一维非稳态导热问题的数值解

计算传热学程序报告

题目：一维非稳态导热问题的数值解

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学院：能源与动力工程学院 专业：工程热物理 日期：2014年5月25日

一维非稳态导热问题数值解

求解下列热传导问题：

??2T1?T?0(0?x?L)?2???t??xT(x,0)?0?

?T(0,t)?1,T(L,t)?0?L?1,??1?1.方程离散化

对方程进行控制体积分得到：

?t??tt?2T1dxd?t?w?x2?e?t??tt?T?w?tdxd te

?t??tt[(?T?T1)e?()w]dt??x?x??ew(Tt??t?Tt)dx

非稳态项：选取T随x阶梯式变化，有

??ew(Tt??t?Tt)dx?(Tpt??t?Tpt)?x

扩散项：选取一阶导数随时间做显示变化，有

t??tt[(?T?T?T?T)e?()w]dt?[()te?()tw]?t ?x?x?x?x 进一步取T随x呈分段线性变化，有 (T?TW?TT?TP?T)e?E ， ()w?P ?x(?x)e?x(?x)w整理可以得到总的离散方程为：

t1TEt??t?TPtTEt?2TPt?TW?

??t?x22.计算空间和时间步长 取空间步长为：

h=L/N 网格Fourier数为：

F0???t?x2??t（小于0.5时稳定） 2?x

时间步长为：

n?F03.建立温度矩阵与边界条件 T=ones(N+1,M+1)

T(:,1)=Ti (初始条件温度都为0） T(1,:)=To (边界条件x=0处温度为1） T(N+1,:)=Te (边界条件x=L处温度为0） 4.差分法求解温度 由离散方程可得到：

t??ttttt TE ?F0(TE?2TP?TW)?TPh2?

转化为相应的温度矩阵形式：

T(m,k?1)?F0?[T(m?1,k)?T(m?1,k)?2?T(m,k)]?T(m,k) 5.输入界面

考虑到方程的变量，采用inputdlg函数设置5个输入变量，对这5个变量设置了默认值，如图1所示。在计算中可以改变不同的数值，得到不同的结果，特别注意稳定条件的临界值是0.5。根据设置的默认值，得到的计算结果如图2所示。

图1 matlab变量输入界面

图2 默认值的计算结果 6.结果分析

根据上面的分析，给出了程序的输入界面，以及默认值状态下的数值解。可以通过改变不同的输入值，得到需要的分析结果，总结出了下面4点结论： （1）取F0=0.48，得到一维非稳态导热结果如下图所示

图2 F0=0.48时一维非稳态导热

从图中可以看出，对于长度L=1的细杆，初始时刻t=0时温度为0，边界条件x=0时，T=1,边界条件x=1时，T=0。随着时间的增加，温度从x=0通过导热的形式传递到x=1，不同时刻不同位置杆的温度都不同，并且随着时间的增加，杆的温度也逐渐增加。

（2）取F0=0.48，可以得到不同位置的温度响应曲线，如下图所示

图3 F0=0.48时不同x位置处的温度响应

图中红色曲线代表x=0.1位置的温度瞬态响应，黑色曲线代表x=0.2位置的温度瞬态响应，蓝色曲线代表x=0.4位置的温度瞬态响应。从图中可以看出，随着x的增加，曲线与x轴的交点值越大，温度开始传递到该位置的所需的时间越长。随着x的增加，温度响应曲线的变化速率越慢，最终的达到的温度也越低。 （3）取F0=0.25，得到不同位置的温度响应曲线如下图所示

图4 F0=0.25时不同x位置处的温度响应

图中三条曲线分别是x=0.1，x=0.2，x=0.4位置的温度瞬态响应。与图3的F0=0.48进行对比，两种情况下的F0值不同，F0值越大表明热扩散系数?的值越大。从图中可以看出热扩散系数对于导热的影响，F0=0.25时，与F0=0.48相比

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