培优数学必修1-3指数对数

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第三章 基本初等函数（Ⅰ）

3、1、1 实数指数幂及其运算

第一部分 走进复习

【预习】试回答下列问题1、a的n次方根的定义2、根式的定义3、分数指数幂的意义 4、无理指数幂的意义

第二部分 走进课堂

【 复习 】1、初中指数幂的定义 2、初中指数幂的运算律

问题：当指数m、n是有理数和实数时，初中那些指数运算律还成立吗？ 【探索新知】

1、a的n次方根的定义

的立方根在初中，(?2)2?4??2是4的平方根， 3?27?3是27

(-4)3?-64?-4是64的立方根， 02?0?0是0的平方根3的七次方根 于是：(?2)4?16??2是16的四次方根 2?128?2是128(-3)5?243?-3是243的五次方根

于是我们得到a的n次方根的定义：①当n是正奇数时，a的n次方根记作na，例如：7128?2，5?243??5 ②当n是正偶数时，x?a是非负数，a的n次方根记作na(a?0)

例如：529?23，6729?6 其中，na(a?0)是a的非负n次方根。

特别地，（1）n0?0，（2） 负数没有偶次方根。再如：16的四次方根为：?416??2，90?0，?6729??32、根式的定义 式子na叫做根式，例如：3?27，34，n0，3，3?27，57等都是根式。

n7[①当n是正奇数时，na是a的n次方根 例如：3?27是?27的三次方根，57是7的五次方根。 ②当n是正偶数时，x?a是非负数，na(a?0)是a的n次非负方根， 一个正数a正的方根na叫做正数an次算术根。

例如：416?2是16的四次算数根，5是5的二次算数根（算术平方根）

3n7是7的三次算数根

?显然有公式：(na)n?a（n?N,n?1）当n是正偶数时，a?R 当n是正偶数时，a?0 23例如：(32)3?2，(5?27)5??27 问题：nan?a吗？例子：计算(?3)，424，3(?3)，525

于是可以得到结论：

2232再计算：3(?8)，(?10)，(3??)，(a?b)(a?b)

练习：当a?0时，求下列各式的值 （1）5a10 （2）3a12 （3）7a28

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3、分数指数幂的意义上面的练习说明：

①当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式。

②推广一下，当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。

[来源:学#科#网Z例如：当a、b、c?0时，a?a，b?b，4c?c又由于a?n322312554x k b即

nam?a(a?0,m、n?N?)

?mn?mnmn1?n，所以，可以推广为 an?a2m1nam(a?0,m、n?N) 0?0，01.4无意义。

4、无理数指数幂的意义 例如：3可以看做是：3、31.41、31.414?的逼近值。

指出：有了分数指数幂和无理数指数幂的意义后，整数指数幂运算律便可以推广为实数指数幂的运算律。

aman?am?n，

(a)?amnmnam?am?n， na?n(ab)m?ambm，

mnamam()?mbb1n

，a1?n， an?amam， a?n? 其中：a、b?0，m、n?R

ma第二部分 走进课外

[检测]

1、用根式的形式表示下列各式(a?0) （1）a= （2）a= （3）a2、用分数指数幂的形式表示下列各式：

1534?35= （4）a?85???32=

m2（1）xy= （2）?m43?13?2?x3?x(m?0（)3）???3ab2?= （4）???ab?33= （5）a?4a= ；

652（6）aaa = （7） a?a? （8）a3?3a2? （9）aa? （10） 3pq? 3、求下列各式的值

1?316?4()（1）8= ；（2）100= ；（3）= ；（4）()= 481

2333?2536（5）273= ；（6）()2= ； (7）()2= ；（8）252= 449?23123

?25?（9）???4?4.化简

13????32= （10）?1?3?= （11）64? （12）[(?2)]=

????2??21223?12（1）a?a?a34712? （2）a?a?a? （3）3a?(?a)?9a?

32345632341121??1??8a?3?3x3?2x3?) = （6）2x3?（4）= （5）( = 6??23227ba?a??a2?（7）?ab??5.计算

856?5?????12?5a4?5b3?a?0,b?0?= （8）(2ab)(?6ab)?(?3ab)= 231212131656（1）325?125?45 (2) 23?31.5?612 2 / 23

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（3）()?1?4?(?2)?3?()0?912141?2 （4）?2??20?3??4?0?2?1???2??4??12??0.01?

0.5?7?（5）?2??9?0.5?10??0.1??2??27??2?2341??32373?0.75?3?? （6）(?3)3?0.042?[(?2)]3?16

488（7）0.0271?3?1??????256?3?1??7??13?234?0?1??1??2?1 （8）???????4??66??43??2?13?3?2?1.030?60.5

3?2（9）?0.064?1?3?7?3???????2??8?00???160.75??0.01

2312（10）1.5?6??????80.25?42??7?3?3?2?2?3????

?3?6?6.解下列方程 （1）x???131?（2）2x4?1?15（3）x4?2x2?24?0（4）3x?2?3x?2?80?0（5）(0.5)1?3x?42x?1 834?35一.填空题

1.若a?0，则a和a2.使式子(1?2x)m?34用根式形式表示分别为 和 ，ab和

a65m3mb用分数指数幂形式表示分别为 和 。

?13a?2b有意义的x的取值范围是 . 3.若3?2，3?5,则33m?n2的值= .

4.已知10?3,10?2，则10 6.计算0.027

?13n的值为 . 5.若10x=3,10y=4,则102x－y=__________.

2?1?1?21－23－104abab－(－)+256－3+(2－1)=____ 7.化简?()3=__________. 17?ba33a2b8.设α、β为方程2x2+3x+1=0的两个根，则(

－3

1α+β

)=____. 412?122x?5，则?1的值是 x9.已知x+1=a(a为常数)，则a－2ax+x=______.若x?x10.(1).已知a?a?12－3－6

12?122?2?3，求下列各式的值（1）a?a?1= ；（2）a?a= (2).若a?a?3，求下列各式的值：（1）a?a三、解答题(共28分)

12?12= ；（2）a?a= ；

32322?212.(8分)化简

x?1x?x?112313?x?1x?1113?x?x1313. 13.(10分)已知x?x121?2?3,求

x?1x?x?2的值.

x?1?x?3??1n14.(10分)已知x=(5?5n),n∈N*,求(x+1?x2)n的值.

2二.选择题.

1、 a?R，下列各式一定有意义的是（ ） A.a B. a C. a D. a 2、 a?R，下列各式一定有意义的是（ ） A. (?2) B.a 3、 下列各式计算正确的是 （ ）A. (?1)?1 B.a?a?a

0122?214230a?2C. a D. a

2323?132332C.4?8 D. a?a?a

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4、若a?0，且m,n为整数，则下列各式中正确的是 （ ） A、a?a?a B、

236mnmna?a?amnm?n C、a??mn?am?n D、1?an?a0?n

5、下列运算结果中，正确的是（ ） A．a?a?a B．?a26.下列各式中成立的是（ ）

?????a? C．?332a?1?1 D．?a243334?0??3??a6

3?n?A．???n7m7

?m?71B．

12??3?4??3 C．x?y??x?y? D．

3239?33

31?b?22235657.下列各式成立的是（ ） A.m?n??m?n? B.???ab C.??3????3?3 D.

?a?338.将52写为根式，则正确的是（ ）A．352 B．35 C．5 D．53

2514?2

1329、化简?3??5??的结果为（ ） A．5

34????B．5 C．?5

D．-5

D、－5

10、化简［3(?5)］的结果为（ ） A、5 B、5 C、－5 11.与a?2341的值相等是（ ） A. a B. ?a C. ?a D. ??a a11?1212、已知a??3，则a?a2等于（ ） A．2 B．5 C．?5 D．?5

a?x313、化简的结果是（ ） A．??x B．x

x14、下列各式正确的是（ ） A.a?35C．?13x D．?x

?13a5 B.x?x C.a?a?a32321214?18?a111??(?)2482?1143 D.2x(x?2x3)?1?

2x?115、根式

a??1（式中a?0）的分数指数幂形式为（ ）A.a3 B.a3 C.a4 D.a4 a2443316.化简［3(?5)］的结果为 A.5

334 B.5 C.－5

12

13 D.－5

?1217.将?22化为分数指数幂的形式为A.?2 18.下列等式一定成立的是 A.a?a=a B. a19.下列命题中，正确命题的个数为

1332?1212B.?2 C.?2

13D.?2

1656

?a=0 C.(a)=a

43329

D.a?a?a

122①a=a ②若a∈R,则(a－a+1)=1 ③3x?y?x?y ④3?5?6(?5)

nn2043A.0

2x

B.1 C.2 D.3

B.2－22 C.22+1

D.

a3x?a?3x20.若a=2－1,则x等于( ) A.22－1 ?xa?a21.使代数式(|x|－1)

?132+1

有意义的x的取值范围为 A.|x|≥1 B.－11 D.x≠±1

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3、1、2 利用指数运算律解题

第一部分 走进复习

【 复 习 】指数运算律

第二部分 走进课堂

【探索新知】

16?例1、求下列各式的值 8 100 ()481?231212131623123k b1 . co m

1433?82例2、计算下列各式 （1）（2a?b）（?6a?b）÷（?3a?b） （2）(m?n)例3、根式的运算要化为分数指数幂的运算 （1）练习：

1、计算下列各式（x?0、y?0、z?0）

??y?1?133344（1） （2）（ x?y?z)(x?y?z)111?15(?x?1?y2)(?x3?y6)4656?m2?16?(3) n3a5a3a?3a2 （2）481?381 （3）aaa?a （4）23?31.5?612

5x?23122131K B 12、求a?a?3?3923a?7?3a13的值

x k b 1 . c o m

第三部分 走向课外

【课后作业】

1、计算下列各式

2?3?616s2t?6?2（1）（4a?b）÷（?a?b） （2）()

25r43?2313153（3）(?2x?y14?13)(3x

?12?y)(?4x?y) （4）4x(?3x?y)÷(?6x2314231414?13?12?y)

?23

2、化简下列各式（1）(34[来源:学#科#网]2515?125)?45 （2）

a2a?3a2 （3）[a?8ab4b?2ab?a233234313?(1?2?3b3)]?a a

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3、2、1 指数函数 第一部分 走进预习

【 预 习 】试回答下列问题

1、指数函数的定义 2、指数函数的图象 3、指数函数的性质

w 1.c o m

第二部分 走进课堂

【 复 习 】1、什么是函数？ 2、指数运算律 问题：我们已经学过哪些具体的函数？ 【探索新知】看下面的例子

1、一个细胞每次分裂时，由一个分裂为2个，经x次分裂得到的细胞数为y，求y与x的关系式。

2、一种放射性物质不断地衰变为其它物质，没经过100年剩留的质量为原来的84%，经过x年这种物质的剩留量为原来的y倍，求y与x的关系式。 问题：例子1、2中两个函数有什么共同特点？ 一、指数函数的定义

下列函数哪些是指数函数？ y?2x，y?()，y?3x，y?()，y?2x?1，y?()?5 二、指数函数的图象 例如：画出y?2x，y?()的图象 三、指数函数的性质

1、定义域： 2、值 域：

问题：当自变量x取遍所有实数时，函数值y取遍什么？ 例子：①求下列函数的定义域

212x13x12x12xy?2x?1，y?()?x?1133?x，y?1?ax(a?0且a?1)

1x②求下列函数的值域 y?2， y?2

x2?2x3、图象都过定点（不管a是什么值）：例如、函数y?a例如：比较下列各数与1的大小关系。25、单调性：

（1）判断下列函数的单调区间 y?2x（2）比较大小 2.1?3.20.12?5(a?0且a?1)过定点___________ 1?2， ()

10012， 211001， ()2122?2x， y?()?3x2?2x

与2.1， 0.8与0.8

x?2思考题：对于指数函数y?a(a?0且a?1)，在第一象限内a越大时，图象越往上还是越往下?

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3、2、2 利用指数函数单调性解题

第一部分 走进复习

【 复 习 】1、指数函数的定义、图象和性质 2、练习:

[来源:学（1）求函数y?2?3x?1的定义域和值域 （2）已知函数y?a?x（3）比较大小 222?4x?1(a?0且a?1)过定点，求出定点坐标。

13.1211?2与0.2，()与()2100

第二部分 走进课堂

【探索新知】指出：这一节课我们来研究用指数函数的单调性解题

例1、比较下列各组数的大小

364?50.30.2（1）1.7与1.7 （2）()与() （3）a3与 a2(a?0且a?1)（4）1.7与1.8

342.53.11111例2、解不等式 （1）2x2?3x?4x （2）4x?2x?1?8 （3）a2x?x?a2x?1 (a?0且a?1)

2例3、确定下列函数的单调区间 （1）y?2x2?4x （2）y?2x2?4x?x2?2x （3）y?()12x2?2x?1 (a?0且a?1)

我们再来看：求y?2单调区间的逆向思维

例1、 已知f(x)?ax2?4ax(a?0且a?1)在(3,??)上是增函数，求实数a的取值范围。

利用指数函数的单调性还可以求一些函数的值域 例5、求下列函数的值域

（1）y?2x?1(0?x?1) （2）y?()12x?1来（3）y?9?x2?2x （4）y?2x?1?4x

第三部分 走向课外

1、解方程：32、函数y?3x?2?32?x?80

的单调递减区间为_________. 函数y?()x2?2x?3?|x?1|12?x2?2|x|的递增区间为__________

3、解不等式 （1）2?x1、 求函数y?221?()3(x?1) （2）9x?6x?2?4x 2?4x?7的值域。

x6、已知对一切?1?x?2，不等式()122?2x?a?0成立，求实数a的取值范围。

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3、2、3 指数函数图象的相关问题

第一部分 走进复习

【 复 习 】1、指数函数的定义、图象和性质 2、利用指数函数性质解题

（1）求下列函数的定义域和值域

1y?()x?3，y?2?3x?1(0?x?1)，y?2?2x?1

（2）填空：y?1?ax?1(a?0且a?1)过定点____。 （3）解不等式：4?2xx?1

2（4）确定函数的单调区间 y?2?x（5）比较2.1

?4.2?2x， y?4x?2x?1

与3.6?1.4的大小。

第二部分 走进课堂

指出：掌握指数函数的图象，画好指数函数相关函数的图象，可以解决许多问题。 【探索新知】

例1、分别在同一直角坐标系下画出下列函数的图象 （1）y?2x y?2x?1 y?2x?2

（2）y?2 y?2?2 y?2?1 问题：从例1看，你能得出什么结论呢？ 1、y?23x?1xxx的图象向右平移2个单位，得到函数____________的图象。

xkb1.com2、函数y?f(2x?1)的图象向左平移3个单位，得到________函数的图象。 3、函数______________的图象向右平移2个单位，得到函数y?34、函数y?23x?52?5x的图象。

的图象经怎样的平移变换，得到函数y?23x?4的图象？

[来源:学_科_网]例2、画出下列函数的图象

（1）y?2 （2）y?2（4）y?21?|x|x1?x （3）y?2?|x|

（5）y?2?|x?1| （6）y?|2?1|

x

学会画上面函数的图象，就可以解决方程根的个数问题： 例3、判断下列方程根的个数

1?x（1）2?x?1 （2）2?5?|x| （3）3x?|x|?x2

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第三部分 走向课外

【作业】 1、填空：

（1）y?24x?3?6的图象向左平移2个单位，得到函数____________的图象。 （2）函数______________的图象向右平移3个单位，得到函数y?55?2x?1的图象。

[来源:学科网]（3）要得到y?55x?1的图象，只需将函数y?55x?3的图象向_______平移_______个单位。 2、判断下列方程根的个数。 （1）31?x?x?5 （2）3|x?1|?2x?5

3、3、1 对数的定义 第一部分 走进复习

【 复 习 】1、指数函数的定义、图象和性质 2、指数运算律。

第二部分 走进课堂

例子：一种放射性物质不断地衰变为其它物质，每经过100年该物质的质量变为原来的84% （1）经过x年该物质的质量变为原来的y 倍，写出x与 y的函数关系式。 （2）经过多少年该物质的质量变为原来的一半？

指出：已知幂、底数，求指数的运算叫做对数运算。

【探索新知】 （一）对数的定义 公式（1）ab?N?logaN?b(a?0且a?1) 例1、指数式化成对数式

新课标第一

210?1024， 35?243， 73?343，et?2, 10?3?指出：常用对数和自然对数的概念。

110x，10?,a?1，aa?a(a?0且a?1) 10002①以10为底的对数叫常用对数，log10x简写为lgx ②以e为底的对数叫自然对数，logex简写为lnx 公式（2）loga1?0， logaa?1[来源:Z,xx,k.Com（3）alogaN?N

例2、对数式化为指数式 （1）log2x121?? lg10? ln2?t lg5?x

222（2）已知ln(2x?1)?1 lg2(?1)?2 分别求出x的值。 例3、求对数的值

[来源:学科网]

（1）log28（2）log381（3）log116（4）log127 （5）lg2311ln21log7log3（6）22（7）()2（8）()

41000e第三部分 走向课外

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思考题：

1、已知log23?x，log25?y，log215?A,log23?B,问：A与x、y，B与x、y关系如何? 5xkb1.com2、已知log23?x，log29?C，问: C与x关系如何？ 3、计算 （1）log1001000,

lg1000log21000log2128lg128

, （2）log32128，，

lg32lg100log2100log232由上面1、2、3，你能得出什么结论呢？

3、3、2 对数的运算法则和换底公式

第一部分 走进复习

【 复 习 】1、对数的定义

2、上一节中①log215与log23，log25②log2分别有怎样的关系？

[来源:学科网.K]3与log23，log25③log29与log23 5由此可以猜出怎样的结论？

第二部分 走进课堂

【探索新知】

（二） 对数的运算法则

（1）logaMN?logaM?logaN （2）loga指出：上面公式在进行对数运算时经常用到。

xkb1.comM?logaM?logaN（3）logaMn?nlogaM Nx2?yxy例1、用logax、logay、logaz表示下列各式 （1）loga （2）loga

3zz例2、求下列各式的值 （1）log2(47?25) （2）lg5100 指出：注意公式的逆用 例3、化简下列各式 （1）

111lg25?3lg32 （2）log25?log2 22100问题：在上一节中log1001000与（三）换底公式 （1）logaN?lg1000log21000log2128lg128

、各有什么关系？log32128与、呢？

lg32lg100log2100log232logbNnnn （2）logab?logba?1 （3）logamb?logab （4）loganb?logab

mlogba[来源:学+科+网]例4、化简下列各式（1）

log52?log79log2716（2）log29?log8116（3）(log43?log83)(log32?log98)（4）

1log34log5?log7443

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3、3、3 对数公式的运用 第一部分 走进复习

【 复 习 】 1、对数的定义 2、运算法则 3、对数的换底公式

第二部分 走进课堂

【探索新知】例1、选择题: 已知a、b、c都是正数，3?4?6则（ ） （A）

abc111221?? （B）??cabcab[来源:学科（C）

122212?? （D）?? cabcab例2、计算 (1) 7lg203?5?3?511?()lg0.7（设x?7lg20?()lg0.7 (2) log9 226例3、已知log67?a，log34?b，试用a、b表示log1421 例4、解下列方程 （1）3?2xx?1（精确到0.01）(2) log4(3?x)?log0.25(3?x)?log4(1?x)?log0.25(2x?1)

w w 例5、解不等式: 9log3x?7log49x?12?0

2第三部分 走向课外

【作业】

1、 用对数公式计算 (1) 1011?lg9?lg22?1001?lg22 (2)

251log65?491log87

2、填空: 解下列方程

（1)2logx25?3log25x?1 , (2)logax?loga2x?loga4x?223(a?0且a?1), 4xkb1.com(3) log2(x?1)?log4(x?1)?5 , (4) lg(x?4x?26)?lg(x?3)?1, (5)

3lgx?2?3lgx?4?0,

3、已知log32?a，log25?b，试用a、b表示lg3

4、设f(x)的定义域为(0,??),且f(x)?3f()?lgx 解方程f(x2)?f(x2?1)?lg420?0 5、已知2log21x?14log4x?3≤0 ，求f(x)?log221xx?log22x的最大值和最小值. 2

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3、4、1 对数函数的定义、图象和性质

第一部分 走进预习

【 预 习 】回答下列问题:1、对数函数的定义 2、对数函数的图象 3、对数函数的性质

第二部分 走进课堂

指出：这一节课我们来研究对数函数的定义、图象和性质。 【探索新知】例子：

生物体内碳14的的半衰期为5730年，设一种出土文物中生物化石中每个碳14含量为原来的x倍，这种出土文物中生物死亡的时间为y年，试写出x、y的关系式。 （一） 对数函数的定义

问题：1、y?log2(x?1)、y?2log0.1x、y?log3x?5等是对数函数吗？

2、已知f(x)?log2x、g(x)?log1x，求

2（1）f()、f()、f(1)、f(2)、f(4)（2）g()、g()、g(1)、g(2)、g(4) （二）对数函数的图象 画出下列函数的图象 （1）y?log2x （2）y?log1x

214121412（三）对数函数的性质

1、定义域：2、值 域：问题：当自变量x取遍所有实数时，函数值y取遍什么？ 例1、求下列函数的定义域和值域

（1）y?log2(3?x) （2）y?log2(x?3x?2) 3、图象都过定点（不管a是什么值）：

例2、函数y?loga(3?x)、y?loga(x2?3x?1)?5(a?0且a?1)过定点，求出它们的定点坐标。 4、当x?1和0?x?1时分别指出函数值y的范围。 5、单调性：例3、比较大小

（1）log20.1与log0.10.82 （2）log0.12.5与log2.11.2 （3）log20.1与log20.82 （4）log0.12.5与log0.11.2

思考题：对于指数函数y?a(a?0且a?1)，在第一象限内a越大时，图象越往上还是越往下?

x[来源:学_科_网]2

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3、4、2 利用对数函数单调性解题

第一部分 走进复习

【 复 习 】1、对数函数的定义 2、对数函数的图象 3、对数函数的性质

第二部分 走进课堂

指出：对数函数的性质1、2、3、4、5中最重要的是单调性，利用对数函数的单调性可以解决许多问题。 【探索新知】 例1、比较大小

（1）log23.4与log28.5 （2）log0.31.8与log0.32.7 （3）loga5.1与loga5.9（a?0且a?1） （4）log3?与log20.8 （5）log67与log76 反之，（1）log3m?log3n （2）log0.1m?log0.1n试分别比较m、n的大小。

例2、解不等式 （1）log2(x2?2x)?3 （2）log2x?log2(x2?3x) （3）logax?loga(x2?3x)(a?0且a?0) 对（2）来说，若log2x?log4(x2?3x)结论又如何？ 例3、确定下列函数的单调区间

（1）y?log2(x?1) （2）y?log1(x?x?2) （3）y?log3(?x2?4x)

32w w w （3）logam?logan（a?0且a?1）

反之，在已知函数的单调区间时便有其逆向思维问题：

例2、 已知函数y?loga(2?ax)在[0,1]上是减函数，求实数a的取值范围。 问题：若y?loga(2?ax)在[0,1]上是单调函数，结论又如何？ 已知函数

y?log1(x2?ax?a?5)在(??,1)上是增函数，求实数a的取值范围。

2第三部分 走向课外

1、解不等式

（1）log2(x?2x?3)?0 （2）log2(x?1)?log4(x?3x) （3）log3(3x?1)?log3(2?x)?log3(x?3) 2、确定下列函数的单调区间

（1）y?log2(x?1)?3 （2）y?log1(x?2x?3)

22223、已知函数y?loga(?3x?a)在(??,)上是增函数，求实数a的取值范围。 4、已知函数

16y?log1(?x2?ax?3)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围。

2

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3、4、3 利用对数函数单调性求函数定义域和值域

第一部分 走进复习

【 复 习 】基本知识：对数函数的定义、图象和性质

1、确定下列函数的单调区间 （1）y?log2(|x|?1) （2）y?log2(?x2?2x) 2、已知函数y?log2(|x?a|?1)在(1,??)上是增函数，求实数a的取值范围。 3、已知函数y?log2(ax2?2x)在(1,2)上是减函数，求实数a的值。

第二部分 走进课堂

指出：这一节课我们研究利用对数函数的单调性求函数定义域和值域的问题。 【探索新知】

例1、求下列函数的定义域和值域

1y?log2(x2?3x?2), y?log2(x2?x?), y?log2(x2?2x?1) ,y?log2(?x2?2x?3)

22变式：1、让对数的底数带有x。 例如：求y?log(x?4x)的定义域。 x?52、对例1（2）限制x，求函数的值域。 例如：求函数y?log2(x?x?)(1?x?2)的值域。 3、我们还可以联系二次函数和指数函数等，

（1）求函数y?log4(4x?2x?1)的定义域。求函数y?log2x?log28x(4?x?8)的值域。

xkb1212若已知函数的定义域和值域，就有其逆向思维问题：

例2、已知函数y?log2[(a?a)x?3ax?1]的定义域为R，求实数a的取值范围。当然也可以让定义域不是R

22例如：已知函数y?log2(ax?bx?1)的定义域为(?2,3)，求实数a、b的值。

例3、已知函数y?log2[(a?a)x?3ax?1]的值域为R，求实数a的取值范围。当然也可以让值域不是R

222例如：已知函数y?log2(ax?x?1)(x?R)的值域为(??,1]，求实数a的值。

2我们还可以在已知函数的值域时，求函数的定义域。 例如：已知函数y?log4(4?2xx?13求这个函数的定义域（定义域有许多，要范围最大的一个）。 )的值域为(??,]，2第三部分 走向课外

1、求下列函数的定义域 （1）y?log2(?x?4x) （2）y?log4(?4?22、求下列函数的值域

（1）y?log2(x?1)?3(7?x?15) （2）y?（3）y?log7(6?5x?x)(?3?x?0)

xkb1.c2xx?1?3)

lg2x?lgx2(100?x?1000)

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3、已知函数y?lg2x?lgx2的值域为(0,3)，求这个函数的定义域（若定义域有许多，要范围最大的一个）。

4、已知函数y?log2(ax2?bx?3)的定义域为(?1,3)，求实数a、b的值。 5、已知函数y?log2(x2?x?a)(x?R)的值域为[?2,??]，求实数a的值。

3、4、4 对数函数图象的相关问题

第一部分 走进复习

【 复 习 】基本知识：函数图像的平移变换、对称变换和翻折变换。 1填空：

（1）y?log2(4?5x)的图象向左平移3个单位，得到函数____________的图象。 （2）函数y?f(3x?1)的图象向右平移2个单位，得到________函数的图象。

[来源:Z,xx,k.Com]

2、函数y?log4(2x?3)的图象经怎样的平移变换得到函数y?log4(2x?5)的图象？ 3、函数y?f(1?3x)的图象经怎样的平移变换，得到函数y?f(?3x?4)的图象？ 4、关于对称变换

（1）已知函数f(x)?log2(3x?1)，分别求出y?f(x)关于x轴、y轴、原点、x??1、y?2，点(?1,2)对称图象对应点函数解析式。

（2）已知两函数图象，找出图象对称变换。

例如：y?f(1?x)与y?f(x?1)，y?log4(2x?3)与y?log4(?2x?3)等。 5、如何判断方程根等个数？ （1）4?1?x （2）3x?|x|?x2?4

新课 第二部分 走进课堂

问题：若把两方程中的指数式变为对数式 例如：log2|x|??x， log2(?x)?1?x?0 方程根的个数又如何判断呢？ 为此，我们先来画和对数函数相关函数的图象。 例1、画出下列函数的图象

（1）y?log2x （2）y?log2(?x) （3）y??log2x （4）y?log2|x| （5）y?|log2x| （6）y??log2(?x) （7）y?log2(x?1) （8）y?log2x?1 （9）y?log2(1?x) （10）y?log2(|x|?1) （11）y?log2|x?1| （12）y?|log2x?1| 指出：画函数的图象 1、最基本的方法是描点法

:Z*xx*k.Com]22、要用图象变换知识。

注意：函数y?log2|x|的图象关于直线x?0对称，函数y?log2|x?1|的图象关于直线y?log2|x?1|对称，我们进一步可以解决问题：已知函数y?log2|ax?1|图象关于直线x??2对称，求a的值。学会画上面函数的图象，就可以解决方程根的个数问题：

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新

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例2、判断下列方程根的个数 （1）lgx?3?x （2）log2(x?1)?x?3

第三部分 走向课外

1、判断下列方程根的个数。 （1）|log2(x?1)|?x?3 （2）32、已知方程|log2(x?1)|?4?a有两个实数根，求实数a的取值范围。

|x?1|?2x?5

ex?e?x?x?1?0 （2）log2(?x2?2x?3)?x?1?0 思考题：判断下列方程根的个数 （1）x?xe?e（3）log21?x?x?1?0 http://www.xkb1.com 1?x3、5指数函数与对数函数的综合问题 3、5、1指数函数与对数函数与函数的奇偶性（1）

第一部分 走进复习

【 复 习 】指数函数、对数函数的定义、图象和性质。 问题：指数函数、对数函数具有奇偶性吗？

指出：虽然指数函数和对数函数不具有奇偶性，但是我们可以根据指数函数和对数函数造出具有奇偶性的函数。 例如：1、判断函数的奇偶性

（1）y?2?2 （2）y?2?2x?xx?x

2（3）y?lg|x| （4）y?lg(x?1)

x2、已知f(x)?e，f(x)可表示为一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)和h(x)。

第二部分 走进课堂

下面我们再来看几个比较复杂的例子： 例1、判断函数的奇偶性 （1）f(x)?1?23?x2h(x)?log(x?x?1) g(x)?log （2） （3）aax3?x2?12x?32g(x)?log （2） （3）h(x)?loga(x?1?x) axx?32?1新问题：下列函数具有奇偶性吗？

（1）f(x)?1?xk下面看一看例1的逆向思维：

例2、已知下列函数都是奇函数，分别求出实数a的值。 （1）f(x)?1?aax?b2(a?R)g(x)?log(a?0) （2）（3）h(x)?lg(x?x?a)(a?R) axx?32?1指出：利用例1中的几个函数，还可以编出下面的问题：

2)?x3(a?R)，且f(?7)??243，求f(7)。 x2?13?x我们还可以编出单调性问题：例4、判断函数f(x)?loga的单调性，并用函数单调性的定义证明。

3?x例3、已知f(x)?ax(1?

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3、5、2指数函数与对数函数与函数的奇偶性（2）

第一部分 走进复习

【 复 习 】函数图象对称变换知识 1、一个函数图象自身对称。2、两个函数图象的对称。

第二部分 走进课堂

[来源:学+科+网Z+X+X+K]

指出：本节课研究一下与函数奇偶性及函数图象对称变换相关的几个问题。

1、已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x?2)??1，当0?x?1时，f(x)?4x?1，求f(log215)

f(x)2、已知f(x)是定义在R上的奇函数y?f(x)的图像关于直线x?1对称，且当0?x?1时，f(x)?2x?1，求f(log124)

2问题：若题中“定义在R上的奇函数y?f(x)的图像关于直线x?1对称”改为“函数y?f(x)的图像关于直线

x?1及x?2对称”，此问题又如何解决呢？

1、已知定义在R上的奇函数y?f(x)的图像关于点(?1,2)对称，当0?x?1时，f(x)?2x?9，求f(log215)。

网Z。X。X。K [来源学。科。2x2、已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)?f(x?2k)(k?Z)，当x?(0,1)时，f(x)?x

4?1（1）当2k?1?x?2k?1(k?Z)时，求y?f(x)的解析式。（2）证明：f(x)在(0,1)上是减函数。

3、5、3指数函数、对数函数与二次函数

第一部分 走进复习

【问 题】在研究二次函数时，我们学会了解决哪些问题？ 练 习：求下列函数的值域

（1）y?x2?2x?3（2）y?x2?2x?3(x?0)（3）y?x?2x?3(21?x?8) 2第二部分 走进课堂

指出：本节课研究一下二次函数与指数函数、对数函数的交汇问题。 1、求下列函数的值域 （1）y?4?22、求y?4?a?2xx?1xx?1?3 （2）y?4x?2x?1?3(?1?x?3)

[来源:Z,xx,k.Com]?3(?1?x?3)的最大值。3、求y?4x?2x?1?3(a?x?a?1)的最小值。

2xx4、已知a?0且a?1，y?a?2a?3(?1?x?3)的最大值为45，求a的值。

xx?14、 已知函数y?4?a?26.知函数y?4?2xx?1?3(?1?x?3)的最大值为45，求a的值。

?3(a?x?a?1)的最小值为?4，求实数a的取值范围。

第三部分 走向课外

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1、求下列函数的值域 （1）y?lgx?lg(10x) （2）y?lgx?lg(10x)(2、求函数y?lgx?lg(ax)(1?x?10) 101?x?10)的最小值。 103、求函数y?lgx?lg(ax)(10m?x?10m?2)的最大值。

1?x?10)的最大值为2，求a的值。 1011?x?10)的最小值为?，求实数a的取值范围。 5、已知函数y?lgx?lg(ax)(1041?x?10)的最大值为2，求a的值。 6、已知函数y?logax?loga(10x)(a?0且a?1,104、已知函数y?lgx?lg(ax)(3、5、4抽象函数的单调性和奇偶性

第一部分 走进复习

【复 习】y?kx(k?0)，y?ax，y?logax(a?0且a?1)的性质。 问题：1、对于正比例函数f(x)?kx，f(x)?f(y)?f(x?y)(x、y?R)

正比例函数具有单调性和奇偶性，那么满足：f(x)?f(y)?f(x?y)(x、y?R)的函数f(x)具有单调性和奇偶性吗？

2、对于指数函数f(x)?ax(a?0且a?1)，f(x)?f(y)?f(x?y)(x、y?R)，指数函数具有单调性，那么满足f(x)?f(y)?f(x?y)(x、y?R)的函数f(x)具有单调性吗？

3、对数函数f(x)?logax(a?0且a?1)满足：f(x)?f(y)?f(x?y)(x、y?R)，对数函数具有单调性，那么满足f(x)?f(y)?f(x?y)(x、y?R)的函数f(x)具有单调性吗？

第二部分 走进课堂

1、对于任意的x、y?R, f(x)?f(y)?f(x?y), 当x?0时，f(x)?0 （1）证明：f(x)是奇函数。（2）证明：f(x)在(??,??)上是减函数。 （3）若f(1)?2，当x?[?3,3]时，求y?f(x)的最大值和最小值。

2、对于任意的x、y?R, f(x)?f(y)?f(x?y), 当x?0时，f(x)?1.证明： f(x)在(??,??)上是增函数。 3、对于任意的x、y?0, f(x)?f(y)?f(x?y), 当x有些这样的问题不好找到具体的函数模型：

4、对于任意的x、y?R, f(x)?f(y)?f(x?y)?2, 当x?0时，f(x)?2

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?1时，f(x)?0证明：f(x)在(0,??)上是减函数。

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（1）求证：f(x)在(??,??)上是增函数。（3）若f(3)?5，解不等式f(a2?2a?3)?3。

第三部分 走向课外

【课后作业】

1、对于任意的x、y?R, f(x)?f(y)?f(x?y), 当x?1时，f(x)?0

xkb1.com（1）判断f(x)的奇偶性。（2）证明：f(x)在(0,??)上是增函数。（3）解不等式f(x)?f(x?3)?0 2、定义在(?1,1)上的函数f(x)满足：①对任意的x、y∈(?1,1)，f(x)?f(y)?f(②当x∈(?1,0)时，f(x)?0

x k b x?y)； 1?xy求证：（1）证明f(x)是奇函数（2）f(x)在(?1,1)上是减函数（3）f()?f()?f()???f(3、对一切的x?R且x?0，f(x)?f(y)?2f(x?y)，且x?f(x)?0，当x?1时，f(x)?1 （1）证明f(x)是奇函数 （2）f(x)在(0,??)上是减函数。

1511111911)?f()

2n?3n?123、6 幂 函 数 第一部分 走进复习

【 复 习 】指数函数、对数函数的定义、图象和性质。

第二部分 走进课堂

问题:下列函数是指数函数吗？

1、每千克蔬菜1元，现在购买x千克蔬菜，共花钱y元，则y?x。

2、边长为a的正方形的面积为s，则s?a。3、棱长为a的正方体的体积为V?a。 4、某人经过t秒行走了1千米，这人步行的速度为vkm/h，则v?例子：1、已知函数y?(a?3a?3)x22a?3231?1?t。 t是幂函数，求a的值。 (a是常数）1、已知幂函数的图像过点(2,2)，求这个函数的解析式。 2、幂函数的图像---在同一坐标系下画出图像

y?x、y?x、y?x、y?x、y?x 2、y?x、y?x、y?x例1、比较大小（1）1.1,1.4 （2）3例2、已知幂函数y?xm2231213?1?2?12

1212?35,??35 （3）1.4,1.1

1213?2m?3(m?N?)图象关于y轴对称，且在(0,??)上是减函数，解不等式

(a?1)?m3?(3?2a)?m3。

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幂函数

分数指数幂 正分数指数幂的意义是：a负分数指数幂的意义是：a1、 幂函数的图像与性质

幂函数y?xn随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握

y?xn，当n??2,?1,?1,1,3的图像和性质，列表如下．

23?mnmn?nam（a?0，m、n?N，且n?1）

?1n（a?0，m、n?N，且n?1）

ma2、 它们都过点?1,1?，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限． 3、 4、

a?11,,1,2,332时，幂函数图像过原点且在

?0,???上是增函数．

a??1,?1,?20,???2时，幂函数图像不过原点且在?上是减函数．

① 任何两个幂函数最多有三个公共点．

y?xn 奇函数 y 偶函数 y 非奇非偶函数 y n?1 O x O x O x y y y 0?n?1 O x O x O x y y y n?0 O x O x O x 20 / 23

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幂函数基本性质

1.所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； 2.α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数

3.α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 规律总结

1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；

2．对于幂函数y＝x，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置即所在象限，其次确定曲线的类型，即?＜0，0＜?＜1和?＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意?＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即?＞0（?≠1）时图象是抛物线型；?＜0时图象是双曲线型；?＞1时图象是竖直抛物线型；0＜?＜1时图象是横卧抛物线型， 5、 幂函数的应用

1.幂函数y?x（m、n?N，且m、n互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有（）

(A) m、n为奇数且

m?1 nnm?

y m?1 nm(C)m为偶数，n为奇数，且?1

nm(D)m奇数，n为偶数，且?1

n(B)m为偶数，n为奇数，且

x O 例1、 右图为幂函数y?x?在第一象限的图像，则a,b,c,d的大小关系是

(A)a?b?c?d (C)a?b?d?c

(B)b?a?d?c (D)a?d?c?b

y （ ）

y?xa y?xb

O

y?xc

x 21 / 23

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例2、 比较下列各组数的大小： （1）1.5，1.7，1；（2）?21313??，??3?，??5?3737374?2???10?；（3）??，???，??1.1?3．

?2???7????23?23比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小． 2. 若?a?1??13??3?2a?2?13，求实数a的取值范围．

m?2m?3y?x3．已知幂函数（m?Z）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值．

4、设函数f（x）＝x3，（1）求它的反函数；

（2）分别求出f－1（x）＝f（x），f－1（x）＞f（x），f－1（x）＜f（x）的实数x的范围． 5、求函数y＝x＋2x＋4（x≥－32）值域．

1. 下列函数中不是幂函数的是（ ）Ａ．y?x Ｂ．y?x3 Ｃ．y?2x Ｄ．y?x?1 2. 下列函数在???,0?上为减函数的是（ ）Ａ．y?x Ｂ．y?x2 Ｃ．y?x3 Ｄ．y?x?2 3. 下列幂函数中定义域为?xx?0?的是（ ）Ａ．y?x Ｂ．y?xＣ．y?x Ｄ．y?x

??233223321325154．函数y＝（x－2x）

2

－12的定义域是（ ）

A．{x|x≠0或x≠2} B．（－∞，0）?（2，＋∞） C．（－∞，0）］?［2，＋∞］ D．（0，2） 5．函数y＝（1－x）的值域是（ ）A．［0，＋∞］ B．（0，1） C．（0，1）D．［0，1］

2

126．函数y＝x的单调递减区间（）A．（－∞，1）B．（－∞，0）C．［0，＋∞］D．（－∞，＋∞） 7．若a＜a12－1225，则a的取值范围是（ ）A．a≥1 B．a＞0 C．1＞a＞0 D．1≥a≥0

8．函数y＝(15＋2x－x2)3的定义域是 9．函数y＝

1x2－m－m225在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是____．

10、讨论函数y＝x的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图． 12．已知函数y＝415－2x－x2

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学好数学并不难 成功 === 勤奋 + 正确方法 + 少说多做

（1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．

113、已知f(x)?x?n2?2n?3（

35n?Z）在[0,??)上是增函数，解不等式f(x2?x)?f(x?3)。

14、证明：f(x)?x在(0,??)上是增函数。

问题：1、根据我们所画幂函数的图象，类比出下列函数的大致图象

433435534334y?x、y?x、y?x、y?x y?x2、用函数单调性的定义证明幂函数的单调性。

?、y?x?

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