刚体平面运动的动力学方程

第七章 刚体力学

§7.5 刚体平面运动的动力学§7.5.1 刚体平面运动的基本动力学方程 §7.5.2 作用于刚体上的力 §7.5.3 刚体平面运动的动能 §7.5.4 滚动摩擦力偶矩 §7.5.5 汽车轮的受力汽车的极限速度

上页

下页

返回

结束

第七章 刚体力学

§7.5 刚体平面运动的动力学§7.5.1 刚体平面运动的基本动力学方程平面运动 = 平动+定轴转动1.求质心的运动 刚体作平面运动，受力必是平面力 F m a 根据质心运动定律 i c 直角坐标系中的分量式

(7.5.1)

F

ix

macx

F

iy

macy

Fi — 所有外力的矢量和,上页

m — 刚体的质量.下页 返回 结束

第七章 刚体力学 2. 刚体绕质心的转动 在质心系中刚体作定轴转动. 选质心坐标系 Cx’y’z’ ,设z’为过质心而垂直于固 定平面的轴. 在质心系中

M 外i ' M 惯

dLz ' dt

M外i’ — 外力对质心的力矩, M惯 — 惯性力对质心力矩. 又 M惯= 0dL'z d( I zc z ) I zc z dt dt上页 下页 返回 结束

M外i'

第七章 刚体力学

M外i' I zc z'力学方程.

(7.5.2)

即刚体相对于质心的轴的转动同样服从定轴转

动定律. 式(7.5.1)和(7.5.2)称刚体平面运动的基本动

上页

下页

返回

结束

第七章 刚体力学

§7.5.2 作用于刚体上的力1.作用于刚体上力的两种效果 · 滑移矢量 (1) 施于刚体的力的特点 施于刚体的某个点的力,决不可以随便移到另一点去. A

F F

作用力通过质心，对质心轴上的 力矩为零，使刚体产生平动.

B

力作质心轴的力矩使刚体产生角加速度.

上页

下页

返回

结束

第七章 刚体力学 (2) 施于刚体的力是滑移矢量 右图中,施于A点的力 F

C B F ''

F´ 可用施于B点的力F´´代替,即力可沿作用线滑移.

A

F'

作用于刚体的力的三要素：大小、方向和作用线.

上页

下页

返回

结束

第七章 刚体力学

力偶:大小相等方向相反彼此平行的一对力. F1 F2 M力偶 r1 F1 r2 F2 (r1 r2 ) F1 r12 F1大小

2.力偶和力偶矩

M力偶 r12 sin F Fd

与参考点的选择无关. 一般作用于刚体的力等效 于一作用线通过质心的力和一 力偶，这力的方向和大小与原 力相同，而力偶矩等于原力对 质心轴的力矩.

F1

m1

O

d r1 m2 F2 r2

r12

上页

下页

返回

结束

第七章 刚体力学

§7.5.3 刚体平面运动的动能动能动能定理

1 1 2 Ek mv c I c 2 2 21 1 2 2 A Δ ( mv I 外 2 c 2 c )

如果刚体不太大，若刚体在运动中只有保守力作功，则系统的机械能也守恒.

1 1 2 E机 械 mghc mv c I c 2 2 2

上页

下页

返回

结束

第七

章 刚体力学

[例题1]如图，固定斜面倾角为 ,质量为 m 半径为 R的均质圆柱体顺斜面向下作无滑滚动，求圆柱体质心的 加速度ac 及斜面作用于柱体的摩擦力F . [解] 根据质心运动定理

FN W F macyFR I

x´ FN C

x

y 轴上投影

y´

W sin F mac对质心轴的转动定理 无滑滚动 ac R 2 ac g sin 3

1 mR 2 2

W

O F

1 F mg sin 3上页 下页 返回 结束

第七章 刚体力学 [例题2]质量为m的汽车在水平路面上急刹车，前后轮均 停止转动. 前后轮相距L,与地面的摩擦因数为 .汽车质 心离地面高度为h,与前轮轴水平距离为l .求前后车轮对 地面的压力.

上页

下页

返回

结束

第七章 刚体力学 [解] 汽车受力如图. 根据质心运动定理 y FN1

y´C

FN2

x´ F2

O

F1

x

W FN1 FN2 F F macy 轴投影FN1 FN2 W 0

F1 FN1

F2 FN2

对质心轴的转动定理

( F1 F2 )h FN2 ( L l ) FN1l 0上页 下页 返回 结束

第七章 刚体力学

由上面方程可解出

FN1 mg( L l h) / L FN 2 mg( l h) / L根据牛顿第三定律，前后轮对地面的压力大小分别为

FN1、FN2 ,但方向向下.

上页

下页

返回

结束

第七章 刚体力学

[例题3] 在例题1中，设圆柱体自静止开始滚下，求质心下落高度 h 时，圆柱体质心的速率. [解] 因为是无滑滚动，静摩 擦力F 不做功，只有重力W 做功，机械能守恒.1 1 1 2 mgh mv c ( mR 2 ) 2 2 2 2

x´ FN W

x

y´

C

O

y

F

1 1 2 mv c mR 2 2 2 4无滑滚动条件

vc R

2 vc 3 gh 3

上页

下页

返回

结束

第七章 刚体力学

§7.5.4 滚动摩擦力偶矩滚动摩擦发生的原因：是物体与接触面处的非弹 性形变引起. 设滚轮在接触区无形变，地面有非弹性形变. FN O

W

FN O FN WFP

M滚 F

W FP

O

N

如图 FN 对质心产生反向力矩 ——滚动摩擦力矩M滚M滚 FN

——摩擦因数，由实验测.上页 下页 返回 结束

第七章 刚体力学

M滚 使物体角速度减小，则接触面各点有向前滑动趋势，从而产生反向摩擦力(滚动摩擦)使物体减速. 滚动阻力因数 ´

/ r,

r是轮半径.

表7.2常见汽车轮在几种典型路面上的 ´ 值 路面类型 良好的沥青或混凝土路面 一般的沥青或混凝土路面 坑洼的卵石路面 泥泞土路(雨季或解冻)

´0.010~0.018 0.018~0.020 0.035~0.050 0.100~0.250

结冰路面上页

0.010~0.030下页 返回 结束

第七章 刚体力学 滚动摩擦 << 滑动摩擦 M滚 FN F C

W

F' A

Ff

C

设滚子匀速滚动，则阻力和阻力矩分别为

Ff r M滚 0 M滚 FN Ff F 联立得F Ff

r

FN

r

W W

若滚子匀速平动

F FN W

表7.2与表3.2相比，有

F F 上页 下页 返回 结束

第七章 刚体力学

§7.5.5 汽车轮的受力汽车的极限速度M滚驱 M滚 FN

Ff M驱 W FN

C

F

F

M滚

FN C

W

Ff

驱动轮Ff

被动轮M驱 Ff r M滚 0

r

FN

Ff ( M驱 M滚 ) / r M驱 / r

汽车牵引力

M驱 / r上页 下页 返回 结束

第七章 刚体力学

[例题4]桑塔纳汽车匀速行驶,汽车横截面积为 S=1.89m2,空气阻力因数Cv=0.425. 发动机功率为P发=60kW,设经内 部传动机构能量损失10%,空气密度 =1.2258 N· s2/m4. 汽车行驶所受空气阻力 Ff 1 C v Sv 2 求汽车沿水平路 面行驶的最高速率vmax2

[解] 取发动机燃烧物以外的整个汽车为质点系 功 功率

A外 A内 0 P外 P内 0

P外= P发+滚动摩擦力偶矩功率+空气阻力功率P阻上页 下页 返回 结束

第七章 刚体力学 不计滚动摩擦力偶矩功率1 3 P发 C v Svmax 0 2

vmax (2 P发 / Cv S )1 / 3 1.7 102 km/h估算滚动摩擦力偶矩的功率 滚动摩擦力偶矩的功率 vW ,W为总车重 取 ' 0.01

vmax 1.7 102 km/h

得滚动摩擦力偶矩的功率 7.0 kW

影响最高速度的主要因素是空气阻力.

上页

下页

返回

结束

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/sr8i.html