第三章 分式 3.4分式方程（第三课时） 教案 薛城奚仲中学 张敏

课时课题 第三章 课型:新授课 授课人:张敏

分式 第四节 分式方程（3）

授课时间: 2013 年 4 月 12日 星期四 第 2 节 教学目标

1．使学生能分析实际问题中的等量关系，会列分式方程解决问题的能力，体会分式

方程的数学模型的作用．

2．让学生经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程． 3、通过列分式方程解应用题,渗透方程与转化的思想方法.

教学重点

1．审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程数学模型． 2．根据实际意义检验解的合理性．

教学难点

寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法．

教学方法

自主探究—交流—发现．

课前准备

教具：教材、电脑、投影仪． 学具：课本、练习本．

教学过程设计

一、 复习回顾，导入新课

师：前两节课，我们认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程.

下面请同学们各自写出一个分式方程.然后同位间交换，互相判断一下对方所写的是不是分式方程，待会儿请几个同学来展示一下你所写的分式方程．

（学生认真思考和书写,并主动交流.三位同学到讲台前展示，展示出多种类型．）

1

生：（１）

1x2?5x?2；

生：（２）

3x10x?2?7y?26；

生：（３）?x?2 ．

师：解分式方程首先要去分母（方程两边同时乘以最简公分母），转化为整式方程．下面请

大家把这三个分式方程通过去分母分别转化为整式方程.

生：（１）x?2?5x2；（２）3(y?2)?2x(y?2)?7x；（３）10(x?2)?6x． 师：以上三个整式方程，大家目前都会解吗？ 生：只会解（３）10(x?2)?6x．

师:对于（１）x?2?5x2；（２）3(y?2)?2x(y?2)?7x三个方程，（１）（２）我们将

在九年级或以后继续研究．因此对于分式方程，我们现在主要学习象（３）这样可化为一元一次方程的分式方程．下面请大家把（３）程写下来．

生：认真在练习本上写解答过程．（展示）

解：（３）

10x?6x?210x?6x?210x?6x?2完整的解答过

方程两边同时乘以x(x?2)，得

10(x?2)?6x

解这个分式方程得：x?5 检验：将x?5代入原方程：得，

左边＝２＝右边

所以，x?5是原分式方程的根．

师:同学们解得非常好，都注意检验了．那么大家能不能根据应用题啊！

生：很有信心的大声齐答——能．

师：很好！大家请按照：①要联系实际生活，其解符合实际；②题目完整，题意清楚的要求

开始编写题目吧！

生：积极性很高的开始写起来，同时小组内进行了充分的交流和讨论．

10x?6x?2编一道分式方程的

2

师：哪些同学来说说你编的题目？ 生：不同的学生读编写内容．

生：（展示）甲、乙二人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做2个，甲做10个所用时间

与乙做6个所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个？

师：你编写的很好很完整清晰，能给大家介绍一下你的编写思路或方法技巧吗？

生：先将式子中的数字分别给予实际意义表示某一个量，然后看式子中的运算关系，再找实

际意义中量与量之间的等量关系，最后根据未知数的意义提出问题就编写完成了． 生：很佩服的给以掌声鼓励．

师：下面我们来找一找题目中蕴含的等量关系有哪些． 生：甲每小时做零件个数＝乙每小时做零件个数＋2． 生：甲做10个所用时间＝乙做6个所用的时间． 生：做零件时间＝

做零件总个数每小时做零件个数（补充出题目隐含的等量关系，给以鼓励）

师：我们根据题意来列一列，检验编的是否符合刚才的方程．

若设甲每小时做x个，那么乙每小时做（x-2）个，根据题意，有

10x?6x?2

∴x=5,

经检验，x=5是所列方程的根. x-2=5-2=3

答：甲每小时做5个，乙每小时做3个.

师：这个检验的过程就是我们今天所学的主要内容――列分式方程解实际应用题． 设计意图：由简单的分式方程概念到解分式方程，进而根据已知的分式方程创设恰当的情景

问题，既很自然的做了知识回顾，又为学习新知打好基础，同时运用逆向思维为下一环节给出实际情景列分式方程解应用题作了承上启下的过渡．学生学起来感到知识很连贯接受很自然顺畅，思路清晰，进而激发学生学习积极性.

二、 自主探究,交流展示

探究活动（一）创设房屋租金问题情境，解决房屋租金

师：给出分式方程我们能编写一个合适的问题情境，现在反过来一起看这样的问题情景，大

家能否列出正确的分式方程呢？（出示投影片）

做一做：某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多500元，

3

所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元． 生：观察思考情境，了解题意．

师：提出问题１――你能找出这一情景中的哪些等量关系？ 生1：第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元.

生2：还有一个等量关系：第一年租出的房屋间数=第二年租出的房屋的间数. 生3：出租的房屋间数＝所有出租的房屋的租金÷每间房屋的租金

师：提出问题２――根据“做一做”的情境，你又能提出哪些问题呢？在我们的数学学习中，

提出问题比解决问题更重要．（鼓励学生大胆设想，及时给予表扬） 生１：每年各有多少间房屋出租？ 生２：这两年每年房屋的租金各是多少？

．．．．．．

师：下面我们先解决第一个问题：每年各有多少间房屋出租？

（师生共析，个别学生口答，师板书解题过程）

找到了等量关系，明确所求问题，接下来就可以设未知数列方程解决问题了． 解：设每年各有x间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为

房屋的租金为

102000x102000xx96000x元，第二年每间

元，根据题意，得

=

96000+500

解这个方程，得x=12

经检验x=12是所列方程的根，也符合题意. 答：每年各有12间房屋出租.

师：我们接着再来解决第二个问题：这两年每间房屋的租金各是多少？ 生：根据第一问的答案可计算，得：

第一年每间房屋的租金为第二年每间房屋的租金为

960001210200012=8000（元）， =8500（元）.

师：如果没有第一问，该如何解答第二问？

生：解：设第一年每间房屋的租金为x元，第二年每间房屋的租金为（x+500）元.第一年租

出的房间数为

96000x间，第二年租出的房间数为

102000x?500间，根据题意，得

4

96000x=

102000x?500

解得： x=8000

经检验，x=8000是所列方程的解，也符合题意.

x+500=8500（元）

答：这两年每间房屋的租金分别为8000元，8500元.

设计意图：学生体会到方程是刻画现实世界的有效数学模型．培养学生良好的数学应用意识.

让学生自己提出问题,解决问题,培养学生发散思维和创造思维.

探究活动（二）提出水费问题，合作探究解决水费问题

师：我们利用分式方程解决了实际问题，现在再来看一个例题，我们可以从中了解到家庭用

水的问题．（出示投影）

例：某市从今年1月1日起调整居民的用水价格，每立方米水费上涨

13．小丽家去年

12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元．已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5m3，求该市今年居民用水的价格． 师：找找题中有哪些等量关系？

生：小丽家今年7月份的用水量－小丽家去年12月份的用水量＝5m3

总的水费每立方米水费 用水量＝

师：若设该市去年居民用水的价格为x元／立方米，则今年水价为 元／立方米. 生：（1＋

13）x

师：要求学生在练习本上将本题的解答过程完整的写下来．

生1：【解法一】设该居民去年用水价格为x元/m，则今年的水价为（1＋

30(1?13)x15x313）x元/m,

3根据题意得：??5

解得： x=1.5

经检验，x=1.5是所列方程的根．

1.5×（1＋

13）=2(元/m)

3 5

答：该市今年居民用水的价格为2元/m3．

【解法二】设该去年居民的用水价格为x元/m3，则今年的用水价格为y元/m3， 15?30??5?yx?根据题意得：?

?y?(1?1)x?3??x?1.5解得：?

?y?2?x?1.5经检验，?是所列分式方程组的根．

y?2?答：今年用水价格为2元/m3．

师：通过以上两个实际问题的解决，类比列整式方程解应用题的步骤，归纳一下列分式方程

解应用题的步骤有哪些？

生：总结列方程解应用题的基本步骤是：审、设、列、解、答．

(1)审——仔细审题，找出等量关系． (2)设——合理设未知数．

(3)列——根据等量关系列出方程(组)． (4)解——解出方程(组)． (5)答——答题．

师：你发现列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的步骤有什么不同吗？ 生：列分式方程解应用题时在得出方程解后还需要检验，然后再作答． 师：补充总结列分式方程解应用题的基本步骤就有六步：

(1)审——仔细审题，找出等量关系； (2)设——合理设未知数；

(3)列——根据等量关系列出方程(组)； (4)解——解出方程(组)；

(5)检――检验解是否为增根和解的合理性 (６)答——答题．

设计意图：通过现实情景再现，激发学生兴趣，同时让学生体会到方程是刻画现实世界的有

6

效数学模型，培养学生良好的数学应用意识.解答两种做法，培养一题多解的思维发散能力．渗透类比思想．培养乐于反思,善于总结的学习习惯．

.巩固练习

师：通过例题学习，大家能否学以致用，举一反三？请认真独立完成下面变式练习． １．某化肥厂计划生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生

产180吨与原计划成本生产120吨的时间相等，设计划每天生产化肥x吨，那么x适合的方程是（ ）

A．

120x?3?180x B.

120x?3?180x C.

120x?180x?3 D.

120x?180x?3

２. 某商品原售价为2200元，按此价的8折出售，仍获利10%，那么此商品进价为_____. ３．一件工作由甲乙两队合干，乙独做一天后，甲、乙合作两天完成，已知甲独做所需天数是乙独做所需天数的生１：Ｃ

生２：１６００元（口答过程） 生３：（投影展示解题过程）

解：设乙单独做x天完成，则甲单独做

1x1x123x23x天完成，据题意，得

23，求甲乙两队独做各需多少天完成？

?2(?)?1

解得 x?6

经检验，x?6是所列方程的根．

23x?4（天）．

答：甲单独做４天完成，则甲单独做６天完成．

师：点拨工程问题中总工程量看做单位１，单独完工的工作时间与工作效率互为

倒数可相互转化和表示．

设计意图：通过对巩固练习问题情境的解决，进一步体会到方程是刻画现实世界的有效数学

模型，培养学生良好的数学应用意识，理解能力．变式练习可使学习更灵活．．

课堂小结

师：数学学习中发现问题比解决问题更重要，用心思考善于总结比苦学蛮干更有效．请同学

7

们思考总结一下，通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还有什么疑问？也可以谈谈自己的学习体会．

生：我学会如何根据已知方程编应用题．

生：我知道列分式方程解应用题和列一元一次方程解应用题类似，关键要审好题，找出等量

关系，才能列出正确的方程．

生：列分式方程解应用题的基本步骤有六步：

(1)审——仔细审题，找出等量关系； (2)设——合理设未知数；

(3)列——根据等量关系列出方程(组)； (4)解——解出方程(组)；

(5)检――检验解是否为增根和解的合理性 (６)答——答题．

分式方程解应用题不同于整式方程解应用题的步骤就是解完后要检验．

生：我感觉给出方程来编应用题与给出应用题目来列方程的思路和步骤正好是互逆的． 生：列分式方程解应用题需注意：①设和答中有 单位 ；②解完分式方程必须 检验 . 设计意图：通过感受生活中分式方程应用题的引导学生自己小结本节课的知识要点及学习方

法，从而将本节知识进行很好的回顾整合以加深学习的印象，同时使知识系统化，更易掌握.

达标测试（限时训练，即时批改，及时交流改错）

师：大家总结的很好，说明同学们听得很仔细学得很认真．不知大家对知识掌握得怎么样，

我们就来落实一下所学知识．请大家独立完成达标测试题．

１.一个小组生产某种零件，计划在30天内完成，若每天多生产5个，则26天完成且多生产10个零件，问原计划每天生产多少个零件？设原计划每天生产零件x个，则根据题意列出的方程应是( ) A.

30x?10x?5=26 B.

30x?10x?5=26 C.

30xx?5=26+10 D.

30x?10x?5=26－10

2．一个正多边形的的每个内角都是120°,则关于它的边数n的分式方程为 . 3.小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书．科普书的价格比文学书高出一半，因此他们所买的科普书比所买的文学书少1本，这种科普书和这种文学书的价格各是多少？

8

４．轮船在顺水中航行20千米与在逆水航行10千米所用的时间相同，水流速度为2.5千米/小时，求轮船的静水速度．

中考链接

1.(2012,新疆)甲乙两班进行植树活动,根据提供的信息可知:①甲班共植树90可，乙班共植树129课；②乙班的人数比甲班人数多3人；③甲班每人植树是乙班每人植树的设甲班人数为x人，求两班人数各是多少？正确的方程是（ ） A

90x34??34?129x?3?34．若

B.

90x?334??90x34??129x129

C

90x?3129x D.

x?3２．（201１，菏泽）A与B两地相距40千米，甲骑自行车从A地出发1小时后，乙从A地

出发，乙的速度是甲速度的1.5倍，当追到B地时，甲比乙先到20分钟，求甲乙二人的速度.若设甲的速度每小时x千米，那么根据题意列出的方程是________________. 3．（201１, 合肥）如果A与B满足

Ax?5?Bx?2?5x?4x?3x?102，试求Ａ、Ｂ的值．

设计意图:注重知识的落实和目标的达成,对所学知识做到心中有数,同时展开“兵教兵”合

作互助的学习氛围，锻炼学生的应试能力．

作业布置

习题３．８ 第1、３题

板书设计

§3.4.3 分式方程（三） 一、房屋出租问题 例１步骤； 等量关系： 第一年每间房屋租金+500=第二年每间房屋租金 第一年租出的房屋间数=第二年租出的房屋间数 二、家庭用水 等量关系： 作业布置： 今年7月份用水量 －去年12月份用水量=5m 3教学反思

1． 列分式方程解决实际问题，是数学实用性最直接的体现．教学时教师主要是引导学生

9

从不同角度寻求等量关系，将实际问题转化为数学模型，并进行解答，解释解的合理性．培养他们发现问题、提出问题、分析问题、解决问题能力，增强学生数学应用意识，让学生在现实情境中体验和理解数学．

2．列分式方程解应用问题比列一次方程（组）要稍微复杂一些，关键则在于审清题意，

找出题中的等量关系，找到等量关系就为列分式方程指明了方向．教学中渗透转化思想，学习中要注重解题步骤的规范性和严谨性．

10

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/sq7r.html