2012年解三角形常用变换公式及经典例题.

2012年解三角形常用变换公式及经典例题

两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-sinBcosA  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式

tan2A = 2tanA/[1-(tanA)^2]

cos2a = (cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 sin2A = 2sinA*cosA 三倍角公式

sin3a = 3sina-4(sina)^3 cos3a = 4(cosa)^3-3cosa

tan3a = tana*tan(π/3+a)*tan(π/3-a) 半角公式

sin(A/2) = √((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2) = √((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2) = √((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2) = √((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))  tan(A/2) = (1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 和差化积

sin(a)+sin(b) = 2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) sin(a)-sin(b) = 2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) cos(a)+cos(b) = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) cos(a)-cos(b) = -2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 积化和差公式

sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] 诱导公式

sin(-a) = -sin(a) cos(-a) = cos(a) sin(pi/2-a) = cos(a) cos(pi/2-a) = sin(a) sin(pi/2+a) = cos(a) cos(pi/2+a) = -sin(a) sin(pi-a) = sin(a) cos(pi-a) = -cos(a) sin(pi+a) = -sin(a) cos(pi+a) = -cos(a) tgA=tanA = sinA/cosA 万能公式

sin(a) = (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a) = (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a) = (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))

2012年解三角形常用变换公式及经典例题

其它公式

a*sin(a)+b*cos(a) = sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a] a*sin(a)-b*cos(a) = sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b] 1+sin(a) = (sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a) = (sin(a/2)-cos(a/2))^2 其他非重点三角函数 csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a) 公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα cot（2kπ＋α）= cotα 公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosα tan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα 公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα cot（-α）= -cotα 公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα 公式五：

利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα 公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2+α）= cosα cos（π/2+α）= -sinα tan（π/2+α）= -cotα cot（π/2+α）= -tanα sin（π/2-α）= cosα

2012年解三角形常用变换公式及经典例题

cos（π/2-α）= sinα tan（π/2-α）= cotα cot（π/2-α）= tanα sin（3π/2+α）= -cosα cos（3π/2+α）= sinα tan（3π/2+α）= -cotα cot（3π/2+α）= -tanα sin（3π/2-α）= -cosα cos（3π/2-α）= -sinα tan（3π/2-α）= cotα cot（3π/2-α）= tanα (以上k∈Z)

解三角形

知识点：

abc

2R或变形：a:b:c sinA:sinB:sinC. 1．正弦定理:

sinAsinBsinC

b2 c2 a2cosA 2bc a2 b2 c2 2bccosA

2a2 c2 b2 22

2．余弦定理： b a c 2accosB 或 cosB .

2ac c2 b2 a2 2bacosC

b2 a2 c2

cosC

2ab

3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.

2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

（1）三角形内角和等于1800，即A B C 1800,灵活变形，如A 1800 (B C)等 （2）大边对大角,即若a b c，则A B C

2.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：

abc

2R（R为三角形外接圆半径） sinAsinBsinC

变形：(1)a:b:c sinA:sinB:sinC

abc

(2)sinA ,sinB ,sinC （角化边）

2R2R2R

(3)a 2RsinA, b 2RsinB,c 2RsinC（边化角）

3.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即：

a2 b2 c2 2bccosA ； b2 a2 c2 2accosB ； c2 a2 b2 2abcosC

2012年解三角形常用变换公式及经典例题

b2 c2 a2a2 c2 b2a2 b2 c2

变形：

cosA ； cosB ； cosC

4.三角形的面积公式

111

S absinC，S acsinB，S bcsinA

222

例1．在△ABC中，若sinA sinB，则A与B的大小关系为（ ）

A. A B B. A B C. A≥B D. A、B的大小关系不能确定

例2．已知△ABC中，a＝4，b＝43，∠A＝30°，则∠B等于( ) A．30° C．60°

B．30°或150° D．60°或120°

例3．已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为( ) A．9 B．18

C．93

D．183

例4．在△ABC 中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，则cosC的值为（ ）

A． B．－ C． D．－

sinAcosB

,则B的值为( ) ab

2

3231414

例5．在 ABC中，若

A. 30 B. 45 C. 60 D. 90

例6．在 ABC中，若3a 2bsinA,则B为（ ）

2 5 A. B. C. 或 D.或

363366

例7．在 ABC中，sin2A sin2B sin2C,求证 ABC为直角三角形。

例8．在 ABC中，若acosA=bcosB, 试判断此三角形形状。

例9．在△ABC中，若a 5,b 3,C 120 ,则sin A 的值为（ ）

53533333

B. - C. D.- 14141414

例10．在△ABC中，AB=3, BC = , AC = 4，则边AC上的高为（ ）

A.

2012年解三角形常用变换公式及经典例题

A.

33233

B. C. D. 3

222

例11．在△ABC中，AB

6

,CD 5, ABC 45 , ACB 60 ,求AD. 2

例 在△ABC中，A:B:C

1:2:3 1:2: 3 3:2: 1 1

例 在△ABC中，若角B为钝角，则sinB sinA的值（ ） 大于零 小于零 等于零 不能确定

例14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cb B 120 ，则a等于（ ）

A B．2 C D

例15. 已知△ABC中，a b B 60 ，那么角A等于（ ） A．135 B．90 C．45 D．30

例16. 在三角形ABC中，AB 5，AC 3，BC 7，则 BAC的大小为（ ）

2 5 3

A． B． C． D．

3364

. 已知△ABC1，且sinA sinB C． （1）求边AB的长；

1

（2）若△ABC的面积为sinC，求角C的度数．

6

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/spkm.html