2014考研数学备考重点解析 - 第二类曲线积分的计算

2014考研数学备考重点解析——第二类曲线积分的计算

1. 计算方法 1)直接法; 2)格林公式

??Q?P??Pdx?Qdy???x??y??d?. ?C???D?3)补线用格林公式 4)利用线积分与路径无关 （1）判定:

?P?Q. ??y?x （2）计算:

a) 改换路径; b) 利用原函数

?(x2,y2)(x1,y1)Pdx?Qdy?F(x2,y2)?F(x1,y1),其中

Pdx?Qdy?dF(x,y),求原函数方法:①偏海文钻石卡视频积分;②凑微分.

2.两类线积分的联系:

【例1】计算I?【解析】 由于

C?Pdx?Qdy??(Pcos??Qcos?)ds.

C222?Cyeydx?(xey?2xy2ey)dy.其中C为y?3x从O(0,0)到A(1,1)的曲线段.

22222??(yey)?(xey?2xy2ey)?ey?2y2ey，则本题中的线积分与路径无关. ?y?x解法1 改换路径，B点为(1,0)点。

yy2y原式??OByedx?(xe?2xye)dy??222yy2yyedx?(xe?2xye)dy BA222 ?0? ?ye?10(ey?2y2ey)dy

22y210??2y2eydy??2y2eydy?3.

001212也可将路径改换为另一折线OC、CA，其中C点为(0,1)点，则 原式

??OCyeydx?(xey?2xy2ey)dy??CAyeydx?(xey?2xy2ey)dy?0??edx?e.

02222221解法2利用原函数，由于

yeydx?(xey?2xy2ey)dy?(yey)dx?xd(yey)?d(xyey)

则 F(x,y)?xye. 故

y2222222?Lyedx?(xe?2xye)dy?xye22y2y22y2y2(1,1)(0,0)?e.

【例2】设C为椭圆4x?y?8x沿逆时针方向,则 【解析】由格林公式得

C?(ey2)dx?(x?y2)dy?.

?Leydx?(x?y2)dy???(1?2yey)d?

D22???d??S

Dy2其中D是由4x?y?8x围成的椭圆域，S为其面积，海文钻石卡视频该椭圆方程可改写为(x?1)??1，

4222则其面积S?2?. 故

?Ledx?(x?y2)dy?2?.

y2【例3】计算I?(esiny?b(x?y))dx?(ecosy?ax)dy,其中a,b为正常数,C 为从点A(2a,0)沿曲线

C?xxy?2ax?x2到点O(0,0)的弧.

【解析】补线段OA，则

I??C?OA(exsiny?b(x?y))dx?(excosy?ax)dy

? ?xx(esiny?b(x?y))dx?(ecosy?ax)dy ?OAxx(ecosy?a?ecosy?b)d???(?bx)dx， ??D02a其中D为y?2ax?x2与OA围成的半圆域，则

2a0I???(b?a)d??b?Dxdx??a22(b?a)?2a2b

【例4】计算I?C?ydx?xdy122224x?y?8x?4的正向. ,其中 (1)为的正向; (2)为CCx?y?2y??22x?y2

【解析】（1）C:x2?(y?1)2?1，由格林公式得 2I???(D?Q?P?)d? （其中D为曲线C所围圆域） ?x?yx2?y2x2?y2?2)d??0. ???(22222(x?y)(x?y)D(x?1)2y2（2）C:??1，此时不能直接用格林公式，因为在(0,0)点条件不满足. 因此，作以(0,0)为中心的圆

28L:x2?y2??2(??0)且取顺时针方向，在L和C大学考研围成的环形域上用格林公式得

?即

L?Cydx?xdyx2?y2x2?y2???(2?2)d??0， 222222x?y(x?y)(x?y)Dxdx?xdyydx?xdy??Lx2?y2?Cx2?y2?0.

则 I??Cydx?xdyydx?xdy? 2222??Lx?yx?y ? ?1?2??Lydx?xdy

1?2??(?1?1)d? （这里用了格林公式）

D1 ??1?22??2??2?.

注：由本题可看出，对线积分

?ydx?xdyy?x,P?,Q?，除原点(0,0) 外，P,Q有连续一阶偏导数，

x2?y2x2?y2x2?y2且

?P?Q?,(x,y)?(0,0). 此时有以下结论： ?y?x1）沿任何一条不包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分为零. 2）沿任何一条包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分均相等. 事实上，线积分

(x?y)dx?(x?y)dy(x?y)dx?(x?y)dyxdy?ydxxdy?ydx都属于 ,?,???2?LLL4x2?y2x2?y2x2?y2x?y2这个类型.

【例5】计算I???[?(y)cosx??y]dx?[??(y)sinx??]dy,其中AMB弧为连结A(?,2)与点B(3?,4)的线段

AMB?AB的下方的任意分段光滑简单曲线,且该曲线与大学考研线段AB所围图形面积为2,

【解析】

解法1 补线段BA，则

I??AMB???AMB???BA??BA??AMBA???BA

?AMBA?Pdx?Qdy???(D?Q?P?)d?????d??2? ?x?yD直线BA的方程为：y?x??1，则

?BA?xxx1??[?(?1)cosx??(?1)]dx?[??(?1)sinx??]dx

3??????2?(1?3?)

故 I?2??2?(1?3?)??6? 解法2 I?其中

2???(y)cosxdx???(y)sinxdy???AMBAMB?ydx?dy,

(3?,4)?????(y)cosxdx???(y)sinxdy??(y)sinx(?,2)?0

ydx?dy????AMBAMBAMB?BAydx?dy??ydx?dy

BA????dxdy??(D3?x?1?1)dx?dx?6?

? 故 I??6?

2?x2?y2?1;【例6】计算I??(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz,其中C是曲线? 从z轴正向往z轴负向看去为

?x?y?z?2;C顺时针方向。

【解析】

解法1 直接法 曲线C的参数方程为：x?cost,y?sint,z?sint?cost?2，则 I???[(2?cost)(?sint)?(2cost?sint?2)cost?(cost?sint)(cost?sint)]dt

20 ??2?

解法2 斯托克斯公式;

I???(?1?1)dydz?(1?1)dzdx?(1?1)dxdy

? ??2??dxdy??2?

D解法3 化为平面线积分.将z?2?x?y代入原积分得

I??(2?x)dx?(2x?y?2)dy?(x?y)(dy?dx) （L为x2?y2?1）

L ??(2?y?2x)dx?(3x?2y?2)dy

L????(3?1)d???2?

D

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