近世代数第一章答案

近世代数第一章基本概念答案

§ 1 ． 集合

1.B?A，但B不是A的真子集，这个情况什么时候才能出现？ 解 由题设以及真子集的定义得，A的每一个元都属于B，因此A?B.于是由

B?A A?B

得A?B.所以上述情况在A=B时才能出现.

2. 假设A?B,A?B?? A?B??

解 （i） 由于A?B,所以A的每一个元都属于B,即A的每一个元都是A和B的共同元，因而由交集的定义得

A?A?B

但显然有

A?B?A

所以

A?B?A

(ii) 由并集的定义，A?B的每一个元素都属于A和B之一，但A?B,所以A?B的每一元素都属于B:

A?B?B

另一方面B?A?B,所以A?B?B.

§ 2 ． 映射

1. A={1,2,?，100}.找一个A?A到A的映射.

解 用?a,b?表示A?A的任意元素，这里a和b都属于A .按照定义做一个满足要求的映射即可，例如 ?： ?a,b?→a 就是这样的一个，因为?替A?A的任何元素?a,b?规定了一个唯一的象a,而a?A.

读者应该自己再找几个A?A到A的映射. 2.在你为习题1所找的映射之下，是不是A的每一个元都是A?A的一个元的象?

解 在上面给出的映射?之下，A的每一个元素都是A?A的一个元的象，因为?a,b?中的a可以是A的任一元素.

你自己找到的映射的情况如何？有没有出现A的元素不都是象的情况？假如没有，找一个这样的映射.

§ 3 ．代数运算

1. A={所有不等于零的偶数}.找一个集合D，使得普通除法是A?A到D的代数运算.是不是找得到一个以上的这样的D？

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解 一个不等于零的偶数除一个不等于零的偶数所得结果总是一个不等于零的有理数.

所以取 D={所有不等于零的有理数} 普通除法就是一个A?A到D的代数运算.

可以找得到一个以上的满足要求的D.读者可以自己找几个. 2.A??a,b,c?.规定A的两不同的代数运算.

解 （i）我们用运算表来给出A的一个代数运算： ? a b c

a a a a b a a a c a a a

按照这个表，通过?，对于A的任何两个元素都可以得出一个唯一确定的结果a来，而a仍属于A，所以?是A的人一个代数运算.

这个代数运算也可以用以下方式来加以描述 ?: ?x,y??a?xoy 对一切x,y?A (ii)同理

?: ?x,y??x?xoy 对一切x,y?A

也是A的一个代数运算.读者可用列表的方法来给出这个代数运算.

读者应自己给出几个A的代数运算.

§4 ．结合律

1. A={所有不等于零的实数}，?是普通的除法:

aob?a b这个代数运算适合不适合结合律？

解 这个代数运算?不适合结合律.例如， 当

a?4 b?c?2

时

42o2??1 22?2?4ao?boc??4o?2o2??4o????4

?2?1所以当a,b和c取上述值时

?aob?oc?ao?boc?

(aob)oc??4o2?o2?2. A={所有实数}，代数运算

?： （a,b）?a+2b=a?b

适合不适合结合律？

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解 读者可以用解上一题的方法来证明，所给代数运算不适合结合律.

3.A={a,b,c}.由表

a b c

a a b c b b c a c c a b

给出的代数运算适合不适合结合律？

解 所给代数运算?适合结合律.为了得出这个结论，需要对元素

3a,b,c的27（=3）种排列（元素允许重复出现）加以验证.但是利用元素a的特性，可以把验证简化.仔细考察运算表，我们发现以下规律：对集合A的任意元素x来说，都有 a?x=x?a=x

由此得出，对于有a出现的排列，结合律都成立.这一点读者可以自

3己验证.还剩下a不出现的排列.这样的排列共有8（=2）种.我们在这里验证4种，其余4种读者可以自己验证. （b?b）?b=c?b=a

b?(b?b)=b?c=a

所以 （b?b）?b=b?(b?b) (b?b)?c=c?c=b b?(b?c)=b?a=b 所以 (b?b)?c=b (b?c) (b?c)?b=a?b=b b?(c?b)= b?a=b 所以 (b?c)?b=b?(c?b) (b?c)?c=a?c=c b?(c?c)=b?b=c 所以 (b?c)?c=b?(c?c)

§5 ．交换律

1.A={所有实数}.?是普通减法：

a?b = a?b

这个代数运算适合不适合交换律？ 解 容易验证，当a = 1，b = 2时

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a?b?b?a 所以这个代数运算不适合交换律. 2. A={a , b ,c , d}，由表 a b c d

a a b c d b b d a c c c a b d d d c a b

所给的代数运算适合不适合交换律？

解 要回答这个问题，只须考察一下运算表，看一看关于主对角线对称的位置上，有没有不相同的元素.易知此运算表不对称，所以此代数运算不适合交换律。 §6． 分配律

假定⊙,?是A的两个代数运算，并且适合?结合律，⊙，?适合两个分配律.证明

(a1⊙b1)⊕(a1⊙b2)⊕(a2⊙b1)⊕(a2⊙b2) =(a1⊙b1)⊕(a2⊙b1)⊕(a1⊙b2)⊕(a2⊙b2) 解 (a1⊙b1)⊕(a1⊙b2)⊕(a2⊙b1)⊕(a2⊙b2) =a1⊙(b1?b2)⊕a2⊙(b1?b2) =(a1?a2)⊙(b1?b2)

=(a1?a2)⊙b1⊕(a1?a2)⊙b2

=a1⊙b1)⊕(a2⊙b1)⊕(a1⊙b2)⊕(a2⊙b2)

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§7．一一映射，变换

1．A={所有>0的实数}，A={所有实数}.找一个A与A间的一一映射.

解 ?： x?lgx 对一切x?A 是一个A与A间的一一映射.

首先，给了任一x?A，即任一大于0的实数x，lgx是一个实数，即lgx?A，并且lgx是唯一确定的，所以?是一个A到A的映射. 其次，对于任一y?A，即任一实数y，10y?x是一个大于0的实数，而在?之下，

x?lgx?lg10y?y 所以?是一个A到A的满射.

最后，若是x1,x2?A，并且x1?x2，那么lgx1?lgx2，所以?是一个A到A的单射.

这样，?是一个A到A间的一一映射. 2、A={所有?0的实数} A={所有实数a,0?a?1} 找一个A到A的满射.

解 ? ： x?x 若 0?x?1 x? 若 x?1 是一个A到A的满射.

首先，?替每一个x?A规定了一个唯一确定的象?(x)，而，所以?是一个A到A的映射.其次，在?之下，A的每一0??(x)?1第 5 页 共 12 页

1x

个元a都是A中的一个元，即a本身的象，所以?是一个A到A的满射. 读者可以证明：

?1 ： x?sinx x?A ?2 ： x?0 0?x?1

x? x?1 都是A到A的满射.

3、假定?是A到A间的一一映射，a是A的一个元. ??1[?(a)]?? ?[??1(a)]??

若?是A的一个一一变换，这两个问题的回答又该是什么？ 解 当?是A与A间的一个一一映射时，

??1[?(a)]?a ?[??1(a)]未必有意义.

1x若?是A的一个一一变换，那么

a)?]a ?[??1(a)]=a ??1[?(读者可以做一做以下补充习题. （i）A?{所有?0的整数} A?{所有?0的整数} 证明：

? ： x?x?1 对一切x?A 是A与A间的一个一一映射.

的实数 } （ii） A?{所有?0 A?{所有>0的实数}

利用（i）题找一个A与A间的一一映射.

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§8． 同 态

1、A?{所有实数x}.A的代数运算是普通乘法.以下映射是不是A到A的一个子集A的同态满射？

a）x?x b）x?2x c）x?x2

d）x??x

解 a）取A?{所有?0的实数}，则A?A,而

? ： x?x??1(x) x?A

是A到A的一个同态满射，因为：对任一实数x，x是一个唯一确定的?0的实数，所以?1是A到A的一个映射；若是x?A，那么x?A， 而

?1(x)?x?x

所以?1是A到A的一个满射；对任意x,y?A， ?1(xy)?xy?xy??1(x)?1(y) 所以?1是A到A的一个同态满射.

b） 当x取遍一切实数值时，2x也取遍一切实数值.

读者容易证明

?2 ： x?2x??2(x)

是A到A的一个满射，但?2不是A到A的一个同态满射，因为：取A的数2和3，那么

?2（2） =4 ?2（3） =6

?2(2,3)??2(6)?12??2(2)?2(3)

C）取A?{所有?0的实数}，那么A?A.读者可以自己证明

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?3 ： x?x2??3(x) x?A

是A到A的一个同态满射.

d）当x取遍一切实数值时，?x也取遍一切实数值，容易证明

?4 ： x??x=?4(x) x?A 是A到A的一个满射，但不是一个同态满射.

2.假定A和A对于代数运算?和?来说同态，而A和A对于代数运算

?和?来说同态.证明，A和A对于代数运算?和?说同态.

解 由题设存在A到A的一个同态满射

?1 : a?a=?1(a) a?A,a?A

并且对于A的任意两个元素a和b来说 ?1(a?b)?a?b??1(a)??1(b) 同样存在A到A的一个同态满射.

?2 ： a?a??2(a) a?A,a?A

并且对于A的任意两个元素a和b来说 ?2(a?b)?a?b??2(a)??2(b) 如下定义

? ： a??2[?1(a)] a?A

那么?是A到A的一个同态满射，因为

(i) 由于?1和?2是同态满射，所以对于任何a?A，?1(a)是A的一个唯一确定的元素，而?2[?1(a)]是A的一个唯一确定的元素，因而?是

A到A的一个映射.

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（ii）由于同一原因，对于任何a?A，存在一个元素a?A，使

?2(a)?a，并且存在一个元素a?A，使?1(a)?a，因此在?之下

a??2[?1(a)]??2(a)?a 而?是A到A的一个满射.

（iii）由于同一原因，对于A的任何两个元素a和b ?(a?b)??2[?1(a?b)]??2[?1(a)??1(b)] =?2[?1(a)]??2[?1(b)] =?(a)??(b) 而?是A到A的一个同态满射

§9．同构，自同构 1．A?{a,b,c}.代数运算?由下表给定： a b c a c c c b c c c c c c c 找出所有A的一一变换，对于代数运算?来说，这些一一变换是否都是A的自同构？

解 A 共有6（=3！）个一一变换，即 ?1 ： a?a b?b c?c ?2 ： a?a b?c c?b ?3 ： a?b b?c c?a

?4： a?b b?a c?c

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?5： a?c b?b c?a ?6： a?c b?a c?b

对于代数运算?来说，?1和?4是A的自同构，其余4个都不是.这是因为，若?i是一个A的自同构，那么对A的任何元素x和y，将有

（1） ?i?x?y???i?c???i?x???i?y??c 因而

（2）

?i?c??c

反过来，若（2）成立，那么（1）也成立.

2．A＝{所以有理数}.找一个A的对于普通加法来说的自同构.(映射x?x除外).

解 设k是任一有理数，且k?0， k?1. 那么

?： x?kx x?A

是A的一个对于加法来说的自同构，并且?显然不是映射读者可以自己证明.令x和y是A的任意x?x.?是A的一个一一变换，两个元素，那么

ky??： x?y???x??y??kx??y?kx???? ?x???y所以?是A的一个自同构.

读者可以试证，A只有以下对于加法来说的自同构

x?kx x?A， k是?0的有理数

3．A?{所有有理数}；A的代数运算是普通加法.

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