概率论与数理统计及其应用习题解答

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第1章 随机变量及其概率

1，写出下列试验的样本空间：

（1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录

投掷的次数。

（2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，

记录投掷的次数。

（3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4） 抛一枚硬币，若出现H则再抛一次；若出现T，则再抛一颗骰

子，观察出现的各种结果。

解：（1）S?{2,3,4,5,6,7}；（2）S?{2,3,4,?}；（3）S?{H,TH,TTH,TTTH,?}；（4）S?{HH,HT,T1,T2,T3,T4,T5,T6}。

2，设A,B是两个事件，已知P(A)?0.25,P(B)?0.5,P(AB)?0.125,，求

P(A?B),P(AB),P(AB),P[(A?B)(AB)]。

______解：P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.625，

P(AB)?P[(S?A)B]?P(B)?P(AB)?0.375， P(AB)?1?P(AB)?0.875，

___P[(A?B)(AB)]?P[(A?B)(S?AB)]?P(A?B)?P[(A?B)(AB)]?0.625?P(AB)?0.5___

3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。

1

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解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为8?9?9?648，所以所求得概率为

648?0.72 900

4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。

解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有5?5?4?100个。（1）该数是奇数的可能个数为

4?4?3?48个，所以出现奇数的概率为

48?0.48 100（2）该数大于330的可能个数为2?4?5?4?5?4?48，所以该数大于330的概率为

48?0.48 100

5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。

（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。 （2）4只中至少有2只红球。 （3）4只中没有白球。

11C52C4C38?解: （1）所求概率为； 433C12 2

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22314C4C8?C4C8?C420167??（2） 所求概率为； 4495165C12C74357?（3）所求概率为4?。 495165C12

6，一公司向M个销售点分发n(n?M)张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到k(k?n)张提货单的概率。

解：根据题意，n(n?M)张提货单分发给M个销售点的总的可能分法有Mn种，某一特定的销售点得到k(k?n)张提货单的可能分法有

kCn(M?1)n?k种，所以某一特定的销售点得到k(k?n)张提货单的概率为

kCn(M?1)n?k。 nM

7，将3只球（1~3号）随机地放入3只盒子（1~3号）中，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。 （1）求3只球至少有1只配对的概率。 （2）求没有配对的概率。

解：根据题意，将3只球随机地放入3只盒子的总的放法有3！=6种：123，132，213，231，312，321；没有1只配对的放法有2种：312，231。至少有1只配对的放法当然就有6-2=4种。所以 （2）没有配对的概率为?；

（1）至少有1只配对的概率为1??。

3

26131323 概率论与数理统计及其应用习题解答

8，（1）设P(A)?0.5,P(B)?0.3,P(AB)?0.1,，求P(A|B),P(B|A),P(A|A?B),

P(AB|A?B),P(A|AB).

（2）袋中有6只白球，5只红球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。 解：（1）由题意可得P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.7，所以

P(A|B)?P(AB)0.11P(AB)0.11??， P(B|A)???， P(B)0.33P(A)0.55P[A(A?B)]P(A)5??，

P(A?B)P(A?B)7P[AB(A?B)]P(AB)1??，

P(A?B)P(A?B)7P(A|A?B)?P(AB|A?B)?P(A|AB)?P[A(AB)]P(AB)??1。

P(AB)P(AB)（2）设Ai(i?1,2,3,4)表示“第i次取到白球”这一事件，而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为A1A2A3A4，它的概率为（根据乘法公式）

P(A1A2A3A4)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)

?

6754840?????0.0408。 11121312205929，一只盒子装有2只白球，2只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。

解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件A，“另一只

4

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也是红球”记为事件B。则事件A的概率为

22215P(A)?2?????（先红后白，先白后红，先红后红）

43436所求概率为

21?P(AB)431P(B|A)???

5P(A)56

10，一医生根据以往的资料得到下面的讯息，他的病人中有5%的人以为自己患癌症，且确实患癌症；有45%的人以为自己患癌症，但实际上未患癌症；有10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症；最后40%的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症。以A表示事件“一病人以为自己患癌症”，以B表示事件“病人确实患了癌症”，求下列概率。

（1）P(A),P(B)；（2）P(B|A)；（3）P(B|A)；（4）P(A|B)；（5）P(A|B)。 解：（1）根据题意可得

P(A)?P(AB)?P(AB)?5%?45%?50%； P(B)?P(BA)?P(BA)?5%?10%?15%；

（2）根据条件概率公式：P(B|A)?（3）P(B|A)?（4）P(A|B)?（5）P(A|B)?P(AB)5%??0.1； P(A)50%P(BA)10%??0.2；

P(A)1?50%P(AB)45%9??； P(B)1?15P(AB)5%1??。 P(B)15%3 5

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20，一元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性。如图设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5按先串联再并联的方式连接，设元件的可靠性均为p，试求系统的可靠性。 解：设“元件i能够正常工作”记为事件Ai(i?1,2,3,4,5)。 那么系统的可靠性为

P{(A1A2)?(A3)?(A4A5)}?P(A1A2)?P(A3)?P(A4A5)

?P(A1A2A3)?P(A1A2A4A5)?P(A3A4A5)?P(A1A2A3A4A5)

1 3 4 第20题 5 2 ?P(A1)P(A2)?P(A3)?P(A4)P(A5)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A4)P(A5)

?P(A3)P(A4)P(A5)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)

?p2?p?p2?p3?p4?p3?p5 ?p?2p2?2p3?p4?p5

21，用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9，据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4，0.6。今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。（注：本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes公式）

解：设“一产品真含有杂质”记为事件A，“对一产品进行3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质”记为事件B。则要求的概率为P(A|B)，根据Bayes公式可得

P(A|B)?

P(A)P(B|A)

P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)11

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又设“产品被检出含有杂质”记为事件C，根据题意有P(A)?0.4，而且P(C|A)?0.8，P(C|A)?0.9，所以

P(B|A)?C32?0.82?(1?0.8)?0.384；P(B|A)?C32?(1?0.9)2?0.9?0.027

故，

P(A|B)?P(A)P(B|A)0.4?0.3840.1536???0.9046P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)0.4?0.384?0.6?0.0270.1698

（第1章习题解答完毕）

第2章

1，设在某一人群中有40%的人血型是A型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是A型的人为止，以Y记进行验血的次数，求Y的分布律。

解：显然，Y是一个离散型的随机变量，Y取k表明第k个人是A型血而前k此有

随机变量及其分布

?1个人都不是A型血，因

P{Y?k}?0.4?(1?0.4)k?1?0.4?0.6k?1， （k?1,2,3,?）

上式就是随机变量Y的分布律（这是一个几何分布）。

2，水自A处流至B处有3个阀门1，2，3，阀门联接方式如图所示。当信号发出时各阀门以0.8的概率打开，以X表示当信号发出时水自A流至B的通路条数，求X的分布律。设各阀门的工作相互独立。 解：X只能取值0，1，2。设以

Ai(i?1,2,3)记第

i个阀门没有打开这一事件。则

P{X?0}?P{A1(A2?A3)}?P{(A1A2)?(A1A3)}

?P{A1A2}?P{A1A3}?P{A1A2A3}?P(A1)P(A2)?P(A1)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3) ?(1?0.8)2?(1?0.8)2?(1?0.8)3?0.072，

类似有P{X?2}?P{A1(A2A3)}?P(A1A2A3)?0.83?0.512，

P{X?1}?1?P{X?0}?P{X?2}?0.416,综上所述，可得分布律为

X 0 0.072 1 0.512 2 0.416 1 P{X?k}

A 2 3 B 3,据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查15个美国人，以X表示15个人中无任何健康保险的人数（设各人是

12

概率论与数理统计及其应用习题解答

否有健康保险相互独立）。问X服从什么分布？写出分布律。并求下列情况下无任何健康保险的概率：（1）恰有3人；（2）至少有2人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。 解：根据题意，随机变量X服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为

kP(X?k)?C15?0.2k?0.815?k,k?0,1,2,?15。

（1）P(X（2）P(X3?3)?C15?0.23?0.812?0.2501,

?2)?1?P(X?1)?P(X?0)?0.8329；

X?3)?P(X?1)?P(X?2)?P(X?3)?0.6129；

（3）P(1?（4）P(X?5)?1?P(X?5)?P(X?4)?P(X?3)?P(X?2)

?P(X?1)?P(X?0)?0.0611

4，设有一由n个元件组成的系统，记为k/n[G]，这一系统的运行方式是当且仅当n个元件中至少有

k(0?k?n)个元件正常工作时，系统正常工作。现有一3/5[G]系统，它由相互独立的元件组成，设

每个元件的可靠性均为0.9，求这一系统的可靠性。

解：对于3/5[G]系统，当至少有3个元件正常工作时，系统正常工作。而系统中正常工作的元件个数服从二项分布B(5, 0.9)，所以系统正常工作的概率为

X?P(X?k)??Ck?3k?355k5?0.9k?0.15?k?0.99144

5，某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以至产品成为次品，设次品率为0.001，现取8000件产品，用泊松近似，求其中次品数小于7的概率。（设各产品是否为次品相互独立） 解：根据题意，次品数X服从二项分布B(8000, 0.001)，所以

kP(X?7)?P(X?6)??C80000.001k?0.9998000?kk?06

6(8000?0.001)ke?8000?0.0018ke?8?????0.3134（查表得）。

k!k!k?0k?06

6，（1）设一天内到达某港口城市的油船的只数X~?(10)，求P{X（2）已知随机变量X~?(?)，且有P{X解：（1）P{X?15}

?0}?0.5，求P{X?2}。

?15}?1?P{X?15}?1?0.9513?0.0487；

13

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（2）根据P{X?0}?1?P{X?0}?1?e???0.5，得到??ln2。所以

P{X?2}?1?P{X?0}?P{X?1}?1?0.5??e???(1?ln2)/2?0.1534。

7，一电话公司有5名讯息员，各人在t分钟内收到讯息的次数

X~?(2t)（设各人收到讯息与否相互独

立）。（1）求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。（2）求在给定的一分钟内5个讯息员恰有4人未收到讯息的概率。（3）写出在一给定的一分钟内，所有5个讯息员收到相同次数的讯息的概率。 解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数（1）P{XX~?(2)。

?0}?e?2?0.1353；

（2）设在给定的一分钟内5个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用Y表示，则Y~ B(5, 0.1353)，所以

P{Y?4}?C540.13534?(1?0.1353)?0.00145。

（3）每个人收到的讯息次数相同的概率为

?2ke?2???k!k?0?????32ke?10?????????k!?5?

k?0???5

8，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X表示铃响至结束讲解的时间。设X的概率密度为

?kx2f(x)???00?x?1其他， （1）确定k；（2）求P{X1?}；3（3）求P{112（4）求P{X?}。 ?X?}；

423??1解：（1）根据1????f(x)dx??kx2dx?01/332k，得到k?3； 31（2）P{X?}?31?1?3xdx??； ???327??01/233117?1??1?2（3）P{?X?}??3xdx???????；

421/42464????219?2?2（4）P{X?}??3xdx?1????327?3?2/3

9，设随机变量X的概率密度为有实根的概率。

13。

?0.003x2f(x)???00?x?10其他，求t的方程t2?2Xt?5X?4?0 14

概率论与数理统计及其应用习题解答

解：方程t从而要求

2?2Xt?5X?4?0有实根表明??4X2?4(5X?4)?0，即X2?5X?4?0，

X?4或者X?1。因为

1210P{X?1}??0.003xdx?0.001， P{X?4}??0.003x2dx?0.936

04所以方程有实根的概率为0.001+0.936=0.937.

10，设产品的寿命X（以周计）服从瑞利分布，其概率密度为

?x?x2/200?ef(x)??100?0?（1） 求寿命不到一周的概率； （2） 求寿命超过一年的概率；

x?0其他

（3） 已知它的寿命超过20周，求寿命超过26周的条件概率。

1解：（1）P{X?1}????x?x2/200edx?1?e?1/200?0.00498； 1000（2）P{X?52}?x?x2/200?2704/200edx?e?0.000001； ?10052??（3）P{X?26X?20}?P{X?26}?P{X?20}x?x2/200edx?10026x?x2/200edx?10020???e?276/200?0.25158。

11，设实验室的温度X（以

?C计）为随机变量，其概率密度为

?1?(4?x2)?1?x?2f(x)??9

其他?0?（1） 某种化学反应在温度X >1时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生的概率。

（2） 在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的，以Y表示10个实

验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y的分布律。

（3） 求P{Y?2}，P{X?2}。

2解：（1）P{X15?1}??(4?x2)dx?9271；

（2）根据题意Y~B(10,5)，所以其分布律为 2715

概率论与数理统计及其应用习题解答

?5??22?k10?kP(Y?k)?Ck10???27?????27??,k?0,1,2,?10

28（3）

P(Y?2)?C2?5??22?10???27?????27???0.2998，

P(Y?2)?1?P(Y?0)?P(Y?1)?0.5778。

12，（1）设随机变量Y的概率密度为

?0.?1?y?0f(y)??2?0.2?Cy0?y?1?

?0其他试确定常数C，求分布函数F(y)，并求P{0?Y?0.5}，P{Y?0.5|Y?0.1}。

（2）设随机变量X的概率密度为

?1/80?x?f(x)??2?x/82?x?4?

?0其他求分布函数F(x)，并求P{1?x?3}，P{X?1|X?3}。

??01解：（1）根据1?f(y)dy?.2dy?4?C，得到C?1.2。?????01?(0.2?Cy)dy?0.02??y0y??1??0.2dyy??1?1?y?0F(y)???f(y)dy???0y???0.2dy??(0.2?1.2y)dy

??100?y?1?01?0.2dy????1?(0.2?1.2y)dy0y?1??0y??1???0.2(y?1)?1?y?0?0.6y2?0.2y?0.20?y?1 ??1y?1P{0?Y?0.5}?P{Y?0.5}?P{Y?0}?F(0.5)?F(0)?0.45?0.2?0.25； 16

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P{Y?0.5|Y?0.1}?P{Y?0.5}1?P{Y?0.5}1?F(0.5)1?0.45????0.7106P{Y?0.1}1?P{Y?0.1}1?F(0.1)1?0.226

0?x?0x?1dxx?0?0??80?x?2?0?xx?x/80?x?2?21x?（2）F(x)??f(x)dx?? ?2dx??dxx/162?x?4????0882?x?4?2??24x?4?11x?dx?dx??x?4?82?08P{1?x?3}?F(3)?F(1)?9/16?1/8?7/16； P{X?1|X?3}?

13，在集合A={1,2,3,….,n}中取数两次，每次任取一数，作不放回抽样，以X表示第一次取到的数，以Y表示第二次取到的数，求X和Y的联合分布律。并用表格形式写出当n=3时X和Y的联合分布律。 解：根据题意，取两次且不放回抽样的总可能数为n(n-1)，因此

P{?1X?3}F(3)?F(1)??7/9。

P{X?3}F(3)P{X?i,Y?j}?当n取3时，

1，（i?j，且1?i,j?n）

n(n?1)P{X?i,Y?j}?X 1 2 3 1,（i?j，且1?i,j?3）,表格形式为 61 0 1/6 1/6 2 1/6 0 1/6 3 1/6 1/6 0 Y 14,设一加油站有两套用来加油的设备，设备A是加油站的工作人员操作的，设备B是有顾客自己操作的。A，B均有两个加油管。随机取一时刻，A，B正在使用的软管根数分别记为X，Y，它们的联合分布律为

X 0 1 2 （1） 求P{XY 0.10 0.04 0.02 0 0.08 0.20 0.06 1 0.06 0.14 0.30 2 ?1,Y?1}，P{X?1,Y?1}；

（2） 求至少有一根软管在使用的概率； （3） 求P{X?Y}，P{X?Y?2}。

?1,Y?1}=0.2，

17

解：（1）由表直接可得P{X

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P{X?1,Y?1}=0.1+0.08+0.04+0.2=0.42

（2）至少有一根软管在使用的概率为

P{X?Y?1}?1?P{X?0,Y?0}?1?0.1?0.9

（3）P{X?Y}?P{X?Y?0}?P{X?Y?1}?P{X?Y?2}=0.1+0.2+0.3=0.6

P{X?Y?2}?P{X?0,Y?2}?P{X?1,Y?1}?P{X?2,Y?0}?0.28

15,设随机变量（X，Y）的联合概率密度为

?Ce?(2x?4y)，x?0,y?0f(x,y)??

其他0，?试确定常数C，并求P{X解：根据

?2}，P{X?Y}，P{X?Y?1}。

x?0,y?0??f(x,y)dxdy?1，可得

????????1?所以Cx?0,y?0??f(x,y)dxdy??(2x?4y)dy?C?e?2xdx?e?4ydy??dx?Ce0000C8，

?8。

?????(2x?4y)?????2xP{X?2}?x?2??f(x,y)dxdy??dx?8e20x??dy??2e2??dx?4e?4ydy?e?4；

0x???2x?4x?2e(1?e)dx?0P{X?Y}?x?y??f(x,y)dxdy??(2x?4y)dy??dx?8e00?2x?4y?2edx?4edy?002311?x?(2x?4y)11?x?2xP{X?Y?1}?

x?y?1??f(x,y)dxdy??dx?8e00dy??2e0dx?4e?4ydy?(1?e?2)2。

016，设随机变量（X，Y）在由曲线（1） 求（X，Y）的概率密度； （2） 求边缘概率密度

y?x2,y?x2/2,x?1所围成的区域G均匀分布。

fX(x),fY(y)。

解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度

1x2f(x,y)必定是一常数，故由

?6,(x,y)?G1f(x,y)，得到f(x,y)??。

0，其他6?1???f(x,y)dxdy??dxG0x/22?f(x,y)dy? 18

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（2）

?x????6dy?3x2，0?x?1fX(x)??f(x,y)dy??2；

x/2???0,其他?2?2y??6dx，0?y?0.5?y?6(2y?y)，0?y?0.5???1??fY(y)??f(x,y)dx???6dx，0.5?y?1??6(1?y)，0.5?y?1

????y??0，其他?0，其他?? 18，设

X,Y是两个随机变量，它们的联合概率密度为

?x3f(x,y)???x(1?y)?，x?0,y?0， ?2e?0，其他（1） 求(X,Y)关于X的边缘概率密度

fX(x)；

（2） 求条件概率密度fY|X(y|x)，写出当x?0.5时的条件概率密度；

（3） 求条件概率P{Y?1|X?0.5}。

?????x32?x(1?y)x?x解：（1）

fx)??f(x,y)dy????2edy?2e,x?0X(。 ???0?0,其他（2）当x?0时，

fy|x)?f(x,y)fx)???xe?xy,y?0Y|X(。

X(?0,其他特别地，当x?0.5时

f??0.5e?0.5y,y?0Y|X(y|x?0.5)?,。

?0其他????（3）P{Y?1|X?0.5}??f?0.5yY|X(y|x?0.5)dy?dy?e?0.5。

1?0.5e1

19，（1）在第14题中求在X?0的条件下Y的条件分布律；在Y?1的条件下X的条件分布律。（2）在16题中求条件概率密度

fY|X(y|x)，fX|Y(x|y)，fX|Y(x|0.5)。

19

概率论与数理统计及其应用习题解答

解：（1）根据公式P{Y?i|X?0}?P{Y?i,X?0}，得到在X?0的条件下Y的条件分布律

P{X?0}为

Y 0 1 2 P{Y|X?0} 5/12 1/3 1/4 类似地，在Y?1的条件下X的条件分布律为 X 0 1 2 P{X|Y?1} 4/17 10/17 3/17 （2）因为

f(x,y)???6,(x,y)?G，其他。

?0?x2f??6dy?3x2，0?x?1??6(2y?y)，0?y?0.5X(x)???x2/2；fY(y)??6(1?y)，0.5?y?1。?0,其他??0，其他?所以，当0?x?1时，

ff(x,y)?2Y|X(y|x)?2,x2/2?y?x2f??； ?xX(x)?0,其他当0?y?0.5f?f(x,y)??1时，

,y?x?2yX|Y(x|y)f??2y?y；

Y(y)??0,其他当0.5?y?1时，

ff(x,y)??1,y?x?1X|Y(x|y)?f(y)??1?；

?yY?0,其他?1当

y?0.5时，

f|y)???,0.5?x?1X|Y(x。

?1?0.5?0,其他

20，设随机变量（X，Y）在由曲线

y?x2,y?x所围成的区域G均匀分布。

（1） 写出（X，Y）的概率密度； （2） 求边缘概率密度fX(x),fY(y)；

（3） 求条件概率密度

fY|X(y|x)，并写出当x?0.5时的条件概率密度。

20

概率论与数理统计及其应用习题解答

解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度

f(x,y)必定是一常数，故由

1x1???f(x,y)dxdy??dx?f(x,y)dy?1?3,(x,yG0x23f(x,y)，得到f(x,y)??)?G0，其他。 ????x2（2）

f(x)???3dy?3(x?x)，0?x?1X??f(x,y)dy??2；

??x?0,其他?y?????3dx，0?y?12?3(y?y2)，0?y?1f(x,y)dx??y???Y(y)??f?。 ????0，其他??0，其他??（3）当0?x?1时，

ff(x,y)??1,x2?y?xY|X(y|x)?f(x)???x?x2。

X?0,其他特别地，当x?0.5时的条件概率密度为

?4f5)???,1/4?y?2/2Y|X(y|0.?22??0,1。

其他

21，设(X,Y)是二维随机变量，

X的概率密度为

?fx)??2?x?，0?x?2X( ?6?0,其他且当

X?x(0?x?2)时Y的条件概率密度为

?f?1?xy,0?y?1Y|X(y|x)??1?x/2，

??0,其他（1） 求(X,Y)联合概率密度；

（2） 求(X,Y)关于Y的边缘概率密度； （3） 求在Y?y的条件下X的条件概率密度

fX|Y(x|y)。

21

概率论与数理统计及其应用习题解答

解：（1）

?1?xy?f(x,y)?fX(x)fY|X(y|x)??3??0??0?x?2,0?y?1其他；

（2）

?21?xy2dx?(1?y)0?y?1??fY(y)??f(x,y)dx??033???0其他?；

（3）当0?y?1时，

?1?xy,0?x?2f(x,y)?。 fX|Y(x|y)???2(1?y)fY(y)?其他?0,

22，（1）设一离散型随机变量的分布律为

Y pk -1 0 1 ?? 1?? 22又设Y1,Y2是两个相互独立的随机变量，且Y1,Y2都与Y有相同的分布律。求Y1,Y2的联合分布律。并求

P{Y1?Y2}。

（2）问在14题中

X,Y是否相互独立？

解：（1）由相互独立性，可得Y1,Y2的联合分布律为

P{Y1?i,Y2?j}?P{Y1?i}P{Y2?j}，i,j??1,0,1

结果写成表格为 Y1 Y2 -1 0 1 -1 0 1

?2/4 ?(1??)/2 ?2/4 ?(1??)/2 (1??)2 ?2/4 ?(1??)/2 ?2/4 ?(1??)/2 P{Y1?Y2}?P{Y1?Y2??1}?P{Y1?Y2?0}?P{Y1?Y2?1}?(1??)2??2/2。

（2）14题中，求出边缘分布律为

X Y 0 1 2 0.10 0.04 0.02 0 0.08 0.20 0.06 1 0.06 0.14 0.30 2 P{X?i} 0.24 0.38 0.38 22

概率论与数理统计及其应用习题解答

0.16 0.34 0.50 1 P{Y?j} 很显然，P{X?0,Y?0}?P{X?0}P{Y?0}，所以X,Y不是相互独立。

23，设

X,Y是两个相互独立的随机变量，X~U(0,1)，Y的概率密度为

f)???8y0?y?1/2Y(y?0其他

试写出

X,Y的联合概率密度，并求P{X?Y}。

解：根据题意，X的概率密度为

fx)???10?x?1X(

?0其他所以根据独立定，

X,Y的联合概率密度为

f(x,y)?f?8y0?x?1,0?y?1/2X(x)fY(y)???0其他。

1/21P{X?Y}?f(x,y)dxdy?x???y?dx?8ydx?20y3

24，设随机变量X具有分布律 X -2 -1 0 1 3 pk 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y?X2?1的分布律。

解：根据定义立刻得到分布律为

Y 1 2 5 10 pk 1/5 7/30 1/5 11/30

25，设随机变量X~N(0,1)，求U?X的概率密度。

解：设X,U的概率密度分别为fX(x),fU(u)，U的分布函数为FU(u)。则

当u?0时，FU(u)?P{U?u}?P{X?u}?0，fU(u)?0；

当u?0时，FU(u)?P{U?u}?P{X?u}?P{?u?X?u}?2?(u)?1，

23

概率论与数理统计及其应用习题解答

f2u2/2U(u)??F'U(u)??2fX(u)??e?。

?2f???u2/2所以，

?0U(u)??eu??0u?0。

26，（1）设随机变量X的概率密度为

f(x)???e?xx?0?0其他

求Y?X的概率密度。

（2）设随机变量

X~U(?1,1)，求Y?(X?1)/2的概率密度。 （3）设随机变量X~N(0,1)，求Y?X2的概率密度。

解：设

X,Y的概率密度分别为fX(x),fY(y)，分布函数分别为FX(x),FY(y)。则

（1）当y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X?y}?0，fY(y)?0；

当

y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X?y}?P{X?y2}?FX(y2)，

f2

Y(y)??F'2Y(y)??2yfX(y)?2ye?y。

?y2所以，

f???2yey?0Y(y)???0y?0。

（2）此时

fx)???1/2?1?x?1X(

?0其他。因为FY(y)?P{Y?y}?P{(X?1)/2?y}?P{X?2y?1}?FX(2y?1)， 故，

f'Y(y)??FY(y)??2fX(2y?1)?1,?1?2y?1?1，

所以，

f(y)???10?y?1Y?0其他。

（3）当

y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X2?y}?P{?y?X?y}

??(y)??(?y)?2?(y)?1，

24

概率论与数理统计及其应用习题解答

故，

fY(y)??FY(y)??2fX(y)'12y?12?ye?y/2。

所以，

?1e?y/2?fY(y)??2?y?0?y?0其他。

27，设一圆的半径X是随机变量，其概率密度为

?(3x?1)/80?x?2f(x)??0其他?求圆面积A的概率密度。

解：圆面积A??X，设其概率密度和分布函数分别为g(y),G(y)。则

2G(y)?P{?X2?y}?P{X?g(y)??G(y)??'y/?}?FX(y/?)， 故

12?y?3y??8??3y??16?y,0?y/??2

12?yf(y/?)??3y???所以，g(y)??16?y?0?

0?y?4?其他。

28，设随机变量X,Y相互独立，且都服从正态分布N(0,?2)，验证Z?X2?Y2的概率密度为

?z?z2/(2?2)?efZ(z)???2?0?解：因为随机变量X,Y相互独立，所以它们的联合概率密度为

z?0其他。

f(x,y)?先求分布函数，当z12??2e?x2?y22?2。

?0时，FZ(z)?P{Z?z}?P{X2?Y2?z2}

2?z?2x?y?z??2f(x,y)dxdy??d??21022??0e?r22?2rdr?1?e?z22?2，

25

概率论与数理统计及其应用习题解答

故，

?z?z2/(2?2)?e'fZ(z)??FZ(z)????2?0?z?0其他。

29，设随机变量X~U(?1,1)，随机变量Y具有概率密度fY(y)?1，???y???，?(1?y2)设X,Y相互独立，求Z?X?Y的概率密度。

解：因为

f??1/2?1?x?1X(x)?，所以

?0其他Z?X?Y的概率密度为??z?1fZ(z)?Y(y)fX(z?y)dy???f?z?11?12?(1?y2)dy?2??arctan(z?1)?arctan(z?1)?。

30随机变量X和Y的概率密度分别为

??e??x2?yfx)??x?0X(，

f(y)????ye?y?0?0其他Y?0其他

??0，X,Y相互独立。求Z?X?Y的概率密度。

解： 根据卷积公式，得

??zfZ(z)?fY(y)fX(z?y)dy?ye??zdy??3e??z，z?0。

?????302z2所以Z?X?Y的概率密度为

?f)???32??z?2zez?0Y(y。

??0其他

31，设随机变量X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，且X,Y相互独立，求Z?X?Y的概率密度。

解：因为X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，所以

fx)???10?x?1X(?0其他，

f(y)???10?x?1Y?0其他

根据卷积公式，得

?1??1dy,z?1???z?1?z?2?z,1?z?2f?Z(z)??fY(y)fX(z?y)dy???1dy,0?z?1??z,0?z?1 。

???0?其他?0,其他?0,??

26

概率论与数理统计及其应用习题解答

32，设随机变量X,Y相互独立，它们的联合概率密度为

?3?3xx?0,0?y?2?e， f(x,y)??2其他??0，（1） 求边缘概率密度（2） 求ZfX(x),fY(y)。

?max{X,Y}的分布函数。

Z?1}。

（3） 求概率P{1/2?解：（1）

?2?3x??3e/2dy?3e?3x，x?0fX(x)??f(x,y)dy??0；

???0,其他??????3x??3e/2dx，0?y?2?1/2，0?y?2??0???fY(y)??f(x,y)dx????。

???0，?0，其他其他????（2）Z?max{X,Y}的分布函数为

FZ(z)?P{Z?z}?P{max{X,Y}?z}?P{X?z,Y?z}?P{X?z}P{Y?z}?FX(z)FY(z)y?0?00,x?0??F(y)?FX(x)??； ?y/20?y?2Y?3x?1?e,x?0?1y?2?因为 ，

z?0?0,?z?3z,0?z?2。 所以，FZ(z)?FX(z)FY(z)??1?e?2?3zz?2?1?e,??（3）P{1/2?

Z?1}?FZ(1)?FZ(1/2)?11?31?3/2?e?e。 42433，（1）一条绳子长为2l，将它随机地分为两段，以X表示短的一段的长度，写出

X的概率密度。

（2）两条绳子长度均为2l，将它们独立地各自分成两段，以Y表示四段绳子中最短的一段的长度，验证

Y的概率密度为

?2(l?y)/l2，0?y?l?。 fY(y)???0，其他?

27

概率论与数理统计及其应用习题解答

解：（1）根据题意，随机变量X~U(0,l)，所以概率密度为

?1?0?x?lfX(x)??l?其他?0（2）设这两条绳子被分成两段以后较短的那一段分别记为

。

X1,X2，则它们都在(0,l)上服从均匀分布。

Y?min{X1,X2}，其分布函数为

F)?1??1?F???yY(yX1(y)1?FX2(y)?1?(1?l)2,0?y?l，

所以密度函数为

?2(l?y)/l2，0?y?lfy)?'??Y(y)??FY(?。 ??0，其他

34，设随机变量X和Y的联合分布律为 （1） 求U?max(X,Y)的分布律。 （2） 求V?min(X,Y)的分布律。

（3） 求W?X?Y的分布律。

X Y 0 1 2 0 1/12 1/6 1/24 1 1/4 1/4 1/40 2 1/8 1/20 0 3 1/120 0 0 解：（1）U?max(X,Y)的分布律为

P{U?k}?P{max(X,Y)?k}?P{X?k,Y?k}?P{Y?k,X?k},k?0,1,2,3如，P{U?2}?P{X?2,Y?2}?P{Y?2,X?2}

?1/8?1/20?0?1/24?1/40?29/120，

其余类似。结果写成表格形式为

U 0 1 2 3 pk 1/12 2/3 29/120 1/120 （2）V?min(X,Y)的分布律为

28

概率论与数理统计及其应用习题解答

P{V?k}?P{min(X,Y)?k}?P{X?k,Y?k}?P{Y?k,X?k},k?0,1,2

如，P{V?2}?P{X?2,Y?2}?P{Y?2,X?2}?0?0?0，

其余类似。结果写成表格形式为

U 0 1 27/40 13/40 pk （3）W?X?Y的分布律为

kP{W?k}?P{X?Y?k}??P{X?i,Y?k?i},k?0,1,2,3,4,5

i?0如，P{W?2}??P{X?i,Y?2?i}?1/24?1/4?1/8?5/12，

i?02其余类似。结果写成表格形式为

W pk

0 1 2 3 1/12 5/12 5/12 1/12 （第2章习题解答完毕）

第3章 随机变量的数字特征

1，解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。它

们的字母数分别为4，5，6，7，7。所以分布律为

X pk 4 5 6 7 1/5 1/5 1/5 2/5

1E(X)?(4?5?6?7?7)?29/5.

5

2，解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。这时，字母数更

29

概率论与数理统计及其应用习题解答

多的单词更有可能被取到。分布律为

Y pk 4 5 6 7 4/29 5/29 6/29 14/29

E(Y)?1(4?4?5?5?6?6?7?14)?175/29. 29

3，解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为

31221C10C2C10C2C10691p0?3?， p1??p??， 。 2332222C1211C12C12所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为

E?6911?0??1??2?(台)。 1122222

4，解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。分布律为

Y pk 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12

11111111111 66666363636363636得分的数学期望为

E?1149(1?2?3?4?5)?(7?8?9?10?11?12)?(点)。 63612

5，解：（1）根据X~?(?)，可得P{X?5}??5e??5!??6e??6!?P{X?6}，因

此计算得到??6，即X~?(6)。所以E(X)=6。

30

概率论与数理统计及其应用习题解答

（2）根据题意，按照数学期望的公式可得

E(X)??(?1)k?1??k?1kP{X?k}??(?1)k?1??k?166k22?2?k?n?(?1)k?1k?1??16ln2?2， k?xn因此期望存在。（利用了ln(1?x)??(?1)（不符书上答案） ,?1?x?1）

n?1n?0?

6，解：（1）一天的平均耗水量为

x2e?x/3E(X)??xf(x)dx??dx?9??0????????x2?d(e?x/3)?0??30??2xe?x/3dx??30????2xd(e0?x/3) ?0??2e?x/3dx?6（百万升）。

0（2）这种动物的平均寿命为

25E(X)??xdF(x)??xd(1?2)?x??5??????50dx?10（年）。 ?25x

7，解：E(X)??xf(x)dx??42x(1?x)dx???7x2d?(1?x)6?

25??00??11??7x(1?x)2?61???14x?(1?x)?dx???2xd?(1?x)???2x(1?x)67000117101??2(1?x)7dx0=1/4。

??28，解：E(X)??xf(x)dx??2x(1?1/x2)dx?(x2?2lnx)1?3?2ln2。

??12

3x3x9，解：E(X)??xf(x)dx??(1?x)2dx??(1?x)2dx

22???10??01 31

概率论与数理统计及其应用习题解答

3x3x??(1?x)2dx??(1?x)2dx?0。

2210（对第一个积分进行变量代换x??y）

01

10， 解： E(sin?X?k??k)???sin?C4?pk?(1?p)4?k? 22?k?0?413（不符书上答案） ?C4?p1?(1?p)3?C4?p3?(1?p)1?4p(1?p)(1?2p?2p2)。

?1/a,0?x?a11，解：R的概率密度函数为f(x)??，所以

0,其他?aE(V)??0?r31?a3?dr?。 6a24

??42?0.3x??12，解：E[g(X)]??g(x)f(x)dx??x?0.3e??0dx??16?0.3e?0.3xdx

41?(200?584e?1.2)（不符书上答案） 9

x?0?0,?13，解：因为Xi(i?1,2,?n)的分布函数为F(x)??x,0?x?1，所以可以

?1,x?1?求出Y1,Yn的分布函数为

0,y?0y?0??0,??Fmin(y)??1?(1?y)n,0?y?1， Fmax(y)??yn,0?y?1。

??1,1,y?1y?1??Y1,Yn的密度函数为

?n(1?y)n?1,0?y?1?nyn?1,0?y?1fmin(y)??，fmax(y)??。

0,其他0,其他??所以Y1,Yn的数学期望为

32

概率论与数理统计及其应用习题解答

??1n?111n?1E(Y1)??yfmin(y)dy??ny(1?y)dy??n(1?y)dy??n(1?y)ndy?1， ??000n?1??1E(Y?yfdy??nynnn)?max(y)dy???0n?1。

14，解：求出边缘分布律如下

X Y 0 1 2 P{X?k} 0 3/28 9/28 3/28 15/28 1 3/14 3/14 0 12/28 2 1/28 0 0 1/28 P{Y?k} 10/28 15/28 3/28 1 22E(X)??kP{X?k}?1/2， E(Y)??kP{Y?k}?3/4，

k?0k?022E(XY)???ijP{X?i}P{Y?j}?1?1?3/14?3/14，

j?0i?022E(X?Y)???(i?j)P{X?i}P{Y?j}??7/28??1/4，

j?0i?022E(3X?2Y)???(3i?2j)P{X?i}P{Y?j}?84/28?3。

j?0i?0

15，解：22E[min(X,Y)]???min(i,j)P{X?i}P{Y?j}?1?3/14?3/14，

j?0i?022E[Y/(X?1)]???ji?1P{X?i}P{Y?j}?18/28?9/14。 j?0i?0

33

概率论与数理统计及其应用习题解答

11?y16，解：E(X)?E(Y)?R?R2xf(x,y)dxdy?dy24xydx?2/5， ????0011?y2R?R??yf(x,y)dxdy??dy?24y0011?yxdx?2/5，

E(XY)?R?R22xyf(x,y)dxdy?dy24x????ydx?2/15。

00

17，解：根据题意，可得利润的分布律为

Y pk 2000 1000 0 -1000 -2000 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 因此，

E(Y)?2000?0.2?1000?0.3?1000?0.1?2000?0.1?400（元） E(Y2)?20002?0.2?10002?0.3?(?1000)2?0.1?(?2000)2?0.1?1600000 D(Y)?E(Y2)??E(Y)??1440000。

2

????18解E(X)??xf(x)dx???????0x22e?x2/(2?2)dx??xe?x2/(2?2)??0????e?x0??02/(2?2)dx???2，

??2E(X)?2???xf(x)dx???0x32e?x2/(2?2)dx??xe2?x2/(2?2)????2xe?x02/(2?2)dx??2?e2?x2/(2?2)??0?2?2，

D(X)?E(X2)??E(X)??(2??/2)?2，D(X)?(2??/2)?。

2??（本题积分利用了e0??x2/2dx??2，这个结果可以从标准正态分布密度函数中得到）

19，解：E(X)??kP{X?k}?p?k(1?p)k?1?p?k?1k?1????11?， 2pp34

概率论与数理统计及其应用习题解答

E(X)??kP{X?k}?p?k(1?p)222k?1k?1????k?1??????k?1?p??k(k?1)(1?p)??k(1?p)k?1?k?1?k?1? ?p(2121， ?)??p3p2p2p所以，D(X)?E(X2)??E(X)?2?111?p??2。 2ppp??本题利用了幂级数求和中先积分再求导的方法。设s(p)??k(1?p)k?1，

k?1?p?1k??1。类似的，设则?s(p)dp???(1?p)?1?，所以s(p)??s(p)dp???pp2k?11?1???p'S(p)??k(k?1)(1?p)k?1??k?1(1?p)2，则经过两次积分以后可得到，在经过

p两次求导得到S(p)?

2。 3pk?k20，解：（1）当k?1时，E(X)??xf(x)dx??kdx?k?k???x????????1k?dx?。 k?k?1?x（2）当k?1时，E(X)???dx???，即E(X)不存在。

?1xk?kk?2（3），当k?2时，E(X)??xf(x)dx??k?1dx?，

k?2???x22????所以，D(X)?E(X)??E(X)?22?1k?k?2?k????。 2?2k?2(k?1)(k?1)(k?2)??22?2dx???，所以D(X)不存在。（4）当k?2时，E(X)??xf(x)dx?? x???22????

21，解：（1）根据14题中结果，得到

Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?3/14?1/2?3/4??9/56；

35

概率论与数理统计及其应用习题解答

因为E(X)??kP{X?k}?4/7， E(Y)??k2P{Y?k}?27/28，

222k?0k?022所以D(X)?E(X2)??E(X)?2?9/28，D(Y)?E(Y2)??E(Y)?2?45/112， ?XY?Co(vX,Y)D(X)D(Y)??5。 5（2）根据16题结果可得：

Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?2/15??2/5???2/75；

211?y因为 E(X2)?E(Y)?2R?R??x22f(x,y)dxdy??dy?24x3ydx?1/5，

0011?yR?R3yf(x,y)dxdy?dy24y????xdx?1/5，

00所以，D(X)?E(X2)??E(X)?2?1/25，D(Y)?E(Y2)??E(Y)?2?1/25

D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)?2/75，

?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)??2。 3（3）在第2章14题中，由以下结果

X 0 1 2 P{Y?k} Y 0 0.10 0.04 0.02 0.16 1 0.08 0.20 0.06 0.34 2 0.06 0.14 0.30 0.50 P{X?k} 0.24 0.38 0.38 1 得到，E(X)?1.14，E(Y)?1.34，E(XY)?1.8，E(X2)?1.9，E(Y2)?2.34， 所以，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0.2724；

D(X)?E(X2)??E(X)??0.6004，D(Y)?E(Y2)??E(Y)??0.5444,

22 36

概率论与数理统计及其应用习题解答

?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)?0.2724?0.4765. 0.571722，解：根据题意有 D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)

?D(X)?D(Y)?2?XYD(X)D(Y)?9?4?2?(?1/6)?6?11。

D(X?3Y?4)?D(X?4)?D(3Y)?2Cov(X?4,3Y)

?D(X)?9D(Y)?6Cov(X,Y)?9?36?6?(?1/6)?6?51。

23，解：（1）因为X1,X2,X3相互独立，所以

EX1(X2?4X3)2?E(X1)E[(X2?4X3)2]?E[X2?8X2X3?16X3]

?E[X2?8X2X3?16X3]?E[X2]?8E[X2]E[X3]?16E[X3]

2222?2?222?1?0?16?17。

（2）根据题意，可得E(Xi)?1/2,E(Xi2)?D(Xi)??E(Xi)?2?1/3， i?1,2,3。

E(X1?2X2?X3)2?E[X1?4X2?X3?4X1X2?2X1X3?4X3X2]

?E[X1]?4E[X2]?E[X3]?4E[X1]E[X2]?2E[X1]E[X3]?4E[X3]E[X2] ?222??22214111???1??1?。 333221x24，解：因为 E(X)?E(Y)?R?R??xf(x,y)dxdy??dx?xdy?2/3，

0?x1xR?R??yf(x,y)dxdy??dx?ydy?0，

0?x1xE(XY)?R?R??xyf(x,y)dxdy??dx?xydy?0，

0?x所以，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0， 即，验证了X,Y不相关。

?x?1dy?2x，0?x?1又因为，fX(x)??f(x,y)dy????x；

???0,其他??? 37

概率论与数理统计及其应用习题解答

?1??1dx，?1?y?0??y?1?y，0?y?0.5??1???fY(y)??f(x,y)dx???1dx，0?y?1??1?y，0.5?y?1，

???y?0，其他??0，其他???显然，f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以验证了X,Y不是相互独立的。 25，解：引入随机变量定义如下

?1第i个球落入第i个盒子Xi??

0第i个球未落入第i个盒子?则总的配对数X??Xi，而且因为P{Xi?1}?，所以，X~N(n,)。

i?1n1n1n故所以，E(X)?n??1。

1n第4章 正态分布

1，（1）设Z~N(0,1)，求P{Z?1.24}， P{1.24?Z?2.37}，P{?2.37?Z??1.24}；（2）设Z~N(0,1)，且P{Z?a}?0.9147，P{Z?b}?0.0526，求a,b。 解：（1）P{Z?1.24}??(1.24)?0.8925，

P{1.24?Z?2.37}?P{Z?2.37}?P{Z?1.24}??(2.37)??(1.24)?0.9911?0.8925?0.0986P{?2.37?Z??1.24}??(?1.24)??(?2.37)?[1??(1.24)]?[1??(2.37)]?0.0986

（2）P{Z?a}?0.9147??(1.37)，所以a?1.37；

所以P{Z?b}?0.9474??(1.62)，即b?1.62。 P{Z?b}?0.0526?1?P{Z?b}，

38

概率论与数理统计及其应用习题解答

2，设X~N(3,16)，求P{4?X?8}，P{0?X?5}。 解：因为X~N(3,16)，所以

X?3~N(0,1)。 44?3X?38?3P{4?X?8}?P{??}??(1.25)??(0.25)?0.8944?0.5987?0.29574445?30?3P{0?X?5}??()??()?0.6915?(1?0.7734)?0.4649。

44

3，（1）设X~N(25,36)，试确定C，使得P{X?25?C}?0.9544。 （2）设X~N(3,4)，试确定C，使得P{X?C}?0.95。

解：（1）因为P{X?25?C}?P{?C?X?25?C}??()??(?)?2?()?1

CC?2.0，C?12.0。 66X?3C?3（2）因为~N(0,1)，所以P{X?C}?1??()?0.95，即

22C?33?C3?C?()?0.05,或者?()?0.95，从而?1.645，C??0.29。

222C6C6C6所以得到?()?0.9772,即

4，已知美国新生儿的体重（以g计）X~N(3315,5752)。 （1） 求P{2587.75?X?4390.25}；

（2） 在新生儿中独立地选25个，以Y表示25个新生儿的体重小

于2719的个数，求P{Y?4}。

X?3315~N(0,1)。 5754390.25?33152587.75?3315（1）P{2587.75?X?4390.25}??()??()

575575解：根据题意可得

??(1.87)??(?1.2648)?0.9693?(1?0.8962)?0.8655（或0.8673） （2）P{X?2719}??(2719?3315)?1??(1.04)?0.1492， 575根据题意Y~B(25,0.1492)，所以

kP{Y?4}??C25?0.1492k?0.850825?k?0.6664。

k?04 39

概率论与数理统计及其应用习题解答

5，设洗衣机的寿命（以年计）X~N(6.4,2.3)，一洗衣机已使用了5年，求其寿命至少为8年的条件概率。 解：所要求的概率为

P{X?8}P{X?8|X?5}??P{X?5}1??(1.06)1?0.85542.3???0.17615?6.41??(?0.92)0.82121??()2.31??(8?6.4)6，一电路要求装两只设计值为12欧的电阻器，而实际上装的电阻器的电阻值（以欧计）服从均值为11.9欧，标准差为0.2欧的正态分布。求（1）两只电阻器的电阻值都在11.7欧和12.3欧之间的概率；（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率（设两电阻器的电阻值相互独立）

解：设两个电阻器的电阻值分别记为随机变量X,Y,则

X~N(11.9,0.04)，Y~N(11.9,0.04)

（1）P{11.7?X?12.3,11.7?Y?12.3}?P{11.7?X?12.3}P{11.7?Y?12.3}

12.3?11.911.7?11.9?2?()??()????(2)??(?1)?0.81852?0.6699； ????0.20.2??2（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率为

?12.4?11.9?1?P{X?12.4,Y?12.4}?1?P{X?12.4}P{Y?12.4}?1???()?0.2??2 ?1?0.99382?0.0124。

7，一工厂生产的某种元件的寿命X（以小时计）服从均值??160，均方差为?的正态分布，若要求P{120?X?200}?0.80，允许?最大

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