复变函数与积分变换复习提纲以及5套题

复变函数复习提

纲

(一)复数的概念

z1z2?x1?iy1?x2?iy2?x1?x??2iy1??x?2?2xi?2y?i?2y??i2yx?x122yy21?i2?2xy2?yx122?21.复数的概念：z?x?iy，x,y是实数,

x?Re?z?,y?Im?z?.i2??1.

注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1）模：

z?x2?y2；

2）幅角：在z?0时，矢量与x轴正向的夹角，记为

Arg?z?（多值函数）；主值

arg?z?是位于(??,?]中的幅角。

3）arg?z?与arctanyx之间的关系如下：

当x?0,

argz?arctanyx；

?当?x?0,?y?0,argz?arctany??

?x；

??y?0,argz?arctany?x??4）三角表示：z?z?cos??isin??，其中

??argz；注：中间一定是“+”号。

5）指数表示：z?zei?，其中??argz。

(二) 复数的运算 1.加减法：若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则

z1?z2??x1?x2??i?y1?y2?

2.乘除法： 1）若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则

z1z2??x1x2?y1y2??i?x2y1?x1y2?；

。

2）若zi?21?z?11ei,z2?z2e, 则

zi??1??21z2?z1z2e?；

z1?z1i??1??2?z

2ze23.乘幂与方根 1） 若

z?z(cos??isin?)?zei?，则

zn?zn(cosn??isinn?)?znein?。

2） 若z?z(cos??isin?)?zei?，则

1nz?zn???2k???2k??cos?isin??nn??（有n个相异的值）

（三）复变函数 1．复变函数：w?f?z?，在几何上可以

看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.

2．复初等函数 1）指数函数：ez?ex?cosy?isiny?，在z平面处处可导，处处解析；且?ez???ez。注：ez是以2?i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）

3） 对数函数：Lnz?lnz?i(argz?2k?)(k?0,1,2?

(k?0,?1,?2?)（多值函数）；

面内解析，且?shz???chz,?chz???shz。

主值：lnz数）

Lnz?lnz?iargz。（单值函

（四）解析函数的概念

的每一个主值分支lnzz在除去原1．复变函数的导数 1

f??z0?点及负实轴的平面内处处解析，且）=limf点可

??z??f?z导：

?lnz???1z；

?z0?z0?；

?z?0注：负复数也有对数存在。（与实函数不

2）区域可导： f?z?在区域内点点可导。

同）

2．解析函数的概念

3）乘幂与幂函数：abz?ebbLnz?ebLna(a?0)；

1）点解析： f?z?在z0及其z0的邻域内

(z?0)

可导，称f?z?在z0点解析；

注：在除去原点及负实轴的z平面内处处

2）区域解析： f?z?在区域内每一点解析，

解析，且?zb??4

）

eiz?bzb?1。

称f?z?在区域内解析；

函

eiz三

?e2i?iz角

,cosz?数

,tgz?：

3）若

f(z)在z0点不解析，称z0为f?z?的

sinz??e2?izsinzcosz,ctgz?cosz奇点； sinz3．解析函数的运算法则：解析函数的和、

sinz,cosz在

,z平面内解析，且

zs in差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数； （五）函数可导与解析的充要条件 1．函数可导的充要条件：

?sinz???cozs?c?z?o?s?注：有界性

sinz?1,cosz?1不再成立；

（与实函数不同） 4） 双

shz?e?e2z曲

?zz函

e?e2?z数

；

f?z??u?x,y??iv?x,y?在

z?x?iy可

,chz?导

?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?可微，且在

C?Dshzshz,chz在z平chz是偶函数。奇函数，

?x,y? 处满足

1

条件：

?u?x??v?y,?u?y???v?x

?v?x3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数f?z?是以z的形式给出，如第二章

。

习题3）

（六）复变函数积分的概念与性质

此时， 有f??z???u?x?i2．函数解析的充要条件：

f?z??u?x,y??iv?x,y?在区域内解析

1．

复变函数积分的概念：

n?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?在D内可微，

足

,?u?yC?D且

?u?x?满

?v?y条件：

?cf?z?dz?limn???f????z，c是光滑

kkk?1???v?x；

曲线。

注：复变函数的积分实际是复平面上

此时f??z???u?x?i?v?x。

的线积分。 2．

复变函数积分的性质

f注： 若u?x,y?,v?x,y?在区域D具有一阶连续偏导数，则u?x,y?,v?x,y?在区域

D内是可微的。因此在使用充要条件

1）?c?z?dz???c?1f?z?dz （c?1与c的方向相反）；

证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足

f(z)?u?ivC?R条件时，函数

2）?[?cf?z???g?z?]dz???cf?z?dz???cg?z?dz,?,?是常数；

一定是可导或解析的。

3） 若曲线c由c1与c2连接而成，则

?

3．函数可导与解析的判别方法

1

1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1）

2）利用充要条件 （函数以

cf?z?dz??c1f?z?dz??cf2?z?dz。

3．复变函数积分的一般计算法

）

c化

?为线

c积分：；（常

?f?z?dz?cudx?vdy?i?vdx?udy用于理论证明）

2）参数方法：设曲线

fc：

如第二?z??u?x,y??iv?x,y?形式给出，

z?z?t?(??t??)，其中?对应曲线c的

章习题2）

起点，?对应曲线

2

c的终点，则

?cf?z?dz????f[z?t?]z?(t)dt。 内的一个原函数，则

（七）关于复变函数积分的重要定理与结论

1．柯西—古萨基本定理：设f?z?在单连

?

z2z1f?z?dz?G?z2??G?z1?(z1,z2?B) 说明：解析函数f?z?沿非闭曲线的积

域B内解析，c为B内任一闭曲线，则 分与积分路径无关，计算时只要求出原函

??f?z?dz?0

c数即可。

5。 柯西积分公式：设f?z?在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于D，z0为c内任意一点，则??f2．复合闭路定理： 设f?z?在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，c1,c2,?cn是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以

c1,c2,?cn为边界的区域全含于D?z?c内，

z?z0dz?2?if?z0?

6．高阶导数公式：解析函数f?z?的导数

则

仍为解析函数，它的n阶导数为

n① ??f?z?dzc????f?z?dz, 其

k?1ck

中c与ck均取正向；

② ??f?z?dz???

f?z?c?0，其中?由c及

(z?z0)dz?n?12?in!f?n??z0?(n?1,2?)c?1(k?1,2,?n)所组成的复合闭路。

其中c为f?z?的解析区域D内围绕z0的

3．闭路变形原理 ： 一个在区域D内的

任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部

解析函数f?z?沿闭曲线c的积分，不

完全属于D。

因c在D内作连续变形而改变它的值，

7．重要结论：

只要在变形过程中c不经过使f?z?不解析的奇点。

4．解析函数沿非闭曲线的积分： 设f?z?在单连域B内解析，G?z?为f?z?在B

3

??(z?a)c1n?1?2?i,dz???0,n?0n?0。

（c是包含a的任意正向简单闭曲线） 8．复变函数积分的计算方法

1）若f?z?在区域D内处处不解析，用一般积分法?f（八）解析函数与调和函数的关系 1．调和函数的概念：若二元实函数?(x,y)在

2c?z?dz????f[z?t?]z??t?dt

2）设f?z?在区域D内解析， ?

cD内有二阶连续偏导数且满足

???y22是D内一条正向简单闭曲线，则由

c???x2??0，

柯西—古萨定理，???

cf?z?dz?0

?(x,y)为D内的调和函数。

是D内的一条非闭曲线，z1,z2对应

2．解析函数与调和函数的关系

曲线c的起点和终点，则有

?

cf?z?dz??zz21? 解析函数

ff?z??u?iv的实部u与虚

?z?dz?F?z2??F?z1?部v都是调和函数，并称虚部v为实部

u的共轭调和函数。

u3）设f?z?在区域D内不解析

? 两个调和函数

? 曲线

c与

v构成的函数

内仅有一个奇点：

f(z)?u?ivf?z?????cz?zdz?2?if?z0??0?f?z?2?i?n??dz?f?z0??c(z?z)n?1??n!0?不一定是解析函数；但是

（

f(z)若u,v如果满足柯西—

黎曼方程，则u?iv一定是解析函数。 3．已知解析函数f?z?的实部或虚部，求解析函数f?z??u?iv在c内解析） ? 曲线

fc内有多于一个奇点：

n的方法。

?u?x,y?，利

???z?cd?z?k?1ck???z?fdzci（

内只有一

1）偏微分法：若已知实部u用C?R个奇点zk）

n条件，得

?v?y?u?x?v?v,?x?y；

或：??f?z?cd?z2??k?1iRe[s(fk)z,z]对

?u?两边积分，得

（留数基本定理） ? 若被积函数不能表示成

fv???xdy?g?x? （*）

再对（*）式两边对

x?z?n?1(z?zo)，则

?v求偏导，得

须改用第五章留数定理来计算。

4

?x????u?dy????g??x??x??x? （**）

说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数

fF[ejw0tf(t)]?F(w)w?w?w0?F(w?w0)

?z?在c内

? 位移性

推论：

各孤立奇点处留数的局部问题。

积分变换复习提纲

一、傅里叶变换的概念 ? ??F[f(t)]???jwt??f(t)edt?F(w)

?

??F?1[F(?)]?1(?)ej?t2????Fd??f(t)二、几个常用函数的傅里叶变换

?

F[e(t)]?1??j?

? F[u(t)]?1j????(?)

? F[?(t)]?1 ?

F[1]?2??(?)

三、傅里叶变换的性质 ? 位

移

性

（

时

域

）：

F[f(t?t?jwt00)]?eF[f(t)]

? 位

移性（频域）：

F[sinw(t)]?10tf2j[F(w?w0)?F(w?w0)]

? 位

移性

推论：

F[cosw0tf(t)]?12[F(w?w0)?F(w?w0)]

? 微分性（时域）：F[f?(t)]?(jw)F(w)

（t???,f(t)?0），

F[f(n)(t)]?(jw)nF(w)，t???,f(n?1)(t)?0

? 微

分

性

（

频

域

）：

F[(?jt)f?t?]?F??w?,F[(?jt)nf(t)]?F(n)(w)

? 相似性：

F[f(at)]?1aF(wa)

(a?0 )四、拉普拉斯变换的概念 ?

??L[f(t)]??0f(t)e?stdt?F(s)

五、几个常用函数的拉普拉斯变换

? L[ekt]?1s?k；

?

L[tm]??(m?1)m!sm?1?sm?1(m是自然数)；

（

10

1?(1)?1,?()?2?,?(m?1)?m?(m)1s） 七、卷积及卷积定理 ? ?

f1(t)*f2(t)?? ? ?

L[u(t)]?L[1]?L[?(t)]?1

；

?????f1(?)f2(t??)d?

F[f1(t)?f2(t)]?F1(w)?F2(w) F[f1(t)?f2(t)]?12?F1(w)?F2(w)

L[sinkt]?ks?k22,L[coskt]?ss?k22? ?

?

L[shkt]?ks?k22L[f1(t)?f2(t)]?F1(s)?F2(s)

,L[chkt]?ss?k22八、几个积分公式 ? ????? ? 设

L[ftTf(t?T)?f(t)f(t)?(t)dt?f(0)

，。（

则

? ???( ??

0??f(t)?(t?t0)dt?f(t0) f(t)tdt??()ft]dt?Ts?01?e1Tf(t)是以

??)??0L[f(t)]ds???0F(s)ds1

为周期的周期函数） 1 ? ?0域

）：

一.填空题

7??六、拉普拉斯变换的性质 ? 微

分

性

（

时

f(t)e?ktdt?L[f(t)]s?k

模拟试卷一

2L[f??t?]?sF?s??f?0?,L[f??(t)]?sF(s)?sf(0)?f?(0)

? 微分性（频域）：L([L[(?t)f?t?]?Fn(n))?tft]?F?s????，

?1?i??1. ??1?i?2. I=

? .

?s?

t0? 积分性（时域）：L[?? 积分性（频域）：L[（收敛） ? 位移性

L[eatf?t?dt]?F?s?s

??zc?esinz?dz,其中c为z?a?0的正向zf?t?t]???s,则I= .

F?s?ds3.

（

时

域

e?s?tan1z能否在0?z?R内展成

）：

f?t?]?F?s?a?Lraurent级数？

F?s?? 位移性（频域）：L[f?t???]?（??0,t?0,f(t)?04．其中c为

2z?2的正向：

）

(a?0 )? 相似性：L[f(at)]?

1sF() aa?zcsin1zdz=

11

5. 已知F????二.选择题

sin??，则

f?t??sin6t（k为．求拉氏变换f?t?= 4

实数）

5. 求方程满

1.fz?zRez在何处解析

y?0??y??0??1的解.

(A) 0 (B)1 (C)2 足条件 (D)无 四.证明题

1.利用ez的Taylor展式，证明不等式

sinzdz = z zz22.沿正向圆周的积分. ?e?1?e?1?zez?1 z?2????y???4y??3y?e?t (A)2

?isin1. (B) 0. 2. 若 F??????f?t?? (a为非零常数)

1(C)?isin??1. (D)以上都不对.

???F?? 证明：??f?at???a?a?3．

?n???4?n?z?1?的收敛域为

1?z?1?4n模拟试卷一答案

一.填空题

1. i 2. 0 3.否 4．?1/6

?0.5,t?1?t?1二.选择题 5. f?t???0,??0.25,t?11. (D) 2. (A) 3．(A) 4. (C) 三.计算题

(A) .

4.

(B)1?z?2?e (C) 1?z?1?2. (D)无法确定

4. 设z=a是f?z?的m级极点,则

f??z?f?z?在点z=a的留数是 . (A) m. (B) -2m. (C) -m.

2．函数f?z?g?z?在z=a处极点为(D) 以上都不对.

三.计算题 m+n级

3．

??fz?u?iv1.为解析函数，?1. u?3xy?y?c

23u?v?x?3xy?3xy，求u

322?y3f?z??1z2??n?1n?z?1?n?1R?1

2．设函数f?z?与分别以z=a为m级与n级极点，那么函数

64． 5.

f?z?g?z?.在z=a处

s?3634e?3t2

极点如何？

3．求下列函数在指定点z0处的Taylor级数及其收敛半径。 f?z??

y?t???一.填空题

12

?74e?t?12te?t.

1z2模拟试卷二

,z0??1

1. C为z?1正向，则?czdz= 2.

4. 沿正向圆周的积分?sinzz?2f?z??my3?nxy?ix?lxy2?32????z???2??2dz

为解析函数，则l, m, n分别

为 .

?shz?Res ,0?3.?z2?

???= (A).0. (B).2 (C).2+i. (D). 以上都不对. 三.计算题

1. 求sin(3+4i).

4. 级数?n?1?z?2?n2n2．计算?其中a、b???z?az?b.收敛半径为 c

?dz,为不在简单闭曲线c上的复常数，a?b.

5. ?-函数的筛选性质是 z?1二.选择题 ??fz?,z0?1在指定3．求函数

z?1?t1． ft?eut?1，则点z0处的Taylor级数及其收敛半径。

???????f?t???e?

??s?1?4．求拉氏变换

??s?1?f?t??ekt（k为实数）

e (B)

四.证明题

1.

? (A) .

s?1??s?1?s?1e(C)2

?Cn?0?n收敛，而?Cn发散，证明

n?0s?1 (D) 以上都不对

?2．??

?f?t???F???F????，则

?Cn?0z收敛半径为1 nn??t(A)

?2?f?t???

??2F??2.若?

?f?t???F?s?，(a为正常

1 .

(B)?F?????2F???.

(C) iF???以上都不对 3．C为

??2F???. (D)

dzz3?s??f?at???F??

数)证明：?

a?a?模拟试卷二答案

一.填空题

z?3的正向，?c?z10?2?2?i. 1.

???? 2.

(A) .1 (B)2 (C)0

(D) 以上都不对

5.

l?n??3,m?1 3.1 4. 1

???t?f?t?dt?f?0?-

二.选择题

13

(A)

三.计算题

1． (B) 2．(C) 3． (C) 4.

e1.

?4?3i?e2idz4?3i1. 设u和v都是调和函数,如果v是u的共

轭调和函数，那么v的共轭调和函数为 .

(A) u. (B)-u. (C)2u (D)以上都不对。

?

2．级数

2．当a、b均在简单闭曲线c之内或之外时

?n?1einn . ???z?a??z?b?c?0,

(A) . 发散. (B)条件收敛

(C)绝对收敛 (D)无法确定 3．C

z当a在c之内, b在c之外时

???z?a??z?b?cdz?2?ia?b?2?ia?b为

z?2的正向, 则

,

当b在c之内, a在c之外时

??zcedz2?z192?9?? . ???z?a??z?b?cdz?,

(A) .1 (B)2 ．

(C)2?i4

．

(D) 以上都不对 ?

3

f?z??z?1z?1?????1?n?0n?z?1????2?n?1R?2?f?t????i?F???，则

.

??f?1?t??? . (A) F???e (B) F????e?i?14．

s?k

模拟试卷三

(C) F???e三.计算题 1.

z2i? (D) 以上都不对 计

算

一.填空题 1． z=0为级零点,

f?z??z2?e?1?f?z???的 z?1dzz?2,从而证明??01?2c5?4c??d?? 1??,0 . 2．求在指定圆环域内的Laurent级数 2. Res?23??z?z? 3. a,b,c均为复数，问?a?bc与abc一

f?z??z?1z2,z?1?1定相等吗？ .

4. 每个幂级数的和函数在收敛圆内可能3．利用留数计算定积分: 有奇点吗？ 2?d?dz?02?cos?．

5. c= . .

?cosz二.选择题

14

4．求拉氏变换f?t??te（k为实数）.

kt

四.证明题 1.说明Lnz么？ 2.利

用

2?2Lnz是否正确，为什

卷

积

定

理

证

明

f?z??6sinz?z33?z6?6?

的 级极点

5. 卷积定理为 二.选择题

1．F????2?????则f?t?= (A) .7 (B)1 (C)2 (D) 以上都不对

tF?s??????0f?t?dt?? ??s模拟试卷三答案

一.填空题 1． 4 2. 1 3. 不一定 4. 否 5. 0 二.选择题

1. (B) 2． (A) 3． (C) 4． (D) 三.计算题

?1?3i，n为整2. 若1?3i数.n=

(A) 6k (B)3 (C)3k (D)6

3. C是直线OA，O为原点，A为2+i, 则

??n??n1.2

f?z????z?1dzz?2?0,

．

?Re?z?dzc=

(A).0. (B)（1+i）/2.

(C).2+i. (D). 以上都不对.

?n?1f.

?z??z?1z2?????1?n?0n?1?n?1??z?1?4

．设

???f?t??si?tn??，则

3??23．

???f?t???1??

3s233?

1(A) .

24．

?s?k?

12?1?s?? (B) 2?1?s?

2s?3?3模拟试卷四

一.填空题 1. 复数z?s1?i1?i 三角表示形

e(C) (D) 以上都不对 2 1?s

三.计算题

1．求在指定圆环域内的Laurent级数

式 . 2. 设u?x?2?yn2?xy为调和函

f?z??sinzz,0?z??.

数，其共轭调和函数为 3.

?n?0cn?z?i?能否在z=-2i处收敛而

2.设函数f?z?与分别以z=a为m级与n级

z=2+3i发散. 4.

f?z?极点，那么函数为

15

z?0g?z?.在z=a极点如何？

?E,0?t?5;3．求f?t???傅氏变换。

0,其他?2E3． 4．

?e5??j2sin5?2

4．求拉氏变换f?t??四.证明题

e?2tsin6t.

6?s?2?2?36.

1.若??1,??1,求证

???1????1

2.若F??????f?t??,证明：.

?

四.证明题

1.略 2.略

模拟试卷五

?f?t?cos

?0t??12?F??

?.?填空题 ??0??F????一01.

z?4iz??4?9i??02根

为 ,

模拟试卷四答案

一.填空题

1.

y?x222cos?2?isin?22.

2.

?zz?2zdz 和

?zz?4zdz 是否相等

?2xy?c

3. 叙述傅氏积分定理 4. 拉氏变换的主要性质 二.选择题 1．已知

3. 否

n!1c?1c?c,?????,则4. 15 0n?nnn2n5. 略 ??ncz?2二.选择题 ??的收敛圆环为 ?nn???

1．(B) 2. (C) 3. (C)

14．(C) (A).?z?2?4. (B)1?z?2?e

4

三.计算题

(C) 1?z?1?2. (D)无法确定

?1．f?z?????1??n?1?n?0nz2n?2n?1?!

2. w?1z22将z平面上x?y?4映射

2.当m>n时， z=a为点

当m≤n时， z=a为

f?z?g?z?的m-n级极

成w平面上的

(A) .直线 (B)u+v=1 (C)u2?v2?14 (D)以上都不对

1f?z?g?z?的可去奇点

23．z=0是f?z??zez什么奇点

16

(A) .可去 (B)本性奇点 三 . 计算题 (C)2 级极点 (D) 以上都不对

???z???2k?1. ??i. 4.??t?t0?的傅氏变换为

?2?(A) 1 (B) (C)

三.计算题

e?i?t0

2.

?3e?3

????ei?t0 (D) 以上都不对

sinxx223．

zdx??

1. 解方程e???i?0.

4. e

?t2.利用留数计算定积分:

?t?1

复变函数与积分变换试题

?cosxx2???32dx

3．利用能量积分求4.求F?s??1s2???sinxx22??dx

（本科）

一、填空题（每小题2分，共12分） 1、设

z?22?2i?s?1?的拉氏逆变换.

，则其三角表示式为

四.证明题

1. 试证argz在原点与负实轴上不连续. 2. 下列推导是否正确？若不正确，把它改正：

______________；

2、满足|z+3|-|z-1|=0的z的轨迹是__________； 3、Ln(jat3?i)?___________________;

14、5e的傅氏变换为__________；

?

1z?32z?z?1?dz??z?321?1?z5、拉?氏逆dz?2?i?的2?i.变换为?z?1s?sz?1?z?_________________.

26、

模拟试卷五答案

f(z)?1z5?1在z0?0处展开成幂级数

一.填空题

1.

322?32??2??2??32?32i和-??2????22???i???为_________________________________。

二、选择题（每小题2分，共10分） 1、设

f(z)?cosz，则下列命题正确的是

（ ）

A、

f(z)以?|f(z)|

2. 相等 3. 略

B、

4. 略

二.选择题

1． (B) 2. (C) 3． (B) 4. (B)

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是有界的；

为周期； 、

f(z)?eizC

?e2?iz；

D、f(z)在复平面上处处解析。

六、将下列函数展开为级数（每小题7分，共14分）

1、将函数

f(z)?z?1z?12、设z?i，则z48?z21?z10的值等于（ ）

在z0?1处

A、1； B、-1； C、i； D、?i。 3、设C是正向圆周|（ ）

A、4?i； B、2?i； C、2?；

七、

D、4?。 \4、z=0是

1zsinzz|?2,展开成幂级数，并指出其收敛

区间。 2、将函数

f(z)?2z(z?i)2则?z|z|cdz?以z?i为中心的圆环域内展开为洛朗级数。 求微分方程

'?ty?4y?3y?e,y(0)?y?(0)?1的解。

的孤立奇点的类型为（ ）

A、二阶极点； B、

简单极点；

C、可去奇点； D、本性奇点。

?（6分

八、 求下列函数的积分变换（每小题6

分，共12分）

1、 求

?e?tsint,t?0f(t)??t?0?0的傅氏

5、若幂级数?n?0cnzn在z1?1?i处发散，

2求

变换。

f(t)?te?2t则该级数在z=2处的敛散性为（ ）

A、绝对收敛； B、条件收敛；

C、发散； D、不能确定；

三、已知调和函数

u?x2cos7t的拉氏变换

九、证明题（每小题4分，共8分）

1、设复数

z1,z2,...zn全部满足

??Rs(zi)?0.i?1,2,...n，且?n?1zn和?n?1zn2?y2?xy,f(i)??1?i'，求解析函数

?f(z)?u?iv,，并求f(z)。（8分）

f(z)都收敛，证明?n?1|z|2也收敛。

四、设

f(z)?x2?ixy，试确定在何2、已知

z?0f(z)在0<|z|<1内解析，且

z=0是

f(z)的一级

处可导，何处解析,并求可导点处的导数。

（6分）

五、求下列函数的积分（每小题6分，共24分） 1、沿y2、?|z|?3?2?limzf(z)?1，证明

极点，并求其留数。

?x算出积分?dzd?1?i0(x2?iy)dz的值；

sinz1?cosz15?3cos?coszz(z2；

； ，其中|a|?1,a?03、?4、?

0|z|?1?a)2dz

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