第四章 多元线性回归模型的延伸

计量经济学

第四章 多元线性回归模型的延伸

模型的类型与变换 受约束回归 含虚拟变量的回归

虚拟变量的性质 含有虚拟变量的回归问题 比较两个回归——虚拟变量法

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一、模型的类型与变换

对数线性模型——测度弹性 半对数模型——测量增长率 倒数模型 多项式回归

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说 明

在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的， 直接表现为线性关系的情况并不多见。

如著名的恩格尔曲线(Engle curves)表现为幂 函数曲线形式，类似地还有生产函数等。但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单 的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从 而可以运用线性回归模型的理论方法。

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1. 对数线性模型——测度弹性对回归模型：yi 1 xi 2 e i作对数变换： ln(yi ) ln 1 2 ln xi i得到新模型： yi* 2 xi* i 其中：i* ln yi , y

xi* ln xi , ln 1

对数线性模型的特点：斜率系数 2测度了y对x 的弹性： d ln y dy dx dy xy x dx y d ln x dy (d ln y 即lny的无穷小变化等于 的相对变化 ) y y

2

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例2 美国咖啡需求：1970-1980

美国咖啡消费(y)与平均真实零售价格 (x)数据如表，(x=名义价格/食品与饮 料的消费者价格指数，1967年=100), 求咖啡消费函数。 输入数据 散点图：确定函数形式：y-x; lny-lnx 建立模型: lny= + lnx+ i 参数估计：

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lndemand 0.777 - 0.253lnpri ce se : (.015) (.049) R 2 0.74, F 26 .27

咖啡需求的价格 弹性为-0.253

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2. 半对数模型-测度增长率

假如要求GDP的增长率，有如下公式：

yt=y0(1+r)t 其中，yt:时间t的实际GDP; y0:实际GDP 的初始值；r:y的复合增长率。

两边取对数：lnyt=lny0+tln(1+r) 令 1=lny0 , 2=ln(1+r),并增加干扰项 方程变为： lnyt = 1+ 2t+ i——半对数 因变量的相对改变量 2 模型 自变量的绝对改变量 模型特点： 2:测度了GDP的恒定相对增长率。

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例：求1956-1970年美国个 人可支配收入的增长率

X2:个人可支配收入，x3:时间变量 模型：lnx2i= 1+ 2ti+ i 2=0.04228,说明56-70年 间，美国个人可支配收入 求解过程 每年增长4.23% 结果： log x2i 5.6429 0.04228 t ise : t: p: 0.014468 0.001591 390 .0298 26 .57093 0.0000 0.0000 R 2 0.9819 F 706 .0142 p ( F ) 0.0000 b23=17.13,说明个

比较线性趋势模型：x2i= b2+b23ti+ i

人可支配收入每年 平均增长17亿美元

x2i 265.7314 17.12857 3i x

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3. 倒数模型

2 模型特点：随着x无限增大，

1 y i 1 2 i xi

y

2>0 1>0 1

于极限值。 分三种类型： y 2>0

1<0 - 1 菲利普斯曲线1 xi

1 xi

项趋于0,y趋

y 1 2<0 1>0 x

平均固定成本与产出水平

x

2 1

x

恩格尔曲线

倒数模型的线性化：令 z

原方程变为：y= 1+ 2zi+ i

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4. 多项式回归模型yi 0 1 xi 2 xi2 i

常用于成本和生产函数的计量经济分析

关于参数线性 x2i xi2 令： 作代换得: y= 0+ 1xi + 2x2i+ i

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课堂练习1

观察下列方程并判断是否是线性回归方程

(1) (2) (4) (5) ( 6) (7 )

yi 0 1 xi3 i yi 0 1 log xi i y i 0 1 ( 2 xi ) i yi 0 /( 1 xi ) i yi 1 0 (1 xi 1 ) i yi 0 1 x1i 2 x2i / 10 i

(3) log yi 0 1 log xi i

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课堂练习2

以企业研发支出占销售额的比重为被解释变量(Y),以 企业销售额(X1)与利润占销售额的比重(X2)为解释变 量，一个有32容量的样本企业的估计结果如下： Y 0.472 0.32 log( X 1 ) 0.05 X 2se : (1.37 ) (0.22 ) R 2 0.099 (0.046 )

1)解释log(X1)的系数。如果X1增加10%,估计Y会变化多少个百分 点？这在经济上是一个很大的影响吗？ 2)针对R&D强度随销售额的增加而提高这一备择假设，检验它不虽 X1而变化的假设。分别在5%和10%的显著性水平上进行检验。 3)利润占销售额的比重X2对R&D强度Y是否在统计上有显著影响？

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二、受约束回归

经济理论有时会提出某一回归模型中系数满足 一些线性等式约束条件——受约束最小二乘法 例1:柯克· 道格拉斯生产函数yi 1 x2i x3i e 2 3 i

yi : 产出，2 : 劳动投入，3 : 资本投入， x x

2、 3分别为劳动和资本的产 出弹性做对数变换： yi 0 2 ln x2i 3 ln x3i i ln 其中： 0 ln 1如果规模报酬不变，即每一同比例的投入变化有同比例 的产出变化，则C-D函数有如下约束： 2+ 3=1

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受约束回归例2qi f ( I , p1 , p2 , pi , pm ) 需求函数： 其中，qi : 第i种商品的需求量， : 收入, I pi : 第i种商品的价格, m : 商品数

需求函数的零阶齐次性条件：

当收入、价格和其他商品的价格等 都增长 倍时，对商品的需求量没 有影响。

f ( I , p1 , pi , pm ) 0 f ( I , p1 , p2 , pi pm )

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受约束回归例2(续)对最常用的对数线性模型ln qi

j 1

m

j

ln p ji ln I i i

i 1, , n

要满足0阶齐次性条件，应该使： j 0可以用该条件检验实际建立的需求函数模型 是否合理

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约束条件的检验：生产函数模型yi 1 x2i x3i e 2 3 i

yi : 产出，2 : 劳动投入，3 : 资本投入， x x

2、 3分别为劳动和资本的产 出弹性做对数变换： yi 0 2 ln x2i 3 ln x3i i ln 其中： 0 ln 1如果规模报酬不变，即每一同比例的投入变化有同比例 的产出变化，则C-D函数有如下约束： 2+ 3=1

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2+ 3=1的检验(1)t检验法：先做无约束回归的估计ln yi 0 2 ln x2i 3 ln x3i i

得到 2、 3的估计值后，就可通过t检验来检 验约束是否满足。 ( 2 3 ) ( 2 3 ) t se( )2 3

( 2 3 ) 1

var( 2 ) var( 3 ) 2 cov( 2 , 3 )

t服从n-k的t分布 (k:包括截距项的待估参数个数)

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例 58-72年台湾农业C-D函数

1958-1972年台湾地区农业部门 的实际总产值、劳动日和实际资 本投入数据如表，求生产函数。ln yi 0 2 ln x2i 3 ln x3i i ln yi 3.338 1.499ln x2i 0.490ln x3i se : t: p: 2.4495 1.363 0.198 0.5398 2.777 0.017 0.1020 4.800 0.000 R 2 0.889 F 48.069 p 0.000

ei2 0.06716 RSSUR

2 3 1.499 0.490 1.989? 1

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例7 规模报酬不变的t检验C o e f f i c i e n t C o r r e l a t i o na s Model 1 LNX3 Correlations LNX3 1.000 LNX2 -.698 Covariances LNX3 1.041E-02 LNX2 -3.84E-02 a. Dependent Variable: LNY LNX2 -.698 1.000 -3.84E-02 .291

H 0 : 2 3 1 ( 2 3 ) 1 t var( 2 ) var( 3 ) cov( 2 , 3 ) 1.499 0.490 1 0.01041 0.291 2 ( 0.0384) 2.087

注意： 2 3 1.989仍有可能不 显著异于1

遵循15-3=12的t分布 =0.05, t /2=2.179 =0.10,t /2=1.782

结论：在5%的水平上不能拒绝原假设，农业经历规模报酬不变

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/sr3m.html