2017-2018学年贵州省铜仁一中高二（上）期末数学试卷（文科）

2017-2018学年贵州省铜仁一中高二（上）期末数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）

1．（5分）命题“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（ ） A．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 B．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 C．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 D．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2

2．（5分）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）

A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10 3．（5分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（5分）已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（ ） A．

（x≠0）

B．

（x≠0）

C．（x≠0） D．（x≠0）

5．（5分）f（x）=x（2016+lnx），若f′（x0）=2017，则x0=（ ）

第1页（共21页）

A．e2 B．1 C．ln2 D．e

6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（ ）

A．3

B．4

C．5

D．6

的位置关系是（ ）

7．（5分）直线y=kx﹣k+1与椭圆A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定

8．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）

第2页（共21页）

A．

B．

C．

D．

与双曲线

有相同的焦点，则a的值为

9．（5分）已知椭圆

（ ） A．

B．

C．4

D．10

10．（5分）已知函数f（x）=x2﹣ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y+2=0垂直，若数列{A．

B．

}的前n项和为Sn，则S2017的值为（ ）

C．

D．

11．（5分）已知F是椭圆（a＞b＞0）的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x

轴，OP∥AB（O为原点），则该椭圆的离心率是（ ）

A．

B．

C．

D．

12．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）＜2f（x），则（ ） A．f（2）＞e2f（1） B．e2f（0）＞f（1） C．9f（ln2）＜4f（ln3） D．e2f（ln2）＜4f（1）

二、填空题：（每小题5分，共20分.请把答案填在题中横线上）．

第3页（共21页）

13．（5分）若“?x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为 ．

14．（5分）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 ．

15．（5分）已知曲线f（x）=x2+aln（x+1）在原点处的切线方程为y=﹣x，则a= ． 16．（5分）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|= ．

三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（12分）已知p：x2+mx+1=0有两个不等的负根，q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．

18．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2． （1）求a，b的值；

（2）若方程f（x）+m=0在[，e]内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）．

19．（12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

第4页（共21页）

（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；

（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？ 公式和临界值表参考第20题

25周岁以上组 25周岁以下组 合计 生产能手 非生产能手 +

合计 20．（12分）如图所示，F1，F2分别为椭圆C：=1，（a＞b＞0）的左、右两个焦

点，A，B为两个顶点，已知椭圆C上的点（1，）到焦点F1，F2两点的距离之和为4． （1）求椭圆C的方程和焦点坐标；

（2）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求△F1PQ的面积．

21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．

（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；

第5页（共21页）

（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

[选修4-4：极坐标与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为

（θ为参数）．

（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；

（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．

第6页（共21页）

2017-2018学年贵州省铜仁一中高二（上）期末数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）

1．（5分）命题“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（ ） A．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 B．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 C．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 D．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2

【解答】解：“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是“?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2“ 故选：D．

2．（5分）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）

A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10

【解答】解：由图1得样本容量为（3500+2000+4500）×2%=10000×2%=200， 抽取的高中生人数为2000×2%=40人， 则近视人数为40×0.5=20人，

第7页（共21页）

故选：A

3．（5分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，

∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件． 故选：A．

4．（5分）已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（ ） A．

（x≠0）

B．

（x≠0）

C．（x≠0） D．（x≠0）

【解答】解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4）， ∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12， ∵12＞8

∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是椭圆， ∵a=6，c=4 ∴b2=20， ∴椭圆的方程是

第8页（共21页）

故选B．

5．（5分）f（x）=x（2016+lnx），若f′（x0）=2017，则x0=（ ） A．e2

B．1

C．ln2 D．e

【解答】解：∵f（x）=x（2016+lnx）=2016x+xlnx， ∴f′（x）=2016+1+lnx=2017+lnx， ∵f′（x0）=2017，

∴f′（x0）=2017+lnx0=2017， ∴lnx0=0=ln1， ∴x0=1 故选：B．

6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（ ）

第9页（共21页）

A．3

B．4

C．5

D．6

【解答】解：框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值1， 输入n的值后，执行S=1+2×0=1，k=1+1=2； 判断2＞n不成立，执行S=1+2×1=3，k=2+1=3； 判断3＞n不成立，执行S=1+2×3=7，k=3+1=4； 判断4＞n不成立，执行S=1+2×7=15，k=4+1=5．

此时S=15∈（10，20），是输出的值，说明下一步执行判断时判断框中的条件应该满足， 即5＞n满足，所以正整数n的值应为4． 故选：B．

7．（5分）直线y=kx﹣k+1与椭圆A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定

第10页（共21页）

的位置关系是（ ）

【解答】解：直线y=kx﹣k+1可化为y=k（x﹣1）+1，所以直线恒过点（1，1） ∵

∴（1，1）在椭圆的内部 ∴直线y=kx﹣k+1与椭圆故选A．

8．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）

的位置关系是相交

A．

B．

C．

D．

【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2， 则黑色部分的面积S=

，

则对应概率P=故选：B

=，

9．（5分）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值为

第11页（共21页）

（ ） A．

B．

C．4

D．10

，（1分）

【解答】解：双曲线方程化为 由此得a=2，b=c=

，

，0），（

，0）．（7分） ，（3分）

焦点为（﹣

椭圆中，则a2=b2+c2=9+7=16．（11分） 则a的值为4． 故选C．

10．（5分）已知函数f（x）=x2﹣ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y+2=0垂直，若数列{A．

B．

}的前n项和为Sn，则S2017的值为（ ）

C．

D．

【解答】解：∵f（x）=x2﹣ax ∴f′（x）=2x﹣a，

∴y=f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2﹣a， ∵切线l与直线x+3y+2=0垂直，∴2﹣a=3， ∴a=﹣1，f（x）=x2+x， ∴f（n）=n2+n=n（n+1）， ∴

∴S2017=1﹣故选：D．

第12页（共21页）

=﹣

+…+

，

+

﹣

=1﹣

=

．

11．（5分）已知F是椭圆

（a＞b＞0）的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x

轴，OP∥AB（O为原点），则该椭圆的离心率是（ ）

A．

B．

C．

D．

【解答】解：把x=c代入椭圆方程求得y=±∴|PF|=

∵OP∥AB，PF∥OB ∴△PFO∽△ABO ∴

=

，

即∴a=

=，求得b=c

=

c

∴e==故选A

12．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）＜2f（x），则（ ） A．f（2）＞e2f（1） B．e2f（0）＞f（1） C．9f（ln2）＜4f（ln3） D．e2f（ln2）＜4f（1）

【解答】解：令g（x）=

，

第13页（共21页）

则g′（x）=则g（x）=

为减函数，

=＜0，

∴g（0）＞g（1）， 即

＞

，

即e2f（0）＞f（1）， 故选：B

二、填空题：（每小题5分，共20分.请把答案填在题中横线上）． 13．（5分）若“?x∈[0，【解答】解：“?x∈[0，

]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为 1 ． ]，tanx≤m”是真命题，

可得tanx≤1，所以，m≥1， 实数m的最小值为：1． 故答案为：1．

14．（5分）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为

．

【解答】解：设“甲或乙被录用”为事件A，则其对立事件表示“甲乙两人都没有被录取”， 则P（）=

=

，

=

．

因此P（A）=1﹣P（）=1﹣故答案为：

．

第14页（共21页）

15．（5分）已知曲线f（x）=x2+aln（x+1）在原点处的切线方程为y=﹣x，则a= ﹣1 ． 【解答】解：f（x）=x2+aln（x+1）的导数为f′（x）=2x+即有在原点处的切线斜率为a， 由切线的方程为y=﹣x， 可得a=﹣1． 故答案为：﹣1．

16．（5分）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|= 6 ．

【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，

可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：|FN|=2|FM|=2故答案为：6．

三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（12分）已知p：x2+mx+1=0有两个不等的负根，q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．

=6．

，

，

【解答】解：当p为真命题时，，∴m＞2．

当q为真命题时，△=42（m﹣2）2﹣16＜0，∴1＜m＜3．

若“p或q”为真，“p且q”为假，则p、q一真一假，即，p真q假或p假q真，

第15页（共21页）

①若p真q假， ∴

，∴m≥3．

②若p假q真， ∴

，∴1＜m≤2．

综上m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．

18．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2． （1）求a，b的值；

（2）若方程f（x）+m=0在[，e]内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）．

【解答】解：（1）函数f（x）=alnx﹣bx2 则：所以：

，

．

且满足：f（2）=aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2． 解得：a=2，b=1．

（2）由（1）得：f（x）=2lnx﹣x2， 令h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m， 则：

=

，

令h'（x）=0，得x=1（x=﹣1舍去）． 在[

]内，当x∈

时，h′（x）＞0，

所以：h（x）是增函数；

第16页（共21页）

当x∈（1，e]时，h'（x）＜0，∴h（x）是减函数．

则：方程h（x）=0在[，e]内有两个不等实根的充要条件是，

解不等式得：

．

19．（12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；

（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？ 公式和临界值表参考第20题

25周岁以上组 生产能手 15 非生产能手 45 合计 60 第17页（共21页）

25周岁以下组 合计 15 30 25 70 40 100 【解答】解：（1）由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．

所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），记为A1，A2，A3；

25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），记为B1，B2；

从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）， 其中，至少1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）， 故所求的概率P=

．

（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.05=3（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.05=2（人）， 据此可得2×2列联表如下：

25周岁以上组 25周岁以下组 合计 ∴K2=

生产能手 15 15 30 =

非生产能手 45 25 70 合计 60 40 100 ≈1.79＜2.706，

∴没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．

第18页（共21页）

20．（12分）如图所示，F1，F2分别为椭圆C：+=1，（a＞b＞0）的左、右两个焦

点，A，B为两个顶点，已知椭圆C上的点（1，）到焦点F1，F2两点的距离之和为4． （1）求椭圆C的方程和焦点坐标；

（2）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求△F1PQ的面积．

【解答】解：（1）由题设知：2a=4，即a=2，

将点代入椭圆方程得 ，得b2=3

∴c2=a2﹣b2=4﹣3=1， 故椭圆方程为

，

焦点F1、F2的坐标分别为（﹣1，0）和（1，0）． （2）由（1）知∴

，∴PQ所在直线方程为

，

，

由得

设P （x1，y1），Q （x2，y2），则∴∴

第19页（共21页）

，

， ．

21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．

（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；

（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）令h（x）=2x2+ax﹣1， 有得得

， （6分）

=

在[1，2]上恒成立，

（2）假设存在实数a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3，（7分）

当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，∴g（x）无最小值． 当∴当

时，g（x）在

上单调递减，在，a=e2，满足条件．（11分）

时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，

上单调递增

（舍去），

（舍去），

∴f（x）无最小值．（13分）

综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．（14分）

[选修4-4：极坐标与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为

（θ为参数）．

（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；

第20页（共21页）

（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值． 【解答】解：（1）圆C的参数方程为

所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．（2分），

x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4， 化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（5分） （2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为△ABM的面积

所以△ABM面积的最大值为

（10分）

（7分）

（θ为参数）

第21页（共21页）

（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值． 【解答】解：（1）圆C的参数方程为

所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．（2分），

x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4， 化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（5分） （2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为△ABM的面积

所以△ABM面积的最大值为

（10分）

（7分）

（θ为参数）

第21页（共21页）

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