数学建模 救援问题

湖南第一师范学院

HUNAN FIRST NORMAL UNIVERSITY

《线性规划与数学建模》

考查论文

论文题目: 紧急救援问题

组员1 组员2

姓 名 专业班级 及学号 数学班05号 分工 成绩评定 13级624分析问题、模型的陈淑月 建立及求解、撰写论文 建立及求解、撰写论文 13级624分析问题、模型的向云 数学班40号 摘要

本文研究在一定时间内运送医务人员到指定地点的优化设计问题。分析问题可将本文中的三个问题划分为三个阶段，并利用逐渐优化的模型进行求解。

第一个问题是在指定时间内完成人员的运送问题，通过分析，运用简单的计算方法就能马上得出结果：按此方案，时间超过三小时，因此他们不能按时到达。

然后针对问题二，由于题目中已给出部分条件，问题二则变成了追及和相遇问题，解决这类问题常采用分段求解法。我们通过对相遇和追及问题及其过程进行分析，得出这种方案能够使全部医护人员按时到达村庄。

针对问题三，文中详细讨论了运送医务人员的策略和方法，并进一步在问题上要求建立一个优化模型，以优化其策略，并且对其求解。在优化模型时需要采用不同于前一二题的思维方式，在改变思维方式后，会使问题变得更加清晰。我们可以在前一二题的方案上进行修改，使所用时间最短，从而得到一个最优化的方案，并建立模型代入数据求解。

关键词：紧急救援 追及和相遇 优化模型

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一、问题重述

（一）问题背景

一西部乡镇医院接到一个求救电话，该乡镇比较偏远的一个村庄发生事故，

需要紧急救援。上级领导要求该医院：派12名医护人员前往救援，并且要求医护人员在3小时内赶到。该乡镇距离医院40公里。该医院只有1辆小汽车，连同司机一次最多拉5人（司机不是医护人员），汽车的速度为60公里/小时。

（二）需要解决的问题

1）一次一次接送，12名医疗人员能否全部按时赶到？

2）为了节省时间，在汽车拉着4人走的时候，其余医护人员步行往前赶，这种方式能否赶到？假定人步行的速度为5公里/小时。

3）在没有其它辅助条件的前提下，有没有更快、更保险的方案？

二、问题分析

针对此类运送人员问题，前两个问题都可以通过建立简单的初等模型，以及采用中学的相遇和追及问题的解决方法解决。而第三个问题是要在没有其它辅助条件的前提下，要更快、更保险的把12名医护人员送到村庄，即三组人员各自到达村庄的时间要尽可能少。要解决问题三不仅要有解决一二题的思维，也需要在第二种缩短时间方案的基础上，采用更快、更保险的方案，为此可以建立一个多目标规划模型来求解。首先，我们可以将12个人分为A、B、C组。汽车载A组，同时B、C组步行前进，A组在某处下车；再次，汽车返回接B组，追上A组后，B组下车；最后，汽车返回接C组。按照此方案，只要三组同时到达村庄，则使用的时间一定比第二个方案更少。

三、模型假设与约定

1、不考虑医院安排医护人员和准备医疗物品的时间；

2、假设人上车、下车不影响车行驶的速度，并且人上下车的时间可以忽略； 3、行车过程中不受到任何障碍的影响，一直保持60km/h匀速运动； 4、不考虑汽车调头和启动的时间； 5、人的速度保持5km/h匀速前进。

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四、符号说明及名词定义

S V T 乡镇医院到村庄的距离 汽车行驶的速度 人步行的速度 汽车运送所有医护人员到达村庄所用的时间 汽车载A组医护人员到达途中某一点所用的时间 汽车运送A组医护人员到某一点后返回与B组相遇所用的时间 汽车与B组相遇后载B组医护人员到达途中某一点所用的时间 汽车运送B组医护人员到某一点后返回与C组相遇所用的时间 汽车与C组相遇后载C组医护人员到达村庄所用的时间

五、模型建立及求解

问题一： 1.问题分析

对于问题一的一次一次接送，为了判断12名医护人员能否在规定时间内到达村庄，需求出12名医护人员全部到达村庄的总时间。因为汽车每一次只能载4名医护人员，将这12名医护人员分为3组，所以汽车把这3组人员全部送到村庄需要行驶5个医院与村庄之间的距离，再除以汽车行驶的速度即可。

2.模型建立：

3.模型求解：将已知量和代入可求得

4.模型解释：由于T的值大于3，所以一次一次的接送12名医护人员不能全部达到。

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问题二：

为了方便求解，建立了如下图形：

如图：汽车先载A组医护人员，B、C组与汽车同时出发步行前往。汽车将A组医护人员送到后返回，与B、C组医护人员在途中M点相遇，紧接着载B组人员前往村庄，C组人员继续向村庄步行。汽车送到B组后返回与C组在K点相遇，并将C组送到村庄。

当Ａ组人员到达村庄时，汽车行驶所花时间为小时，与此同时，B、C组医护人员已经向前走了

公里。汽车将A组医护人员送到后返回与B组医护人员

小时，所以汽车将B组医护人员送到村庄需

公里，汽车返回与

在途中K点相遇所需时间为

小时，此时，C组一共向前走了

C组在K点相遇，并将C组送到村庄需员全部到达村庄共需时间为

将已知数据代入得，

+

小时。最后，C组人

小时。

小时3小时，即采用此种

方式12名医护人员可以全部在规定时间内到达村庄。

问题三：

分析思路：首先，汽车载A组人员前往村庄，与此同时，B、C两组的医护人员步行前进。汽车将A组医护人员载到途中某个位置，此时A组医护人员下车向前步行；汽车返回与B、C组人员相遇，然后载B组人员前往村庄，C组人员继续步行。汽车载B组医护人员到途中某个位置，B组人员下车步行；汽车返回

4

与C组人员相遇并载C组人员直到村庄。照此方案，一定比第二题的方案用时少，若三组人员同时到达村庄，则一定用时最少。所以，关键是确定A组医护人员在何处下车，也就是确定。

为了方便求解，建立了如下图形：

A组的行程为：V+同理，B组行程：V+C组行程：V+

由??、??可求得：再把?代入?得：

而完成整个过程所用时间T=将?、?代入?，得：最后结合图形有：

+

化简得：再由?、?得：

+

=40 ? =40 ?

=40 ? ?

，即

?

?

?

=40

? ?

小时

最后将?代入?，得：

故，模型优化后，在2小时内可将全部医护人员送往村庄。

六、模型检验

问题一提供的方案所用时间为大于3，所以一次一次的接送12名医护人员不能全部达到，此方案不可行。

问题二提供的方案所用时间为2.7495＜3小时，即采用此种方式12名医护人

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员可以全部在规定时间内到达村庄，此方案可行。

针对问题三，我们提出的优化方案大约只需花1.91＜2.7495小时，且三组同时到达，方案最优。

七、模型评价

（一） 优点

根据问题给出的条件并给予适当的假设，利用数学知识建立适当的模型，使模型更加准确，具有很强的实用性和可行性。

（二） 缺点

模型太理想化，没有考虑实际情况的问题，如人上下车消耗的时间、汽车加减速时的加速度等。

（三） 改进方法

在建立模型时，应该考虑人上下车消耗的时间、汽车加减速时的速度变化以及汽车调头所消耗的时间等实际问题。还有一个值得强调的是，在行车过程中，上下车的次数越多，所浪费的时间也会更多，方案的可行性也就下降了。如果我们将这些因素考虑进去，则会使模型更加完善，更切合实际。

八、模型推广

此模型的实用性很强，在生产及生活的人员调度及分配的决策中可以起到十分有价值的参考。在解决此类运送人员的问题时，可利用此模型，代入数据求得多组能够按时到达目的地的方案，再从中选取运送人员所耗时间最短的最优方案。

九、参考文献

[1] 杨启帆、谈之奕、何勇编著，数学建模，杭州：浙江大学出版社，1999年版。 [2] 姜启源主编，数学模型，北京：高等教育出版社，1987年版。

[3] 李大潜主编，中国大学生数学建模竞赛，北京：高等教育出版社，1998年版。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/sppo.html