第1届国际数学奥林匹克(IMO)

第1届国际数学奥林匹克(IMO)

1. 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。

2. 设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： (a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。

3. a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程

a cosx + b cos x + c = 0,

试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。

4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。

5. 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， (a.) 求证 AF、BC相交于N点；

（b.) 求证 不论点M如何选取 直线MN 都通过一定点 S； (c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。

6. 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。

2

第2届国际数学奥林匹克(IMO)

1. 找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。 2. 寻找使下式成立的实数x：

4x2/(1 - √(1 + 2x))2 < 2x + 9

3. 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令?为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：

tan ? = 4nh/(an2 - a).

4. 已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。

5. 正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。

a. 求XY中点的轨迹；

b. 求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ的点Z的轨迹。

6. 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。令V1 为圆锥的体积，V2 为圆柱的体积。

(a). 求证：V1 不等于 V2 ；

(b). 求V1/V2 的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。

7. 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令AB=a,CD=c，梯形的高为 h。X点在对称轴上并使得 角BXC、AXD都是直角。试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。

第3届国际数学奥林匹克(IMO)

1. 设a、b是常数，解方程组

x + y + z = a; x + y + z = b; xy=z

并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？ 2. 设a、b、c是某三角形的边，A 是其面积，求证：

a2 + b2 + c2 >= 4√3 A.

并求出等号何时成立。

3. 解方程 cosnx - sinnx = 1, 其中n是一个自然数。

4. P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。

5. 作三角形ABC使得 AC=b, AB=c，锐角AMB = ?,其中M是线断BC的中点。求证这个三角形存在的充要条件是

b tan(?/2) <= c < b.

又问上式何时等号成立。

2

2

2

2

2

6. 三个不共线的点A、B、C，平面p不平行于ABC，并且A、B、C在p的同一侧。在p上任意取三个点A', B', C'， A'', B'', C''设分别是边AA', BB', CC'的中点，O是三角形A''B''C''的重心。问，当A',B',C'变化时，O的轨迹是什么？

第4届国际数学奥林匹克(IMO)

1. 找出具有下列各性质的最小正整数 n：它的最后一位数字是6，如果把最后的6去掉并放在最前面所得到的数是原来数的4被。

2. 试找出满足下列不等式的所有实数 x：

√(3-x)- √(x+1) > 1/2.

3. 正方体 ABCDA'B'C'D'（ABCD、A'B'C'D'分别是上下底）。一点 x沿着正方形ABCD的边界以方向ABCDA作匀速运动；一点Y以同样的速度沿着正方形B'C'CB的边界以方向B'C'CBB'运动。点X、Y在同一时刻分别从点A、B'开始运动。求线断XY的中点的轨迹。 4. 解方程cos2x + cos22x + cos23x = 1。

5. 在圆K上有三个不同的点A、B、C。试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。 6. 一个等腰三角形，设R为其外接圆半径，内切圆半径为 r，求证这两个圆的圆心的距离是√(R(R-2r))。 7. 求证：正四面体有5个不同的球，每个球都与这六条边或其延长线相切； 反过来，如果一个四面体有5个这样的球，则它必然是正四面体。

第5届国际数学奥林匹克(IMO)

1. 找出下列方程的所有实数根（其中 p是实参数）：

√(x2-p)+2√(x2-1) = x.

2. 给定一点A及线断BC，设空间中一点P使得存在线段BC上有一点X满足 角APX是直角，试求出所有这样的点P的轨迹。

3. 在一个 n边形中，所有内角都相等，边长依次是

a1 >= a2 >= ... >= an，

求证：所有边长都相等。

4. 设 y是一个参数，试找出方程组 xi + xi+2 = y xi+1 (i = 1, ... , 5)的所有解 x1, ... , x5。 5. 求证

cos pi/7 - cos 2pi/7 + cos 3pi/7 = 1/2.

6. 五个同学A、B、C、D、E参加竞赛，一种猜测说比赛结果的名次依然是ABCDE。但是实际上没有一位同学的名次被猜中，而且预测中名次相邻的同学也没有真的相邻（例如，C、D两位同学名次不是(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)中的任何一种）。还有一种猜测说结果会是DAECB的顺序。实际上是恰好有两个同学所得的名次与预测的一样；而且有两对同学（4个不同的同学）的名次像预测中的一样是相连。试讨论最后的名次如何？

第6届国际数学奥林匹克(IMO)

1. (a) 求所有正整数 n 使得 2n - 1 能被 7整除； (b) 求证不存在正整数 n 使得 2 + 1 能被 7 整除。 2. 假设a、b、c是某三角形的三边长，求证：

a2(b + c - a) + b2(c + a - b) + c2(a + b - c) <= 3abc.

3. 三角形ABC的三边长为别为a、b、c。分别平行于ABC的各边作三角形ABC内切圆的切线，每条切线都在ABC中又切出一个小三角形，再在每个这样的小三角形中作内切圆，求这四个内切圆的面积之和（用a,b,c表示）。 4.十七个人互相通信，每一个人都和其他人写信。在他们的信上一共讨论有三个不同的话题，每两个人只讨论一个话题，求证：这些人当中至少有三个人他们所讨论的话题是一样的。

5.平面上有五个点，任意两点的连线都不平行，也不垂直，现从每一个点向其他四点两两连接的直线作垂线，试求出所有这些垂线的交点的最大数目。

6.四面体ABCD的中心是D0 ，分别过A、B、C作 DD0 的平行线，这些线分别交平面BCD、CAD、ABD于点 A0、 B0、 C0，求证：ABCD的体积是A0B0C0D0的三分之一；再问如果 D0 为三角形ABC内的任意一点，结果是否仍然成立？

n

第7届国际数学奥林匹克(IMO)

1. 试找出所有位于区间[0, 2pi] 的x使其满足

2 cos x ≤ | √(1 + sin 2x) - √(1 - sin 2x)| ≤ √2 . 2. 如下方程组的系数 aij ，

a11x1 + a12 x2+ a13 x3 = 0 a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0 a31x1 + a32x2 + a33x3 = 0 满足：

a. a11、 a22、 a33 是正数，其余是负数； b. 每个方程中的系数之和是正的。

求证：该方程组的有唯一的解 x1 = x2 = x3 = 0。

3. 四面体ABCD被平行于AB、CD边的一个平面分割成两部分，并且该平面到AB边的距离是该平面到CD边距离的 k倍。试求出 这两部分的体积比。

4. 四个实数，它们中的任何三个的乘积再加上第四个数都等于2，求出这四个数的所有可能值。

5. 三角形OAB中的角O是锐角，M是边AB上任意一点，从M向OA、OB边引垂线，垂足分别为P、Q。设三角形OPQ的垂心为，求出当M在AB边上移动时点H的轨迹；若M在三角形OAB内部移动是H的轨迹又是什么？ 6. 平面上给定了 n>2个点，任何两点之间都有线断相连，这些线断长度中的最大值被定义为这个点集的直径，求证：长度为直径的线断至多有n条。

第8届国际数学奥林匹克(IMO)

1. 在一次数学竞赛中共有A、B、C三道题，25名参赛者每人至少答对了一题。在所有没有答对A的学生中，答对B的人数是答对C的人数的两倍，只答对问题A的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1。又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A。请问有多少学生只答对B？ 2. 三角形ABC，如果，

三角形的一个定点出发，试问如果要完成任务且使行程最短他应该走什么样的路径？ 5. G是具有下述形式且非常值的函数的集合：

f(x) = ax + b，其中a,b,x都是实数。

并且已知G具有这些性质：

如果f,g都属于G，则 fg(x) = f(g(x)) 也属于G；

-1

? 如果f属于G，则 f(x) = x/a - b/a 也属于G；

? 对任何f属于G，存在一个实数 xf 使得 f(xf) = xf成立。

?

求证：存在实数 M 使得 f(M)=M对所有G中的函数f都成立。

6. a1, a2, ... , an 是正实数，实数 q 满足0 < q < 1，试求出n格实数 b1, b2, ... , bn 使得：

a. ai < bi ，i = 1, 2, ... , n；

b. q < bi+1/bi < 1/q ， i = 1, 2, ... , n-1；

c. b1 + b2 + ... + bn < (a1 + a2 + ... + an)(1 + q)/(1 - q).

第16届国际数学奥林匹克(IMO)

1. 三个玩家玩游戏。在三张扑克牌上分别写上一个正整数，并且每张牌上的数都不相同。在每一轮游戏中都是随机的把卡片分给这些玩家，然后每个玩家拿到所分得卡片上数目的筹码。当游戏进行时，玩家手上的筹码自然是越来越多。假设游戏至少进行了两轮以上。在最后一轮结束时，第一个玩家有筹码20个，第二个玩家有10个，第三个玩家有9个。又已知在最后一轮游戏中第三个玩家拿到的是最大数目的筹码。试问，在第一轮游戏中哪个玩家收到了中间数量的筹码？

2. 三角形ABC，求证在边AB上存在一点D使得CD是AD、DB的几何平均值的充要条件是

sin A sin B <= sin2(C/2).

3. 试证明对任意非负整数n，下式都不能被5整除：

∑ C(2n+1,2k+1)2，

上式中的求和是k从0到n，符号 C(r,s) 表示二项式系数 r!/(s!(r-s)!)。

4. 沿着一个 8 x 8 象棋盘（黑白相间）中的线将其分割成p个不相交的长方形，使得每个长方形内的黑白小方格的数目一样，并且每个长方形中小方格的数量也都不一样多。求出所有可能p值中的最大值；并对这样的最大值求出所有可能的分法（即求出那些长方形的大小）。

3k

5. a,b,c,d是任意实数，判定下式的所有可能值：

a/(a+b+d) + b/(a+b+c) + c/(b+c+d) + d/(a+c+d)。

6. 设 P(x) 是一个指数d>0的整系数多项式，n是P(X)=1或-1的不同整根的个数，则有 n <= d + 2.

第17届国际数学奥林匹克(IMO)

1. 已知x1 >= x2 >= ... >= xn, 以及y1 >= y2 >= ... >= yn 都是实数，求证 若z1 ,z2 ,...,zn 是yi 的任意排列则有

∑(xi-yi)2 <= ∑(xi-zi)2

上式中左右两边的求和都是i从1到n。

2. 令a1 < a2 < a3 < ... 是一递增正整数序列，求证对所有i>=1，存在无穷多个 an 可以写成 an = rai + saj的形式，其中r，s是正实数且j > i。

3. 任意三角形ABC的边上，向外作三角形ABR,BCP，CAQ，使角CBP、角CAQ都是45度，角BCP、角ACQ都是30度，角ABR、角BAR都是15度。求证角QRP是直角并且QR=RP。

4. 令A是将44444444写成十进制数字时的各位数字之和，令B时A的各位数字之和，求B的各位数字之和。 5. 判定并证明能否在单位圆上找到1975个点使得任意两点间的距离为有理数。 6. 找出所有两个变量的多项式P(x, y)使其满足： I. II.

对某一正整数n及所有实数t、x、y有P(tx, ty) = tnP(x, y)成立； 对所有实数x、y、z有

P(y + z, x) + P(z + x, y) + P(x + y, z) = 0;

III.

P(1, 0) = 1。

第18届国际数学奥林匹克(IMO)

1. 平面上一凸四边形的面积是32，两对边与一对角线之和为16，求另外一个对角线的所有可能的长度。 2. 令P1(x) = x2 - 2, Pi+1 = P1(Pi(x)), i = 1, 2, 3, ...，求证对任何一个正整数n，方程式Pn(x) = x 的所有根都是互不相同的实数。

3. 一个长方形的箱子可以用单位正方体完全装满，如果用体积为2的正方体来尽量装填，使得每个边都与箱子的边平行，则恰能装满箱子的40％，求所有这种箱子的可能尺寸（长、宽、高）。 4. 试将1976分解成一些正整数之和，求这些正整数乘积的最大值，并加以证明。

5. n是一个正整数，m = 2n， aij = 0、1或-1 （1 <= i <= n, 1 <= j <= m）。还有m个未知数x1, x2, ... , xm满足下面n个方程：

ai1x1 + ai2x2 + ... + aimxm = 0,

其中i = 1, 2, ... , n。求证这n个方程有一组不全为0的整数解（x1, x2, ... , xm）使得|xi|<= m。 6. 一个序列u0, u1, u2, ... 定义为：

u0= 2, u1 = 5/2, un+1 = un(un-12 - 2) - u1，n = 1, 2, ...

求证

[un] = 2

其中[x]表示不大于x的最大整数。

(2n - (-1)n)/3

,

第19届国际数学奥林匹克(IMO)

1. 在正方形ABCD中作等边三角形ABK、BCL、CDM、DAN，证明线段KL、LM、MN、NK的四个中点以及线段AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN的八个中点构成一个正十二边形的定点。

2. 在一个有限项的实数序列中，任意的相连七项之和为负，任意的相连十一项之和为正。求出这种序列最多有几项。

3. n>2是一给定整数，Vn 是所有1+kn形式的整数构成的集合，其中k是正整数，对于Vn 中的一个数m，如果不存在Vn 中的两个数p、q使得m=pq，则称m是不可分解的。求证：Vn 中存在一数r，它可有多于一种的方式表示为Vn 中不可分解数的乘积。（乘积中若仅仅是因数的顺序不同则视为是同一种分解。） 4. 定义f(x) = 1 - a cos x - b sin x - A cos 2x - B sin 2x，其中a,b,A,B都是实数常量。如果f(x)>=0对所有实数x都成立，求证

a2 + b2 <= 2 且 A2 + B2 <= 1.

5. a,b是正整数，设a2 + b2除以a + b得到商为q，余数是r。试求出所有的正整数对（a,b）使得q2 + r = 1977。

6. f是定义在所有正整数上且取值也是正整数的函数，求证如果f(n+1) > f(f(n))对所有正整数n都成立，则f(n) = n对每个n都成立。

第20界国际数学奥林匹克(IMO)

1. m、n都是正整数且n>m。如果1978m 和1978n的十进制表示法的末三位数字相同，试求满足此条件并使m+n达到最小的m与n。

2. P是某已知球内部一点，A、B、C是球面上三点，且有PA、PB、PC相互垂直，由PA、PB、PC决定的平行六面体与P点对角相向的顶点为Q，试求出Q点的轨迹。

3. 两不交集合{f(1), f(2), f(3), ... }和{g(1), g(2), g(3), ... }的并集是全部的正整数，其中f(1) < f(2) < f(3) < ...，g(1) < g(2) < g(3) < ... ,且有g(n) = f(f(n)) + 1对所有n=1,2,3, ...成立。试计算f(240)。

4. 等腰三角形ABC，AB = AC。在三角形ABC的外接圆的内部有一与其相切的一个小圆，该小圆又分别与AB、AC相切于P、Q两点。求证：线段PQ的中点恰为三角形ABC内切圆的圆心。 5. 令{ak} 为互不相同的正整数数列，求证对于所有的正整数n，有

∑ak/k2 >= ∑1/k；

上式中两边的求和都是k从1到n。

6. 某国际组织共有来自六个国家的共1978名会员，会员编号分别是1,2,...,1978。求证至少有某一会员的编号，恰为与他同国家的另外两位会员编号的和，或者是他同国家的两外一名会员编号的两倍。

第21界 国际数学奥林匹克(IMO)

1. m,n是满足下述条件的正整数:

m/n = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... - 1/1318 + 1/1319.

求证：m可被1979整除。

2. 一个棱柱的上底和下底分别是正五边形A1A2A3A4A5、B1B2B3B4B5 。这两个正五边形的每条边以及每个 AiBj边都被染上红色或蓝色。又已知每个边都被着色的三角形（其顶点即这个棱柱的顶点）必有两边着不同色，求证：上、下底的十条边都被染上了同一种颜色。

3. 平面上的两个圆相交，A是其中一个交点。现有两质点同时从A出发各自以恒定的速度，同以顺时针方向或同以逆时针方向绕各自的圆移动，在绕过一周之后这两点又同时回到了A点。求证：在这个平面上一定存在某个固定的点P使得在任意时刻P点都与这两动点的距离相等。

4. 给定一平面k，在这个平面上有一点P，平面外有一点Q，试找出平面k上的所有的点R使得(QP + PR)/QR 为最大值。

5. 试求出所有的实数a，使得存在非负实数x1, x2, x3, x4, x5满足下列关系式： x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = a； x1 + 23x2 + 33x3 + 43x4 + 53x5 = a2； x1 + 25x2 + 35x3 + 45x4 + 55x5 = a3。

6. 令A、E是一个正八边形的两相对顶点，一只青蛙从A点开始跳动，除了E点外，从八边形中的其他每一个顶点都可以跳至与它相邻两顶点中的任何一个。当它跳到E点时就停止运动。设 an 为恰好经过 n步跳动以后到达E点的所有可能线路的个数，求证：

a2n-1 = 0

a2n = (2 + √2)n-1/√2 - (2 - √2)n-1/√2。

第22界国际数学奥林匹克(IMO)

1. P是三角形ABC内部一点，D、E、F分别是从P点向边BC、CA、AB所引垂线的垂足。试找出 BC/PD + CA/PE + AB/PF 式达到最小值的所有P点。

2. 取r满足1 <= r <= n，并考虑集合{1, 2, ... , n}的所有r元子集，每个子集都有一个最小元素。设F(n,r)是所有这些最小元素的算术平均值。求证：F(n,r) = (n+1)/(r+1)。

第44界国际数学奥林匹克(IMO)试题

1. 设A是集合S={1, 2, 3, ..., 1000000}的一个101元子集，求证： 存在S中的100个元素T1 ,T2 ,...,T100 使得集合

Aj={X+Tj | X 属于 A} （j=1,2,...,100） 是两两不交的。

2. 求所有的正整数对(a,b)，使得 a2/(2ab2-b3+1)也为整数。

3. 一凸六边形，任意一组对边中点的连线是这组对边长度之和的√3/2 倍，求证这个六边行的

o每个内角都是120。

4. 圆内接四边形ABCD，从D向分别边BC,CA,AB引垂线，垂足分别为P，Q，R。求证： PQ=QR当且仅当∠ABC、∠ADC的角平分线及AC三线共点。

5. 设n是一个正整数，x1,x2,...,xn是实数并且x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn,求证：

a. (∑i,j |xi - xj| )2 ≤ (2/3) (n2 - 1) ∑i,j (xi - xj)2。 ? b.上式等号成立当且仅当x1,x2,...,xn是等差数列。

?

6. 设p是一个素数，求证存在一个素数q使得对每个整数n，n-p不能被q整除。

p2004国际数学奥林匹克(IMO)(中文版)

1. △ABC 为锐角三角形，AB ≠ AC；以BC为直径的圆分别交AB和AC于M 和N . 记BC中点为 O. ∠BAC和∠MON的角平分线交于R. 求证△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个公共点在 BC边上.

2. 求所有的实系数多项式f，使得对所有满足 ab + bc + ca = 0的实数a, b, c 有 f(a–b) + f(b–c) + f(c–a) = 2f(a + b + c).

3. 定义一个由6个单位正方形构成的“钩”（图传不上：3 X 3 的去掉中心块和一边上连 续的两块，包括由此图经旋转、反射得到的图形）. 定出所有的能被钩覆盖的m×n的矩形 .

4. 设n >= 3. t_1, t_2, ..., t_n > 0 满足

n^2 + 1 > (t_1 + t_2 + ... + t_n)(1/t_1 + 1/t_2 + ... + 1/t_n)

证明t_1, t_2, ..., t_n中随便取3个数都能构成一个三角

5. 凸四边形ABCD的对角线BD 不平分∠ABC和∠CDA. ABCD内一点P满足∠PBC = ∠DBA和∠

PDC = ∠BDA. 求证：ABCD是圆的内接四边形当且仅当AP = CP.

6. 称一个正整数为“交替的”，如果它的十进表示的任两个连续数位的奇偶性不同. 求所 有的正整数n，n的某个倍数是交替的.

2005 International Mathematical Olympiad

第一天(4.5小时)

1. 等边三角形ABC各边上的六个点A1,A2(∈BC),B1,B2(∈CA),C1,C2(∈AB)构成六边长相等的凸六边形A1A2B1B2C1C2.

求证:三条直线A1B2,B1C2,C1A2交于一点.

2. 整数数列a1,a2,……中有无穷多个正项及无穷多个负项.已知,对每个正整数n,数a1,a2,…,an除以n所得到的余数互不相同.

证明:每个整数在数列a1,a2,……中都出现且只出现一次.

3. x,y,z为正数且xyz≥1.求证:

(x5-x2)/(x5+y2+z2)+(y5-y2)/(y5+z2+x2)+(z5-z2)/(z5+x2+y2)≥0.

第二天(4.5小时)

4.试求与无穷数列an=2n+3n+6n－1(n≥1)的一切项均互素的所有正整数.

5.取定凸四边形ABCD,其中BC=DA,BC与DA不平行.动点E,F分别在线段BC,DA上且满足BE=DF.直线AC与BD交于P, BD与EF交于Q, EF与AC交于R.求证:当E,F变动时,所有三角形PQR的外接圆周除了P外还有一个公共点.

6.一次数学竞赛共给出6道题.已知,每两题均被多于2/5的选手同时解出,但无一人解出所有6道题.证明:至少有两人各解出5道题.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/sqv3.html