解析几何100题经典大题汇编

1 4（（2011巢湖一检）已知直线1l y kx =+：，椭圆E ：22

21(0)9x y m m

+=>．（Ⅰ）若不论k 取何值，直线l 与椭圆E 恒有公共点，试求出m 的取值范围及椭圆离心率e 关于m 的函数式；

（Ⅱ）当k =时，直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点，与y 轴交于点M ，若2AM MB =uuu r uuu r ,求椭圆E 方程．

解：(Ⅰ)∵直线l 恒过定点M(0，1)，且直线l 与椭圆E 恒有公共点，∴点M(0，1)在椭圆E 上或

其内部，得()22

201109m m

+≤>，解得13m m ≥≠，且.(联立方程组，用判别式法也可)当13m ≤<时，椭圆的焦点在x

轴上，e =；当3m >时，椭圆的焦点在y

轴上，e =.

∴

)()133.m e m ≤<=??>??

， (Ⅱ)

由222

119y x y m ?=+????+=??，消去y

得222(10)9(1)0m x m +++-=. 设11()A x y ，，22()B x y ，

，则12x x +=，21229(1)10

m x x m -=+②. ∵M(0，1)，∴由2AM MB = 得122x x =- ③. 由①③得

2x =④. 将③④代入②得，

2

229(1)210m m --=+??

，解得26m =(215m =-不合题意，舍去). ∴椭圆E 的方程为22

196

x y +=. 5 (2011承德期末)椭圆C 的方程为)012222>>=+b a b

y a x （，斜率为1的直线l 与椭圆C 交于),(),,(2211y x B y x A 两点.Ⅰ）若椭圆的离心率23=e ，直线l 过点)0,(b M ，且5

12-=?，求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线l 过椭圆的右焦点F ，设向量)0((>+=λλOB ，若点P 在椭圆C 上，求λ 的取值范围.

解：（Ⅰ）∵23=e ， ∴b c b a 3,2==.???=+-=2

2244b y x b x y ∴),0(),5

3,58(b B b b A -.

2 ∵512-=? ∴5

12532-=-b 42=b 162=a . ∴椭圆C 的方程为14

162

2=+y x . …… 5分 （Ⅱ）???=+-=222222b

a y a x

b

c x y 得()()022222222=-+-+b c a cx a x a b 222212b a c a x x +=+ ，222212b

a c

b y y +-=+. +=（2222b a

c a +，2

222b a c b +-）, ??

? ??+-+=22222222b a c b b a c a λλ. ∵点P 在椭圆C 上 ，将点P 坐标代入椭圆方程中得22224c

b a +=λ. ∵222a

c b =+ 10<=

c e , ∴41412142422222222>-=-=+=e c c a c b a λ ,21>λ. …………… 12分 6．（2011佛山一检）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>

的离心率为e =心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切，,A B 分别是椭圆的左右两个顶点， P 为椭圆C 上的动点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若P 与,A B 均不重合，设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值；（Ⅲ）M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，若OP

OM λ=，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为222x y b +=，

∵直线20x y -+=与圆相切，

∴d b =

=，

即b =

又c e a ==，

即a ，222a b c =+

，解得a =1c =， 所以椭圆方程为22

132

x y +=． （Ⅱ）设000(,)(0)P x y y ≠，

(A

，B ，则2200132

x y +=，即2200223y x =-，

则1k =

2k =22200012222000222(3)2333333x x y k k x x x --?====----，

3 ∴12k k 为定值23

-

． （Ⅲ）设(,)M x y

，其中[x ∈． 由已知222OP OM λ=及点P 在椭圆C 上可得2222222222633()x x x x y x y λ+-+==++， 整理得2222(31)36x y λλ-+=

，其中[x ∈．

①当λ=

时，化简得26y =，所以点M

的轨迹方程为y x =，轨迹是两条平行于x 轴的线段；

②当3

λ≠时，方程变形为2222

166313x y λλ+=-

，其中[x ∈，

当0λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y

轴上的双曲线满足x ≤部分；

1λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x

轴上的椭圆满足x ≤分；

当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆．

7．（2011福州期末） 如图， ADB 为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且OD AB ⊥，Q 为线段OD 的中点，已知|AB|=4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。 （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点B 的直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，与OD 所在直线交于E 点，若1212,,:EM MB EN NB λλλλ==+ 求证为定值。

解：（Ⅰ）以AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，

O 为原点，建立平面直角坐标系，∵动点P 在曲线C 上运动

且保持|PA |+|PB |的值不变．且点Q 在曲线C 上,

∴|PA |+|PB |=|QA |+|QB |=2521222=+＞|AB |=4．∴曲线C 是为以原点为中心，A 、B 为焦点的椭圆设其长半轴为a ,短半轴为b ,半焦距为c ,则2a =25,∴a =5,c =2,b =1．∴曲线C 的方程为5

2x +y 2=1 （Ⅱ）证法1：设,,M N E 点的坐标分别为11220(,),(,),(0,)M x y N x y E y ，

又易知B 点的坐标为(2,0)．且点B 在椭圆C 内,故过点B 的直线l 必与椭圆C 相

交．∵1EM MB λ= ，∴110111(,)(2,)x y y x y λ-=--．∴ 11112λλ+=x ，1

011λ+=y y ． 7分

4 将M 点坐标代入到椭圆方程中得：1)1()12(

51210211=+++λλλy ，去分母整理，得0551020121=-++y λλ． 10分同理，由2EN NB λ= 可得：0551020222=-++y λλ．

∴ 1λ，2λ是方程05510202=-++y x x 的两个根，∴ 1021-=+λλ． 12分

（Ⅱ）证法2：设,,M N E 点的坐标分别为11220(,),(,),(0,)M x y N x y E y ，又易知B 点的坐标为(2,0)．且点B 在椭圆C 内,故过点B 的直线l 必与椭圆C 相交．显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的斜率为 k ，则直线 l 的方程是 )2(-=x k y ．将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中，

消去 y 并整理得052020)51(2

222=-+-+k x k x k ． 8分∴ 22

215120k

k x x +=+，222151520k k x x +-=．又 ∵1EM MB λ= ，则110111(,)(2,)x y y x y λ-=--．∴1

112x x -=λ，同理，由2EN NB λ= ，∴2

222x x -=λ10分 ∴10)(242)(2222

1212121221121-==++--+=-+-=+ x x x x x x x x x x x x λλ． 12分 8（ 2011广东广雅中学期末）已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短半轴长为1，动点(2,)M t (0)t > 在直线2

(a x a c

=为长半轴，c 为半焦距）上。（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值。

【解析】（1）又由点M 在2(a x a c =为长半轴，c 为半焦距）上，得2

2a c

= 故212c c +=，1c ∴=

从而a =…2分所以椭圆方程为2212x y += 或 2

212

y x += 4分

（2）以OM 为直径的圆的方程为(2)()0x x y y t -+-=即2

2

2(1)()124t t x y -+-=+ 其圆心为(1,)2t ,

半径r =6分因为以OM 为直径的圆被直线3450x y --=截得的弦长为2所以圆心到直线3450x y --=

的距离d =2

t =…8分所以32552

t t --=，解得4t =所求圆的方程为22(1)(2)5x y -+-=…10分 （3）方法一：由平几知：2ON OK OM =直线OM ：2t y x =，直线FN ：2(1)y x t

=--…

5 12分由22(1)t y x y x t ?=????=--??得244K x t =+

2

224(1)2244

ON t t ∴==+??=+所以线段ON

14分

方法二、设00(,)N x y ，则 000000(1,),(2,)(2,),(,)FN x y OM t MN x y t ON x y =-==--= 0000,2(1)0,22FN OM x ty x ty ⊥∴-+=∴+= ………12分 又2200000000,(2)()0,22MN ON x x y y t x y x ty ⊥∴-+-=∴+=+=

所以，ON == 为定值 …14分 9（2011哈尔滨期末）椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，该椭圆经过点??

?

??23,1P 且离心率为2

1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线m kx y l +=:与椭圆C 相交B A ,两点（B A ,不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．

解：（1）椭圆的标准方程为13

422=+y x （2）设()()2211,,,y x B y x A ，??

???=++=1342

2y x m kx y 得:()()034824322=-+++m kmx x k 043,022>-+∴>?m k ，

()22212214334,438k m x x k mk x x +-=+-=+ ()

2

22214343k k m y y +-=∴ 以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，1-=?∴BD AD k k ， ()042212121=++-+∴x x x x y y ，0416722=++∴k mk m

k m 21-=∴，7

22-=m ，且均满足04322>-+m k ， 当k m 21-=时，l 的方程为()2-=x k y ，则直线过定点()0,2与已知矛盾

6 当k m 721-=时，l 的方程为??? ??-=72x k y ，则直线过定点??

? ??0,72 ∴直线l 过定点，定点坐标为??

? ??0,72 10．(2011湖北八校一联) 已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为A 1、A 2，动直线

:l y kx m =+与圆221x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,).P x y P x y

（I ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值；

（II ）记直线11122212,,P A k P A k k k ?的斜率为直线的斜率为那么是定值吗？证明你的结

论。

解： （Ⅰ）l 与圆相切

,1∴=

221m k ∴=+ ………… ① 由221

y kx m x y =+??-=? , 得 222(1)2(1)0k x mkx m ---+=, 222222*********(1)(1)4(1)80101k m k k m m k m x x k ??-≠??∴?=+-+=+-=>??+??=

,

21,k ∴<11k ∴-<<,故k 的取值范围为(1,1)-.

由于12212222111mk x x x x k k k

+=∴-===---， 201k ≤< ∴当20k =时，21x x -

取最小值. 6分 （Ⅱ）由已知可得12,A A 的坐标分别为(1,0),(1,0)-，

121212,11

y y k k x x ∴==+-，

7

121212(1)(1)y y k k x x ∴?=

+-1212()()

(1)(1)

kx m kx m x x ++=+-

22

12121221()()1k x x mk x x m x x x x +++=+-

-22

22212m mk

k mk m +?-?+=

22222222=

22

=， 由①，得 22

1m k -=，

12(3k k ∴?==-+为定值. 12分

11．（2011·湖北重点中学二联）（本小题满分12分）已知点00(,)P x y 是椭圆2

2:12

x E y +=上任意一点001x y ≠，直线l 的方程为0012

x x

y y += （I ）判断直线l 与椭圆E 交点的个数；

（II ）直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一

定点G ，求点G 的坐标。

解：（1）由2

200

12

1

2x y x x y y ?+=????+=??消去y 并整理得

222200002104x y x x x y +-+-=……2分 220012x y += ，220022

x y -∴=220020x x x x ∴-+=…………4分

2200440x x ∴?=-=故直线l 与椭圆E 只有一个交点…………5分

（2）直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-即000020y x x y x y --=………………6分

设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n

则0000001

2120

22x n

m y x n m y x y ?=-?+??-??--=?? 解得3200020432

00002002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ?+--=?-??+--?=?-?

……8分 ∴ 直线PN 的斜率为432000003200004288

2(34)n y x x x x k m x y x x -++--=

=---+ 从而直线PN 的方程为43200000032

0004288

()2(34)

x x x x y y x x y x x ++---=---+

8 即3200043200002(34)14288

y x x x y x x x x --+=+++--从而直线PN 恒过定点(1,0)G …………12分

12. (2011·惠州三调)（本题满分14分）已知椭圆C ：)0( 122

22>>=+b a b

y a x 的离心率为2

3，过坐标原点O 且斜率为21的直线 l 与C 相交于A 、B ，102||=AB ．⑴求a 、b 的值；⑵若动圆1)(22=+-y m x 与椭圆C 和直线 l 都没有公共点，试求m 的取值范围．

解：⑴依题意， l ：2

x y =……1分，不妨设设) , 2(t t A 、) , 2(t t B --（0>t ） 由102||=AB 得40202=t ，2=t ……3分，所以???????=-==+23

1282222a b a a

c b a ……5分， 解得4=a ，2=b ……6分． ⑵由??

???=+-=+1)( 1416222

2y m x y x 消去y 得01248322=++-m mx x ……7分，动圆与椭圆没有公共点，当且仅当014416)124(34)8(222<-=+??--=?m m m 或5||>m ……9分，解

得3||m ……10分。动圆1)(22=+-y m x 与直线2

x y =没有公共点当且仅当15||>m ，即5||>m ……12分。解???><5||3||m m 或???>>5

||5||m m ……13分，得m 的取值范围为{}

553535|-<-<<-><

13、(2011·锦州期末)（本小题12分） 如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P

在AM 上，点N 在CM 上，且满足

N AM NP AP AM 点,0,2=?=的轨迹为曲线E .

（I ）求曲线E 的方程； （II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线

E 于不同的两点,G H （点G 在点,

F H 之间），且满足

λ=，求λ的取值范围.

【解】（Ⅰ）.0,2=?= ∴NP 为AM 的垂直平

分线，∴|NA|=|NM|.……2分 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点

N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a ……………5分

9

∴曲线E 的方程为.12

22

=+y x ………6分 （Ⅱ）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为,12

,22

2=++=y x kx y 代入椭圆方程

得.2

30.034)21(2

22>>?=+++k kx x k 得由

设22122122112

13

,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G +=

+-=+则……………8分 )2,()2,(,2211-=-∴=y x y x λλ 又

λ

λλλλ212

2221222122121)1(.,)1(,x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴，

λλλλ2

222

22)

1()121(316,213)

1()214(+=++=++-∴k

k k k 整理得………10分 .331

.316214.316323164,232

2<<<++<∴<+<∴>λλλ解得k k

.131,10<<∴<<λλ 又又当直线GH 斜率不存在，方程为.3

1

,31,0===λx

)1,3

1

[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴… 14．（2011·金华十二校一联）（本题满分15分）已知椭圆

2

2

2

2

1(0)x y a b a b

+

=>>的两个焦

点分别为12(1,0),(1,0)F F -，点P 在椭圆上，且满足12122,30PF PF PF F =∠= ，直线y kx m =+与圆226

5

x y +=

相切，与椭圆相交于,A B 两点．（I ）求椭圆的方程； （II ）

证明AOB ∠为定值（O 为坐标原点）．

解：（I ）由题意，1212122,30,2PF PF PFF FF =∠==

，

解三角形得122PF PF ==

，由椭圆定义得122a PF PF =+=，

从而a 又1c =

，则b =22

132

x y += （6分） （II ）设交点1122(,),(,)A x y B x y ，联立2213

2

y kx m x y =++=??

???

消去y 得

10 222(23)6360k x kmx m +++-=

由韦达定理得2121222636,2323km m x x x x k k

--+==++ （9分）又直线y kx m =+与圆226

5x y +=相切，

22566m k =?=+ （11分）

从而22121212121212()()(1)()x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++ 22222

2222366(566)(1)0232323m km m m k k km m k k k ----=+++==+++ （14分） 所以0OA OB = ，即90AOB ∠= 为定值． （15分） 15．（2011·九江七校二月联考）（本小题满分13分）已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点；椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它

的一个顶点，且其离心率e =．（1）求椭圆E 的方程；（2）经过A 、B 两点分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，切线1l 与2l 相交于点M ．证明：MF AB ⊥；（3） 椭圆E 上是否存在一

点M '，经过点M '作抛物线C 的两条切线MA

''、MB ''（A '、B '为切点），使得直线A B ''过点F ？若存在，求出抛物线C 与切线MA

''、MB ''所围成图形的面积；若不存在，试说明理由．

解：（1）设椭圆E 的方程为 22

221(0)x y a b a b

+=>>，半焦距为c .由已知条件，得)1,0(F ， ∴???

????+===222231c b a a

c b 解得 1,2==b a .所以椭圆E 的方程为：1422=+y x .……4分 （2）显然直线l 的斜率存在，否则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合题意， 故可设直线

l 的方程为 1+=kx y ，112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠， 由???=+=y

x kx y 412 消去y 并整理得 2440x kx --=， ∴ 421-=x x .…5分∵抛物线C 的方程为24

1x y =，求导得12y x '=，∴过抛物线C 上A 、B 两点的切线方程分别是)(2

1111x x x y y -=-， )(21222x x x y y -=-，即 2114121x x x y -= ， 2224

121x x x y -=，解得两条切线1l 、2l 的交点M 的坐标为)4,2(2121

x x x x +，即)1,2

(21-+x x M ，

11 ∴1

22121(,2)(,)2x x FM AB x x y y +?=-?-- 0)4

141(2)(2121222122=---=x x x x ∴MF AB ⊥.

（3）假设存在点M '满足题意，由（2）知点M '必在直线1-=y 上，又直线1-=y 与椭圆E 有唯一交点，故M '的坐标为)1,0(-'M ，设过点M '且与抛物线C 相切的切线方程为：

)(2

1000x x x y y -=-，其中点),(00y x 为切点.令1,0-==y x 得，)0(214110020x x x -=--， 解得20=x 或20-=x ……10分 故不妨取)1,2(),1,2(B A '-'，即直线B A ''过点F . 综上所述，椭圆E 上存在一点)1,0(-'M ，经过点M '作抛物线C 的两条切线A M ''、B M '' （A '、B '为切点），能使直线B A ''过点F .

此时，两切线的方程分别为1y x =--和1-=x y . ……11分

抛物线C 与切线A M ''、B M ''所围成图形的面积为

222320011142(1)2()41223

S x x dx x x x ??=--=-+=????? . 16. (2011·南昌期末)（本小题满分13分）从椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦点1,F M 是椭圆的右顶点，N 是椭圆的上顶点，且(0)MN OP λλ=> .(1)求该椭圆的离心率；(2)若过右焦点2F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为1A ，直线1A B 与x 轴交于点(4,0)R ，求椭圆C 的方程.

解：（1）令x c =-，得2b y a =，所以点P 的坐标为2(,)b c a

-，……2分 由()0MN OP λλ=> 2b b a c a

=，…4分所以22,2b c a c ==，

即离心率2e =………5分

（2）设直线l 的方程为：()0x my c m =+≠，与椭圆方程22

2212x y c c

+= 联立得到：()22222222m y mcy c y c +++=即：()222220m y mcy c ++-=…6分

12 记11,A x y （），22,B x y （），则21212222,22

mc c y y y y m m --+==++…7分 由A 关于x 轴的对称点为1A ，得111(,)A x y -，

则直线1A B 的方程是：112121

y y x x y y x x +-=+-，过点()4,0R 得到： ()()()()121211214y my my y y my c y y -=+-++ ……9分

即：()()121224my y c y y =-+所以：()22222422

mc mc c m m --=-++………11分 得到：4c c =-，所以：2,c =……12分所以所求椭圆方程为：22

184

x y +=……13分 17、 （2011·三明三校二月联考）（本题满分14分） 已知椭圆)0(1:22

221>>=+b a b

y a x C 的左、右焦点分别为F 1、F 2，其中F 2也是抛物线x y C 4:22=的焦点，M 是C 1与C 2在第一象限的交点，且.3

5||2=MF （I ）求椭圆C 1的方程； （II ）已知菱形ABCD 的顶点A 、C 在椭圆C 1上，顶点B 、D 在直线0177=+-y x 上，求直线AC 的方程。

解：（I ）设.35||),0,1(),,(2211=MF F y x M 由抛物线定义，,3

2,35111=∴=+x x .362,41121=∴=y x y …………3分， ),3

62,32(M ∴M 点C 1上， 1,138942222-==+∴a b b

a 又4293740,a a ∴-+=222149a a c ∴==<或舍去. 3,422==∴

b a ∴椭圆C 1的方程为.13

42

2=+y x …………6分 （II ）ABCD y x BD ,0177=+-的方程直线 为菱形，BD AC ⊥∴，设直线AC 的方程

为m x y +-= ,012487134

222

2=-+-??????=++-=m mx x y x m x y C A , 在椭圆C 1上，.77,7,02<<-∴<∴>?∴m m 设),(),,(2211y x C y x A ，则.7

821m x x =+ …………10分

.762782)()()(212121m m m m x x m x m x y y =+-

=++-=+-++-=+AC ∴的中点坐标为)73,74(m m ，由ABCD 为菱形可知，点)7

3,74(m m 在直线BD ：0177=+-y x 上，,1,017

37747-==+?-?∴m m m ),7,7(1-∈-=m ∴直线AC 的方程为.01,1=++--=y x x y 即…………14分

13

18. （2011·泰安高三期末）（本小题满分12分） 已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+= 的离

心率为e=2

12）（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l ：y=kx+m(k ≠0，m

＞0)与椭圆交于P ，Q 两点，且以PQ 为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ 面积

的最大值及此时直线l 的方程.

.解：（Ⅰ）∵∴∴b 2=a 2-c 2=14 a 2

故所求椭圆为：222241x y a a

+=12） ∴22311a a += ∴a 2 =4. b 2

=1 ∴

2

214

x y += (Ⅱ)设P （x 1,y 1）, Q （x 2,y 2）,PQ 的中点为（x 0,y 0）

将直线y=kx+m 与2

214

x y +=联立得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m 2-4=0 2222

16(41)0,41k m k m ?=+-+ 即 ①又

x 0=12120

22

4,214214x x km y y m

y k k +-+===++ 又点［-1，0）不在椭圆OE 上，依题意有0001

,(1)y x k

-=---整理得3km=4k 2+1 ②…

由①②可得k 2

＞

15，∵m ＞0, ∴k ＞0,∴k …分）设O 到直线l 的距离为d ，则 S △OPQ =1122d PQ ?= =分） 当211,2OPQ k =?时的面积取最大值1，此时k=2

m = ∴直线方程为

19. （2011苏北四市二调）（本小题满分16分）如图，椭圆22

2x a 3

(1,2

P ，其左、右焦点分别为12,F F ，离心率12e =，

MN 是椭圆右准线上的两个动点，且120F M F N ?=

．

（1）求椭圆的方程；（2）求MN 的最小值；

14 （3）以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．

解：（1） 12c e a ==，且过点3(1,)2P ，22222191,42,,a b a c a b c ?+=??∴=??=+??

解得2,a b =???=?? ∴椭圆方程为22

143x y +=。 (2)设点12(4,),(4,)M y N y 则1122(5,),(3,),F M y F N y == 1212150F M F N y y ?=+= ，

1215y y ∴=-，

又211111

1515MN y y y y y y =-=-= －+≥ MN ∴的最小值

为

(3)圆心C 的坐标为12(4,

)2

y y +，半径212y y r -=.圆C 的方程为2221221()(4)()24

y y y y x y +--+-=， 整理得：2212128()160x y x y y y y y +--+++=. 1215y y =- ，22128()10x y x y y y ∴+--++=

令0y =，得2810x x -+=

，4x ∴=∴圆C

过定点(4.…

20 （2011苏北四市二调）（本小题满分10分）已知动圆P 过点1

(0,)4F 且与直线14

y =-

相切.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作一条直线交轨迹C 于,A B 两点，轨迹C 在,A B 两点处的切线相交于点N ，

M 为线段AB 的中点，求证：MN x ⊥轴.

解：（1）根据抛物线的定义，可得动圆圆心P 的轨迹C 的方程为2x y = (2)证明：设221122(,),(,)A x x B x x ， ∵2y x =， ∴ 2y x '=，∴ ,AN BN 的斜率分别为122,2x x ，故AN 的方程为

21112()y x x x x -=-，BN 的方程为22222()y x x x x -=-即

211222

22y x x x y x x x ?=-??=-??，两式相减，得122N x x x +=，又122M x x x +=， ∴ ,M N 的横坐标相等，于是MN x ⊥ 1．（山东省济南市2010年3月高三一模试题理科）（本小题满分12分）已知定点(0,1)F 和直线1:1l y =-，过定点F 与直线1l 相切的动圆圆心为点C 。 （1）求动点C 的轨迹方程； （2）过点F 在直线l 2交轨迹于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP RQ ? 的最小值。

第22题

15 解：（1）由题设点C 到点F 的距离等于它到1l 的距离，∴点C 的轨迹是以F 为焦点，1l 为准线的抛物线

∴所求轨迹的方程为24x y = ………………4分

（2）由题意直线2l 的方程为1y kx =+，与抛物线方程联立消去

2440.y x kx --=得

记11221212(,),(,),4, 4.P x y Q x y x x k x x +==-则 ……6分

因为直线PQ 的斜率0k ≠，易得点R 的坐标为2(,1)k -- 112222(,1)(,1)RP RQ x y x y k k

?=++?++ 121222()()(2)(2)x x kx kx k k

=+++++……8分 212122222224(1)(2)()42414(1)4(2)44()8,k x x k x x k k k k k k k k k

=++++++=-+++++=++ 2212k k +≥ ，当且仅当21k =时取到等号。…11分 42816,RP RQ RP RQ ?≥?+=? 即的最小值为16 ……12分

2．（山东省济南市2010年3月高三一模试题文科）（本小题满分12分）已知椭圆

22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的长轴长为4。 （1）若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线2y x =+相切，求椭圆焦点坐标；

（2）若点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L 与椭圆相交于M ，N 两点，记直线

PM ，PN 的斜率分别为,PM PN k k ，当14PM PN k k ?=-

时，求椭圆的方程。 解：（1

）由b b ==2分2224,2,4,2a a a b ∴====又 ……4分

2222,c a b =-=∴两个焦点坐标为 ………………6分 （2）由于过原点的直线L 与椭圆相交的两点M ，N 交于坐标原点对称

不妨设：0000(,),(,),(,)M x y N x y P x y --M ，N ，P 在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有22220022221,1x y x y a b a b +=+=两式相减得：222

0220.y y b x x a

2-=--……8分 由题意它们的斜率存在，则0000

,PM PN y y y y k k x x x x -+==-+ …………10分

16 222200022220001,214

PM PN y y y y y y b b k k a b x x x x x x a a -+-?=?==--=-==-+-则由得 故所求椭圆的方程为2

214

x y += ………………12分 3. （山东省青岛市2010届高三一模理科）(本题满分14分)

已知椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的左右两焦点分别为21,F F ，P 是椭圆C 上的一点，且在x 轴的上方，H 是1PF 上一点，

若12120,0F F PF ==?=?，??

?

???∈21,31λ（其中O 为坐标原点）.(Ⅰ)求椭圆C 离心率e 的最大值;(Ⅱ)如果离心率e 取(Ⅰ)中求得的最大值, 已知22=b ，点），（01-M ，设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 、M 两点的直线l 交y 轴于点N ,若2NQ QM = , 求直线l 的方程.

解:(Ⅰ)由题意知1212,PF OH F F PF ⊥⊥则有OH F 1?与21PF F ?相似所以λ==P F PF OF OH

121…2分

设0),0,(),0,(21>-c c F c F ,),(1y c P 则有122122=+b

y a c ,解得a b y 21= 所以a b y PF 212==根据椭圆的定义得:a

b a PF a P F 2

2122-=-=…4分2222b a b -=∴λ,即λλ+=1222a b 所以112122222-+=-==λa

b a

c e ……6分 显然1122-+=λ

e 在]21,31[上是单调减函数当31=λ时,2e 取最大值21 所以椭圆C 离心率e 的最大值是2

2…8分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知21211222222

=-=-==a a b a c e ,解得42=a 所以此时椭圆C 的方程为12

42

2=+y x ……10分由题意知直线l 的斜率存在,故设其斜率为

17 k ,

则其方程为),0(),1(k N x k y +=设),(11y x Q ,由于QM NQ 2=,所以有

),1(2),(1111y x k y x ---=-3

,3211k y x =-=∴……12分又Q 是椭圆C 上的一点,则12

)3(4)32(2

2=+-k 解得4±=k 所以直线l 的方程为044=+-y x 或044=++y x ……14分

4．（山东省青岛市2010届高三一模文科）（本题满分12分）已知椭圆

)0(1:2222>>=+b a b

y a x C 的离心率是23=e ,若点)23,0(P 到椭圆C 上的点的最远距离为7.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过椭圆C 的左焦点1F 作直线l 交椭圆C 于点A 、B ,且AB 等于椭圆的短轴长,求直线l 的方程.

解：(Ⅰ)因为23122=-==a

b a

c e ,解得b a 2=……2分 则椭圆C 的方程化为2

224a y x =+设),(00y x Q 是椭圆C 上的一点,则有202204y a x -=，022

a a y -≤≤所以22020202202023)21(3)23(4)23(a y y y a y x PQ +++-=-+-=-+=…4分 当122a -<-且0a >即10<

32=+a , 解得723±-=a ,显然均不符合题意,应舍去;当122a -

≥-即1≥a 时,则当210-=y 时,PQ 取最大值732=

+a , 解得42=a ,符合题意;所以椭圆C 的方程为14

22

=+y x ……6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知)0,3(1-F 当直线l 垂直于x 轴时,此时直线l 的方程为3-=x 把它代入

18 14

22=+y x 解得21±=y 不妨设)21,3(),21,3(---B A ,则21≠=AB ,显然不满足题意…7分

当直线l 不垂直于x 轴时,此时可设直线l 的方程为)3(+=x k y 设),(),,(2211y x B y x A 由??

???+==+)3(1422

x k y y x 得:041238)41(2222=-+++k x k x k …………9分 则2

221222141412,4138k k x x k k x x +-=+-=+所以[]

241)1(44)()1(22212212=++=-++=k k x x x x k AB 解得22±=k …11分综上,直线l 的方程为032=++y x 或032=+-y x ……12分

5．（山东省济宁市2010年3月高三一模试题理科）（本小题满分14分）已知椭圆C 1的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为2

3=e ，P 为椭圆上一动点。F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，且21F PF ?面积的最大值为.3 （1）求椭圆C 1的方程；（2）设椭圆短轴的上端点为A ，M 为动点，且OM AF AM F F ??1222,2

1,||51成等差数列，求动点M 的轨迹C 2的方程；（3）作C 2的切线l 交C 1于O 、R 两点，求证：.0=?

解：（1）设椭圆C 1的方程为)0(12222>>=+b a b

y a x 23==a c e ，.2b a =∴ 2分 由椭圆的几何笥质知，当点P 为椭圆的短轴端点时，21F PF ?的面积最大。 3||2121==∴bc b F F ，∴由??

???=-==22232c b a bc b a 解得1,2==b a 故椭圆C 1的方程为.14

22

=+y x 5分 （2）由（1）知A （0，1），)0,3(),0,3(12F F -，

设),(y x M 则)1,(),,3(),1,3(22-=-=-=y x y x F F )1,3(1--=AF 7分,||5

11222OM AF A F AM M F ?+=?

19 ,35

4)1()3(y x y y x x --=-+-∴整理得M 的轨迹C 2的方程为5422=+y x 10分

（3）①当切线l 的斜率存在时，设m kx y l +=:，代入椭圆方程得：

0448)41(222=-+++m mkx x k ，.0)41)(1(16)8(222>+--=?k m mk

设),(),,(2211y x R y x Q ，则.4144,4182221221k m x x k mk x x +-=+-=+ 11分

)(22121221m x x km x x k y y +++=，则

2212122121)()1(m x x km x x k y y x x ++++=+=? .4144541841)44)(1(2

222222222k k m m k k m k m k +--=++-+-+= 又l 与C 2相切，5521||2

=+∴k m 即044522=--k m ，故0=? 13分 ②当切线l 的斜率不存在时，直线.552:±=x l )5

52,552(),552,552(-∴R Q 或)5

52,552(),552,552(---R Q 此时.05454=-=?综合①②得，0=? 14分

6．（山东省济宁市2010年3月高三一模试题文科）（本小题满分14分）设椭圆C 1和抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：

x 3 -2 4 2

y 32- 0 -4 2

2 （1）求曲线C 1，C 2的标准方程； （2）设直线l 与椭圆C 1交于不同两点M 、N ，且0=?。请问是否存在直线l 过抛物线C 2的焦点F ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

解：（1）由题意（-2，0）一定在椭圆C 1上。 设C 1方程为122

22=+b

y a x ，则2=a 2分 ∴椭圆C 1上任何点的横坐标.2||≤x 所以)2

2,2(也在C 1上，从而12=b

∴C 1的方程为14

22

=+y x 4分从而)32,3(-，（4，-4）一定在C 2上，设C 2的方程为)0(22>=p px y

.2=∴p 即C 2的方程为.42x y = 6分

20 （2）假设直线l 过C 2的焦点F （1，0）。 当l 的斜率不存在时，则).23,1(),23,

1(-N M 此时041431≠=-=?OM ，与已知矛盾。 8分

当l 的斜率存在时设为k ，则l 的方程为)1(-=x k y 代入C 1方程并整理得：

.0448)41(2222=-+-+k x k x k 10分设),(),,(2211y x N y x M ， 则222122214144,418k k x x k k x x +-=+=+

22212122121413)1()1()1(k k x x x x k x k x k y y +-=+--=--= 0=? ， 02121=+∴y y x x ，2,042±==-∴k k 12分

∴存在符合条件的直线l 且方程为).1(2-±=x y 14分 7．（山东省枣庄市2010年3月高三第一次模拟理科试题）（本题满分14分）

抛物线D 以双曲线188:22=-x y C 的焦点)0(),,0(>c c F 为焦点．[来源:学+科+网]

（1）求抛物线D 的标准方程；

（2）过直线1:-=x y l 上的动点P 作抛物线D 的两条切线，切点为A ，B ．求证：直线

AB 过定点Q ，并求出Q 的坐标；

（3）在（2）的条件下，若直线PQ 交抛物线D 于M ，N 两点，求证：|PM|·|QN|=|QM|·|PN| 解：（1）由题意，.21,4181812==+=

c c 所以)21,0(F ，抛物线D 的标准方程为.22y x =……3分

（2）设),1,(),,(),,(002211-x x P y x B y x A 由121|'.',2x y x y y x x x ====因此得

抛物线D 在点A 处的切线方程为.),(11111y x x y x x x y y -=-=-即…………4分 而A 点处的切线过点,1),1,(101000y x x x x x P -=--所以

即.01)1(101=-+-y x x 同理，.01)1(202=-+-y x x

可见，点A ，B 在直线01)1(0=-+-y x x 上．

令1,01,01===-=-y x y x 解得所以，直线AB 过定点Q （1，1）………6分

（3）设),,(),,(),1,(443300y x N y x M x x P -

直线PQ 的方程为.1

112,1)1(11)1(00000-+--=+----=x x x x y x x x y 即 由,,,211122000y y x x x x x y 消去??

???=-+--= 得.01

21)2(20002=-----x x x x x

21 由韦达定理，.1

2,1)2(20430043--=--=

+x x x x x x x …………9分 而|

|||||||||||||||QN QM PN PM PN QM QN PM =??=? 303304403404343403401()(1)()(1)12()()20()

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --?=?--=----?-+-++=*…12分 将1

2,1)2(20430043--=--=+x x x x x x x 代入方程（*）的左边，得 （*）的左边000000021

)2(21)2(214x x x x x x x +--------= 1

224242400200200--++-+--=x x x x x x =0．因而有|PM|·|QN|=|QM|·|PN|．…………14分

8．（山东省枣庄市2010年3月高三第一次模拟文科试题）（本题满分12分）

如图，斜率为1的直线l 过抛物线)0(2:2>=Ωp px y 的焦点F ，与抛物线交于两点A ，B 。

（1） 若|AB|=8，求抛物线Ω的方程； （2）设C 为抛物线弧AB 上的

动点（不包括A ，B 两点），求ABC ?的面积S 的最大值； （3）设P 是抛物线Ω上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 分别交抛物线的准线于M ，N 两点，证明M ，N 两点的纵坐标之积为定值（仅与p 有关）

解：设),,(),,(2211y x B y x A

（1）由条件知直线.2:p x y l -=由??

???=-=px y p x y 2,22消去y ，得.04322=+-p px x ………1分 由题意，判别式.04

4)3(2

2>?--=?p p （不写，不扣分）由韦达定理，.4

,32

2121p x x p x x ==+ 由抛物线的定义，.43)2

()2(||21p p p p x p x AB =+=+++=从而.42,84==p p 所求抛物的方程为.42x y =………3分

（2）设),2(020y p

y C 。由（1）易求得).)21(,2)223(,)21(,2)223((p p B p p A ++-- 则.)21()21(0p y p +<<-…4分点C 到直线02

:=--p y x l 的距离

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/sr3l.html