，掌握线面、面面垂直的判定定理；

（2）运用线面、面面垂直的判定定理解决问题．

过程与方法目标：（1）通过直观感知，操作确认的方法归纳、概括结论；

（2）通过探究线面、面面垂直的判定，体验空间向平面转化的数学思

想方法．

情感与态度目标：增强学生的自主探究意识，体会由特殊到一般的认知规律，培养学生互相合作的学习态度，勇于探究，积极思考的学习精神．

三、【教学重、难点】

重点：（1）掌握几种垂直的定义、判定定理、性质定理，能用文字、符号规范表述；

（2）通过线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化提高化归转化能力．

难点：面面垂直的证明．

四、【教学思想】

以学生为主体，以教师为主导，以思维为核心，以训练为主线，以培养能力为目标．

五、【教学方法】

启发式讲解，互动式讨论，讲练结合．

六、【教学流程】

（一）基础回顾

直线与平面垂直

1．定义：如果直线l和平面?内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面?互相垂直，记作l??．

2．判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

3．性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．

平面与平面垂直

1．定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

2．判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

3．性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

P （二）例题解析

1．线面垂直的证明

例1：如图所示，已知PA?⊙O所在的平面，AB是⊙

O的直径，C是⊙O上任意一点，过A作AE?PC于E．

求证：AE?平面PBC．

E O B A

C PA?圆O所在平面??分析： ??BC?PABC?圆O所在平面??BC?AC??BC?平面PAC? ???AE?BCPA?AC?A?AE?平面PAC???AE?PC ??AE?平面PBC

PC?BC?C??

证明：∵PA?⊙O所在的平面，BC?⊙O所在的平面，

∴PA?BC．

又AB是⊙O的直径，∴BC?AC．而PA?AC?A，∴BC?平面PAC，

∴BC?AE．

又AE?PC，PC?BC?C，

∴AE?平面PBC．

【学生演练】

【教师点评】分析从结论入手，论证从已知开始．

【巩固练习】（2010年广东高考题）如图，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC?平面BED．

F 证明：EB?FD．

C D A B

分析：

E ?????EB?平面BFD?EB?FC??EB?FD?FD?平面BFDFC?平面BED?????BC?FC?C?EB?平面BED?E为弧AC的中点?EB?BC

证明：∵点E为 弧AC的中点， ∴?ABE??

2，即BE?AC．

又∵FC?平面BED，BE?平面BED，

∴FC?BE．

又∵FC、AC?平面FBD，FC?AC?C，

∴BE?平面FBD．

∵FD?平面FBD， ∴EB?FD．

2．面面垂直的证明

例2：如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，

PO?底面ABCD．

求证：平面PAC?平面BDE．A 分析： PO?平面ABCD??BD?PO??BD?平面ABCD?? BD?AC??BD?平面PAC???平面PAC?平面BDE AC?PO?O?BD?平面BDE??

证明：∵PO?底面ABCD，BD?底面ABCD，

∴PO?BD．

又∵ABCD是正方形，∴BD?AC，

又PO?AC?O，∴BD?平面PAC．

又BD?平面BDE，

∴平面PAC?平面BDE．

【学生演练】

【教师点评】

【巩固练习】（2010年山东高考题）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA?底面ABCD，PD ∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点．

求证：平面EFG⊥平面PDC．

分析：

MA?平面ABCD?? PD//MA? ??

? ? PD?平面ABCD??BC?PD???BC?平面ABCD??GF?平面PDC? ?BC?DC?BC?平面PDC???平面EFG?平面PDC?? ?GF?平面EFG?PD?DC?D??? ? G为PB的中点???GF//BC?? F为PC的中点?

证明：由已知MA⊥平面ABCD，PD ∥MA，

∴PD⊥平面ABCD．

又BC ?平面ABCD，

∴PD⊥ BC．

∵四边形ABCD为正方形，

∴BC⊥DC．

又∵PD∩DC=D，

∴BC⊥平面PDC．

在△PBC中，∵G、F分别为PB、PC的中点，

∴GF∥BC．

∴GF⊥平面PDC．

又∵GF?平面EFG，

∴平面EFG⊥平面PDC．

（三）巩固强化

1．（2009年海南省考试说明样题）如右图，P、Q、R分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、BB1、BC的中点．

求证：BD1⊥平面PQR．

证明：连结BC1、B1C．

∵四边形BCC1B1是正方形，

∴BC1⊥B1C．

又∵R、Q分别是BC、B1B的中点，

∴QR∥B1C，

∴QR⊥BC1．

又C1D1⊥平面BCC1B1，QR?平面BCC1B1，

∴C1D1⊥QR．

又BC1和C1D1是平面B C1D1内的两条相交直线，

∴QR⊥平面B C1D1．

∵BD1?平面B C1D1，

∴QR⊥BD1．

同理，PR⊥平面BDD1，

∴PR⊥BD1．

又QR和PR为平面PRQ内的两条相交直线，

∴BD1⊥平面PQR．

2．如右图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，

∠ACB=90°，AA1

D是A1B1中点．

（1）求证：C1D⊥平面A1B．

（2）当点F 在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？

并证明你的结论．

分析：（1）由于C1D所在平面A1B1C1垂直平面A1B，只要证

明C1D垂直交线A1B1，由直线与平面垂直判定定理可得C1D⊥平

面A1B．

（2）由（1）得C1D⊥AB1，只要过D作AB1的垂线，它与BB1的交点即为所求的F点位置．

解析：（1）证明：如右图，∵ABC—A1B1C1是直三棱柱，

∴A1C1=B1C1=1，且∠A1C1B1=90°．

又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1．

∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D?平面A1B1C1，

篇二：证明垂直的方法

证明垂直的方法1利用直角三角形中两锐角互余证明

由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90° ，即直角三角形的两个锐角互余。

2勾股定理逆定理

3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。

二、高中部分

线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。

1向量法 两条直线的方向向量数量积为0

2斜率 两条直线斜率积为-1

3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线

一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边

4三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

5三垂线定理逆定理 如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

2高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：

Ⅰ.平行关系：

线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。 Ⅱ.垂直关系：

线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。

线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直

线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。

1向量法 两条直线的方向向量数量积为0

2斜率 两条直线斜率积为-1

3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线

一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边

4三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

5三垂线定理逆定理 如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：

。

篇三：立体几何 线面与面面垂直的证明

理科数学复习专题 立体几何

线面垂直与面面垂直专题复习

【知识点】

一．线面垂直

(1)直线与平面垂直的定义：

如果直线l和平面α内的__________一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α垂直，记作__________．

重要性质：__________________________________________________________ (2)直线与平面垂直的判定方法： ①判定定理：一条直线与一个平面内的两条__________都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面．用符号表示为：

②常用结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．用符号可表示为：

(3)直线与平面垂直的性质： ①由直线和平面垂直的定义知：直线与平面垂直，则直线垂直于平面内的_______直线． ②性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行．用符号可表示为：

二、面面垂直

(1)平面与平面垂直的定义：

两平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条__________，那么这两个平面互相垂直．简述为“线面垂直，则面面垂直”， 用符号可表示为：

(3)平面与平面垂直的性质：

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．用符号可表示为：

【题型总结】

题型一 小题：判断正误

1．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的( )．

A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分又不必要条件

2．已知如图，六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC．则下列结论不正确的是( )．

A.CD∥平面PAF B.DF⊥平面PAF C.CF∥平面PAB D．CF⊥平面PAD

2. 设m，n, l是三条不同的直线，?,?,?是三个不同的平面，判断命题正误：

①m??,m??,则?//?②m??,?//?,则m??③m??,m//n,则n??④m??,n??,则m//n⑤m??,m?n,则n//?

⑥m?n,m//?,则n??⑦m?n,n?l,则m//l⑧???，???,则?//?⑨m?n,n//l,则m?l⑩???，?//?,则???

题型二 证明线面垂直 1．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，

∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．

（1）证明：BD⊥面PAD(2)证明：PA⊥BD；

归纳：①证明异面直线垂直的常用方法：_____________________________________ ②找垂线(线线垂直)的方法一：_________________________________

2.四棱锥P?ABCD中，底面ABCD的边长为4的菱形，

PD?PB?4,?BAD?600，E为PA中点.

求证：BD?平面PAC；

归纳：找垂线(线线垂直)的方法二：_________________________________

找垂线(线线垂直)的方法三：_________________________________

3、如图，AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A,B的一点，

PA?平面ABC，E是PC

的中点，AB?PA?AC?1．求

证：AE?PB

归纳：找垂线(线线垂直)的方法四：_________________________________

4.如图，在三棱锥P?ABC中，PA?底面ABC,?BCA?900， AP=AC, 点D，E分别为棱PB、PC的中点，且BC//平面ADE 求证：DE⊥平面PAC；

归纳：_________________________________________________________________

题型三 面面垂直的证明（关键：找线面垂直）

1、如图所示，四边形ABCD是菱形，O是AC与BD的交点，SA?平面ABCD.

求证：平面SAC?平面SBD；

2.（2016理数）如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中, 面ABEF为正方形,AF=2FD, ?AFD?90， 证明：平面ABEF?平面EFDC；

?

F

?

题型四 面面垂直的性质（注意：交线）

1、如图所示，平面EAD?平面ABCD，?ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，G是AD的中点， 求证：EG?平面ABCD；

2、如图，平行四边形ABCD中，

CD?1,?BCD?600,BD?CD，正方形ADEF，

且面ADEF?面ABCD．求证：BD?平面ECD；

综合运用

如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点. (1)求证：MN∥平面PAD. (2)求证：MN⊥CD. (3)若∠PDA＝45°，求证：面BMN⊥平面PCD.

【练习】

1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：

①

a?M?a//b?a?M?a//M?

② ③b∥M④?b?M?a//b??????b⊥M.

a?b?a?M?b?M?a?b?

其中正确的命题是 ( )

A.①②B.①②③ C.②③④ D.①②④ 2. 给出以下四个命题：

1如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线○

和交线平行。

2如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 ○

3如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行。 ○

4如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 ○

其中正确的个数是() A.4 B.3C.2D.1 3．如图，在四棱锥P?ABCD中，PD?平面ABCD，

PD?DC?BC?2，AB?2DC，AB∥DC，?BCD?90?.

(1)求证：PC?BC；(2)求多面体A?PBC的体积. 错误!

4.如图所示，ABCD是正方形，PA?平面ABCD，

P

B

C1 F

E

E、F是AC、PC的中点

（1）求证：AC?DF；

（2）若PA?2,AB?1，求三棱锥C?PED的体积．

A E

C

D

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