2022全国高考理科数学试题和答案解析

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2018年全国普通高等学校招生全国统一考试

（全国一卷）理科数学

一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。）

1、设z=，则∣z ∣=（ ）

A.0

B.

C.1

D. 2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则 A =（ ）

A 、{x|-1

B 、{x|-1≤x ≤2}

C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}

D 、{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2}

3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农

村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是（ ）

A. 新农村建设后，种植收入减少

B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

4、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3 = S 2+ S 4，a 1 =2，则a 5 =（ ）

A 、-12

B 、-10

C 、10

D 、12

5、设函数f （x ）=x 3+（a-1）x 2+ax .若f （x ）为奇函数，则曲线y= f （x ）在点（0，0）处的切线

方程为（

） A.y= -2x B.y= -x C.y=2x D.y=x

6、在?ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=（ ）

建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例

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. A. - B. - C. + D. +

7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N 的路径中，最短路径的长

度为（）

A. 2

B. 2

C. 3

D. 2

8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M ，N两点，则·=( )

A.5

B.6

C.7

D.8

9.已知函数f（x）= g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是

( )

A. [-1，0）

B. [0，+∞）

C. [-1，+∞）

D. [1，+∞）

10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分

别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，

则( )

A. p1=p2

B. p1=p3

C. p2=p3

D. p1=p2+p3

11.已知双曲线C： - y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交

点分别为M，N. 若△OMN 为直角三角形，则∣MN ∣=( )

A. B.3 C. D.4

12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面

精品文档积的最大值为（）

A. B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若x，y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为 .

14.记S n为数列｛a n｝的前n项和. 若S n = 2a n+1，则S6= .

15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有

种.（用数字填写答案）

16.已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是 .

三.解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5.

（1）求cos∠ADB；

（2）若DC =，求BC.

18.（12分）

如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把?DFC折起，使点C 到达点P的位置，且PF⊥BF .

（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；

（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

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19.（12分）

设椭圆C： + y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）. （1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

20、（12分）

某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件产品作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为P （0

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（P），求f（P）的最大值点。

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为P的值，已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔

.

精品文档偿费用。

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

21、（12分）

已知函数.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）存在两个极值点x1 , x2 , 证明： .

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C?的方程为y=k∣x∣+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立.

精品文档极坐标系，曲线C?的极坐标方程为2+2cos -3=0.

（1）求C?的直角坐标方程:

（2）若C?与C?有且仅有三个公共点，求C?的方程.

23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知f（x）=∣x+1∣-∣ax-1∣.

（1）当a=1时，求不等式f（x）﹥1的解集；

（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）﹥x成立，求a的取值范围.

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2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题参考答案

一、选择题

1．C

2．B 3．A 4．B 5．D 6．A 7．B

8．D 9．C 10．A 11．B 12．A

二、填空题

13．6

14．63- 15．16 16

．

三、解答题

17．解：

（1）在ABD △中，由正弦定理得

sin sin BD AB A ADB =∠∠. 由题设知，52,sin 45sin ADB =?∠

所以sin ADB ∠.

. 由题设知，90ADB ∠

（2）由题设及（1）知，2cos sin BDC ADB ∠=∠=

. 在BCD △中，由余弦定理得

2222cos 2258252225.BC BD DC BD DC BDC

=+-???∠=+-???

=

所以5BC =.

18．解： （1）由已知可得，BF PF ⊥，BF EF ⊥，所以BF ⊥平面PEF . 又BF ?平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD .

（2）作PH EF ⊥，垂足为H . 由（1）得，PH ⊥平面ABFD .

以H 为坐标原点，HF u u u r 的方向为y 轴正方向，||BF uu u r 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -.

由（1）可得，DE PE ⊥. 又2DP =，1DE =，所以3PE =. 又1PF =，2EF =，故PE PF ⊥. 可得3PH =，32EH =.

则(0,0,0)H ，3(0,0,)P , 3(1,,0)2

D --，33(1,,)2DP =uu u r ，3(0,0,)HP =uu u r 为平面ABFD 的法向量. 设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则 334sin ||3||||

HP DP HP DP θ?===uu u r uu u r uu u r uu u r . 所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为

3.

19．解：

（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为1x =. 由已知可得，点A 的坐标为2(1,

)或2(1,)-. 所以AM 的方程为22y x =-+或22y x =-.

（2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=?. 当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠. 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x <，22x <，直线MA ，MB 的斜率之和为121222MA MB y y k k x x +=+--.

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由11y kx k =-，22y kx k =-得

12121223()4(2)(2)

MA MB kx x k x x k

k k x x -+++=

--.

将(1)y k x =-代入2

212

x y +=得

2222(21)4220k x k x k +-+-=.

所以，22121222

422

,2121

k k x x x x k k -+==++. 则3331212244128423()4021

k k k k k

kx x k x x k k --++-++==+.

从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补. 所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.

20．解：

（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为2218

20()C (1)f p p p =-. 因此 218217217

2020()C [2(1)18(1)]2C (1)(110)f p p p p p p p p '=---=--.

令()0f p '=，得0.1p =. 当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>；当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<.所以()f p 的最大值点为00.1p =.

（2）由（1）知，0.1p =.

（ⅰ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)Y B :，20225X Y =?+，即4025X Y =+.

所以(4025)4025490EX E Y EY =+=+=.

（ⅱ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于400EX >，故应该对余下的产品作检验.

21．解：

（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，222

11

()1a x ax f x x x x -+'=--+=-.

（ⅰ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.

（ⅱ）若2a >，令()0f x '=

得，x =

或x

当)x ∈+∞U 时，()0f x '<；

当x ∈时，()0f x '>. 所以()f x

在

，)+∞

单调递减，在单调递增.

（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.

由于()f x 的两个极值点1x ，2x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >. 由于

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.

121212212121212

22

()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a

x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以

1212()()2f x f x a x x -<--等价于222

1

2ln 0x x x -+<.

设函数1

()2ln g x x x x

=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <. 所以2221

2ln x x x -+<0，即1212

()()2f x f x a x x -<--.

22．解：

（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为

22(1)4x y ++=. （2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆.

由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线. 记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l . 由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点.

当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2

2=，故4

3k =-或0k =. 经检验，当

0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4

3

k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点.

当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，

2=，

故0k =或4

3

k =. 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4

3

k =

时，2l 与2C 没有公共点. 综上，所求1C 的方程为4

||23

y x =-+.

23．解：

（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,

11,2, 1.

x f x x x x --??

=-<

≤≥ 故不等式()1f x >的解集为1

{|}2

x x >.

（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立. 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥； 若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以2

1a

≥，故02a <≤. 综上，a 的取值范围为(0,2].

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