2013届高考数学二轮复习专题专题六 立体几何 第二讲空间中的平行与垂直

第二讲 空间中的平行与垂直

类型一 空间线线、线面位置关系

1．线面平行的判定定理：a α，b α，a∥b a∥α.

2．线面平行的性质定理：a∥α，a β，α∩β＝b a∥b.

3．线面垂直的判定定理：m α，n α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α. 4．线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α a∥b.

[例1] (2012年高考山东卷)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF. (1)求证：BD⊥平面AED； (2)求二面角FBDC的余弦值．

[解析] (1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°， 所以∠ADC＝∠BCD＝120°. 又CB＝CD，所以∠CDB＝30°， 因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.

又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD 平面AED， 所以BD⊥平面AED.

(2)解法一 由(1)知AD⊥BD，所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直．

以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图(1)所示的空间直角坐标系．不妨设CB＝1，

31

则C(0，0，0)，B(0，1，0)，D(220)，F(0，0，

1)．

(1)

→→33

因此BD＝220)，BF＝(0，－1，1)． 设平面BDF的一个法向量为m＝(x，y，z)， →→则m·BD＝0，m·BF＝0， 所以x＝3y＝3z，

取z＝1，则m＝3，1，1)．

→

由于CF＝(0，0，1)是平面BDC的一个法向量， →

→m·CF15

则cos〈m，CF〉＝→＝5，

5

|m||CF|5

所以二面角F-BD-C的余弦值为5.

解法二 如图(2)，取BD的中点G，连接CG，FG， 由于CB＝CD，因此CG⊥BD.

又FC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD， 所以FC⊥BD.

由于FC∩CG＝C，FC，CG 平面FCG， 所以BD⊥平面FCG， 故BD⊥FG，

所以∠FGC为二面角F-

BD-C的平面角．

(2)

在等腰三角形BCD中，由于∠BCD＝120°， 1

因此CG＝2.又CB＝CF， 所以CF＝CG＋CF＝5CG， 5

故cos∠FGC＝5，

5

因此二面角F-BD-C的余弦值为5.

跟踪训练

(2012年济南摸底)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，M、N、G分别是棱CC1、AB、BC的中点．且CC12AC.

(1)求证：CN∥平面AMB1； (2)求证：B1M

⊥平面

AMG.

证明：(1)设线段AB1的中点为P，连接NP、MP， 11

∵CM∥21，NP∥21，∴CM∥NP， ∴四边形CNPM是平行四边形， ∴CN∥MP， ∵CN 平面AMB1， MP 平面AMB1， ∴CN∥平面AMB1.

(2)∵CC1⊥平面ABC， ∴平面CC1B1B⊥平面ABC，

∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC1B1B，∴B1M⊥AG. ∵CC1⊥平面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC， ∴CC1⊥AC，CC1⊥B1C1， 设AC＝2a，则CC1＝2a， 在Rt△MCA中，AM＝ 在Rt△B1C1M中，B1M＝

CM＋AC＝6a，

B1C1＋C1M＝6a.

∵BB1∥CC1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB， ∴AB1B1B＋AB＝C1C＋AB＝23a， 注意到AM2＋B1M2＝AB21，∴B1M⊥AM，

类型二 空间面面位置关系

1．面面垂直的判定定理：a β，a⊥α α⊥β.

2．面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l α⊥β. 3．面面平行的判定定理：a β，b β，a∩b＝A，a∥α，b∥α α∥β. 4．面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b α∥b. 5．面面平行的证明还有其它方法

(1)a,b 且a b A

c,d 且c d B ∥

a∥c,b∥d

(2)a , a∥

[例2] (2012年高考江苏卷)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点． 求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直线A1F∥平面ADE.

[证明] (1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC. 又AD 平面ABC，所以CC1⊥AD.

又因为AD⊥DE，CC1，DE 平面BCC1B1，CC1∩DE＝E， 所以AD⊥平面BCC1B1. 又AD 平面ADE，

所以平面ADE⊥平面BCC1B1.

(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点， 所以A1F⊥B1C1.

因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F 平面A1B1C1，

所以CC1⊥A1F.

又因为CC1，B1C1 平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1， 所以A1F⊥平面BCC1B1.

由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD. 又AD 平面ADE，A1F 平面ADE， 所以A1F∥平面ADE.

跟踪训练

(2012年大同模拟)如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O.将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥，点M是棱BC的中点，DM＝

2.

(1)求证：平面ABC⊥平面MDO； (2)求三棱锥M-ABD的体积．

解析：(1)证明：由题意得OM＝OD＝3， 因为DM＝32，所以∠DOM＝90°，OD⊥OM. 又因为四边形ABCD为菱形，所以OD⊥AC. 因为OM∩AC＝O，所以OD⊥平面ABC， 因为OD

平面MDO，所以平面ABC⊥平面MDO.

(2)三棱锥M-ABD的体积等于三棱锥D-ABM的体积． 由(1)知，OD⊥平面ABC， 所以OD为三棱锥D-ABM的高．

1133

又△ABM的面积为2×BM×sin 120°＝26×2＝2， 13所以M-ABD的体积等于3×S△ABM×OD＝2.

类型三 折叠中的位置关系

将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，这类问题称之为平面图形翻折问题．平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生了变化、有的没有发生变化，弄清它们是解决问题的关键．一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化．

[例3] (2012年高考浙江卷)已知矩形ABCD，AB＝1，BC2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )

A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 [解析] 找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量．

对于选项A，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥BD，垂足为F，在图(1)中，由边AB，BC不相等可知点E，F不重合．在图(2)中，连接CE，若直线AC与直线BD垂直，又∵AC∩AE＝A，∴BD⊥面ACE，∴BD⊥CE，与点E，F不重合相矛盾，故A错误．

对于选项B，若AB⊥CD，又∵AB⊥AD，AD∩CD＝D，∴AB⊥面ADC，∴AB⊥AC，由AB<BC可知存在这样的等腰直角三角形，使得直线AB与直线CD垂直，故B正确．

对于选项C，若AD⊥BC，又∵DC⊥BC，AD∩DC＝D，

∴BC⊥面ADC，∴BC⊥AC.已知BC2，AB＝1，BC >AB，∴不存在这样的直角三角形．∴C错误．

由上可知D错误，故选

B. [答案] B

跟踪训练

如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD＝2AE＝2AB＝4FC＝4.将四边形EFCD沿EF折起成如图2的形状，使AD＝AE.

(1)求证：BC∥平面DAE； (2)求四棱锥DAEFB的体积．

解析：(1)证明：∵BF∥AE，CF∥DE，BF∩CF＝F，

AE∩DE＝E.

∴平面CBF∥平面DAE，

又BC 平面CBF，∴BC∥平面DAE. (2)取AE的中点H，连接DH.

∵EF⊥DE，EF⊥EA，∴EF⊥平面DAE. 又DH 平面DAE，∴EF⊥DH.

∵AE＝DE＝AD＝2，∴DH⊥AE，DH＝3. ∴DH⊥平面AEFB.

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四棱锥D-AEFB的体积V＝33×2×2＝3析典题（预测高考）

高考真题

【真题】 (2012年高考陕西卷)(1)

如图所示，证明命题

“a是平面π内的一条直

线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真；

(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．

【解析】 (1)证明：证法一 如图(1)，过直线b上任一点作平面π的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面． 根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c＝λb＋μn， 则a·c＝a·(λb＋μn)＝λ(a·b)＋μ(a·n)． 因为a⊥b，所以a·b＝0.

又因为aÜπ，n⊥π，所以a·n＝0. 故a·c＝0，从而a⊥c.

证法二 如图(2)，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c.

因为PO⊥π，aÜπ，所以直线PO⊥a. 又a⊥b，bÜ平面PAO，PO∩b＝P， 所以a⊥平面PAO. 又cÜ平面PAO，

所以a⊥c.

(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b. 逆命题为真命题．

【名师点睛】 本题实际上考查了三垂线定理逆定理的证明，命题创意新颖，改变了多数高考命题以空间几何体为载体考查线面位置关系的证明．着重考查推理论证能力． 考情展望 名师押题

【押题】 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，其正视图、

俯视图均

为矩形，侧视图为直角三角形．

(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积； (2)证明：A1C⊥平面AB1C1；

(3)若D是棱CC1的中点，E是棱AB的中点，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论． 【解析】 (1)几何体的直观图如图所示，四边形BB1C1C是矩形，BB1＝CC13，BC＝B1C1＝1，四边形AA1C1C3的正方形，且平面AA1C1C垂直于底面BB1C1C，

故该几何体是直三棱柱，其体积 13

V＝S△ABC·BB1＝2×3＝2

(2)证明：由(1)知平面AA1C1C⊥平面BB1C1C且B1C1⊥CC1，所以B1C1⊥平面ACC1A1，所以B1C1⊥A1C.

因为四边形ACC1A1为正方形，所以A1C⊥AC1， 而B1C1∩AC1＝C1，所以A1C⊥平面AB1C1. (3)DE∥平面AB1C1，证明如下：

如图，取BB1的中点F，连接EF，DF，DE.

因为D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，所以EF∥AB1，DF∥B1C1

.

又AB1 平面AB1C1，EF 平面AB1C1， 所以EF∥平面AB1C1.

同理，DF∥平面AB1C1，又EF∩DF＝F，则平面DEF∥平面AB1C1.而DE 平面DEF，所以DE∥平面AB1C1.

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