新疆兵团农二师华山中学高中数学2.3.1双曲线及其标准方程导学案新人教版选修11

§2.3.1 双曲线及其标准方程

学习目标 1．掌握双曲线的定义； 2．掌握双曲线的标准方程． 学习过程 一、课前准备 （预习教材理P52~ P55，文P45~ P48找出疑惑之处）

复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？

x2y2复习2：在椭圆的标准方程2?2?1中，a,b,c有何关系？若a?5,b?3，则c??写出符

ab合条件的椭圆方程．

二、新课导学 ※ 学习探究

问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？

如图2-23，定点F1,F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，

MF1?MF2是常数，这样就画出一条曲线； 由MF2?MF1是同一常数，可以画出另一支．

新知1：双曲线的定义：

平面内与两定点F1,F2的距离的差的 等于常数(小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线。 两定点F1,F2叫做双曲线的 ，

两焦点间的距离F1F2叫做双曲线的 ．

反思：设常数为2a ，为什么2a?F1F2？ 2a?F1F2时，轨迹是 ；

2a?F1F2时，轨迹 ．

试试：点A(1,0)，B(?1,0)，若AC?BC?1，则点C的轨迹是 ．

新知2：双曲线的标准方程：

1

x2y2?2?1,(a?0,b?0,c2?a2?b2)（焦点在x轴） 2ab其焦点坐标为F1(?c,0)，F2(c,0)．

思考：若焦点在y轴，标准方程又如何？

※ 典型例题

例1已知双曲线的两焦点为F1(?5,0)，F2(5,0)，双曲线上任意点到F1,F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．

22xy变式:已知双曲线??1的左支上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离169为_____

例2 已知A,B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．

变式：如果A,B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？

小结：采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置．

※ 动手试试

练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式： （1）焦点在x轴上，a?4，b?3；

（2）焦点为(0,?6),(0,6)，且经过点(2,?5)．

2

练2．点A,B的坐标分别是(?5,0)，(5,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们斜率之积4是，试求点M的轨迹方程式，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状． 9

三、总结提升 ※ 学习小结

1 ．双曲线的定义；

2 ．双曲线的标准方程． ※ 知识拓展

GPS(全球定位系统)： 双曲线的一个重要应用．

在例2中，再增设一个观察点C，利用B，C两处测得的点P发出的信号的时间差，就可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定点P的准确位置． 学习评价 ※ 当堂检测 1．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是 （ ）．

A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线

2．双曲线5x2?ky2?5的一个焦点是(6,0)，那么实数k的值为 （ ）．

A．?25 B．25 C．?1 D．1 3．双曲线的两焦点分别为F1(?3,0),F2(3,0)，若a?2，则b? （ ）． A. 5 B. 13 C. 5 D. 13 4．已知点M(?2,0),N(2,0)，动点P满足条件|PM|?|PN|?22. 则动点P的轨迹方程为 ．

x2y25．已知方程??1表示双曲线，则m的取值范围 ．

2?mm?1 课后作业 ※ 夯基达标 1.方程x?3y2?1所表示的曲线是 ( )

A.双曲线 B.椭圆

C.双曲线的一部分 D.椭圆的一部分

2y2x2.双曲线??1的焦点坐标为 ( ) 169A.(?7?0)?(7?0) B.(0??7)?(0?7) C.(-5,0),(5,0) D.(0,-5),(0,5)

22y2x3.如果椭圆??1和双曲线x?y2?1的公共焦点为F1?F2?P是两曲线的一个交点,那

623么cos?F1PF2的值是 ( ) A.1 B.2 C.7 D.1

3334

3

4.已知定点A,B且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是 ( )

A.12 B.32 C.72 D.5

5.设m是常数,若点F(0,5)是双曲线y2m?x29?1的一个焦点,则m= .

6.根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)过点P?3?154??Q??163?5?且焦点在坐标轴上;

(2)经过两点A(?7,?62)，B(27,3)．

(3)c?6?经过点(-5,2),焦点在x轴上;

(4)与双曲线16x2?y24?1有相同焦点,且经过点(32?2).

4

7．相距1400mA,B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，为什么？

※ 能力提升

22yx8.已知双曲线??1的焦点为F1?F2?点M在双曲线上,且MF1?x轴,则F1到直线F2M63的距离为 ( ) A.36 B.56 C.6 D.5

56562222y9.若双曲线x??1(m?0?n>0)和椭圆x?y?1(a>b>0)有相同的焦点F1?F2?M为两

mnab曲线的一个交点,则|MF1|?|MF2|等于 . 2y2x10.对于曲线C:??1?下面四个命题: 4?kk?1①曲线C不可能表示椭圆;

②当1

③若曲线C表示双曲线,则k<1或k>4;

④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1?k?5.

2其中命题正确的序号为 .

2y2x11.有一双曲线方程为??1?F1?F2是其两个焦点,点M在双曲线上. 49(1)若?F1MF2?90,求△F1MF2的面积;

(2)若?F1MF2?60时,△F1MF2的面积是多少?若?F1MF2?120时,△F1MF2的面积又是多少?

5

12.在△ABC中,BC=2,且sinC?sinB?

※ 拓展探究

1sinA,求点A的轨迹. 22y222x13.从双曲线2?2?1(a?0?b?0)的左焦点F引圆x?y2=a的切线,切点为T,延长FTab交双曲线右支于P点,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|与b-a的大小关系

为( )

A.|MO|-|MT|>b-a B.|MO|-|MT|=b-a C.|MO|-|MT|

14.求下列动圆圆心M的轨迹方程:

(1)与C:(x?2)2?y2?2内切,且过点A(2,0);

(2)与C1:x2?(y?1)2?1和C2:x2?(y?1)2?4都外切; (3)与

C1:(x?3)2?y2?9外切,且与C2:(x?3)2?y2?1内切.

6

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/sqnv.html