【步步高】(广东专用)高考数学一轮复习 第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数同步检测 文

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第四章 三角函数、解三角形

第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数

一、选择题

1．sin 2cos 3tan 4的值( )．

A ．小于0

B ．大于0

C ．等于0

D ．不存在

解析 ∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，

∴sin 2cos 3tan 4＜0.

答案 A

2．已知点P (sin 5π4，cos 3π4

)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ是第________象限角．( )

A ．一

B ．二

C ．三

D ．四

解析 因P 点坐标为(－

22，－22)，∴P 在第三象限． 答案 C

3．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为

( )． A ．40π cm 2 B ．80π cm 2 C ．40cm 2 D ．80cm 2

解析 72°＝2π5，∴S 扇形＝12αR 2＝12×2π5

×202＝80π(cm 2)． 答案 B

4．给出下列命题：

①第二象限角大于第一象限角；

②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；

③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；

⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．

其中正确命题的个数是

( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

解析 由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°

时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6

，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当θ＝π，cos θ＝－1<0时既不是第二象限角，又

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不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．

答案 A

5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，

且sin θ＝－255

，则y ＝ ( )． A ．－8 B ．8 C ．－4 D ．4

解析 根据题意sin θ＝－255

<0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角．再由三角函数的定义得，

y

42＋y 2＝－255，又∵y <0，∴y ＝－8(合题意)，y ＝8(舍去)．综上知y ＝－8.

答案 A 6．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3

弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )．

A.? ????－12，32

B.? ????－32

，－12 C.? ????－12，－32 D.? ??

??－32，12 解析 设α＝∠POQ ，由三角函数定义可知，Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos α， y ＝sin α，∴x ＝－12，y ＝

32，∴Q 点的坐标为? ??

??－12，32. 答案 A

二、填空题 7．若β的终边所在直线经过点P ?

????cos 3π4，sin 3π4，则sin β＝________， tan β＝________.

解析 因为β的终边所在直线经过点P ?

????cos 3π4，sin 3π4，所以β的终边所在直线为y ＝－x ，则β在第二或第四象限．

所以sin β＝

22或－22，tan β＝－1. 答案 22或－22

－1 8．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第______象限．

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解析 ∵点P (tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0.

∴角α在第二象限．

答案 二

9．设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．

解析 由题意得S ＝12

(8－2r )r ＝4，整理得r 2－4r ＋4＝0，解得r ＝2.又l ＝4，故|α|＝l r ＝2(rad)．

答案 2

10．函数y ＝2cos x －1的定义域为________．

解析

∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12

. 由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．

∴x ∈?

?????2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )． 答案 ?

?????2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 三、解答题

11． (1)写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式－360°≤α<720°的元素α写出来：

①60°；②－21°.

(2)试写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．

解 (1)①S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－300°，60°，420°；

②S ＝{α|α＝－21°＋k ·360°，k ∈Z }，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－21°，339°，699°.

(2)终边在y ＝－3x 上的角的集合是S ＝{α|α＝k ·360°＋120°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋300°，k ∈Z }＝{α|α＝k ·180°＋120°，k ∈Z }，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.

12．(1)确定－cos8·tan5

的符号； (2)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，试判断式子sin α－cos α的符号．

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解析 (1)∵－3,5,8分别是第三、第四、第二象限角，

∴tan(－3)>0，tan5<0，cos8<0，

∴原式大于0.

(2)若0<α<π2

，则如图所示，在单位圆中，OM ＝cos α，MP ＝sin α， ∴sin α＋cos α＝MP ＋OM >OP ＝1.

若α＝π2

，则sin α＋cos α＝1. 由已知0<m <1，故α∈? ??

??π2，π. 于是有sin α－cos α>0.

13．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 解 设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，

则????? 12

lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得????? r ＝1，l ＝2.

∴圆心角α＝l r

＝2.

如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad.

∴AH ＝1·sin 1＝sin 1 (cm)，∴AB ＝2sin 1 (cm)．

14． 如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C

是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为? ??

??35，45，△AOB 为正三角形．

(1)求sin ∠COA ；(2)求cos ∠COB .

解 (1)根据三角函数定义可知sin ∠COA ＝45

. (2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°，

又sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35

， ∴cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°)

＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60°

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3 5·

1

2

－

4

5

·

3

2

＝

3－43

10

.

＝

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/sqij.html