第五讲 培优竞赛辅导反比例函数的图象与性质

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第五讲 反比例函数的图象与性质培优竞赛辅导

知识点一、反比例函数的概念：

一般地，形如_______________ ( k是常数, ____ ) 的函数叫做反比例函数。 注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；

（2）解析式有三种常见的表达形式：（A）___________ ， （B）___________ （C）__________ （3）求解析式的方法：___________

【例题精讲】反比例函数的概念

k2?1k34x14例1、（1）下列函数，①y?②y?③y?④y?⑤y??⑥y??3、⑦y?2x5xx?12xx x ⑧xy=—2⑨y＝3x

－1

其中是y关于x的反比例函数的有：_________________。

2例2、已知反比例函数y?(a?2)xa________，其解析式是________．

?6，且其函数图像在每一个象限内y随x增大而减小，则a的值是

例3求反比例函数的解析式及相关函数的表达式 1、反比例函数y?k(k?0）的图象经过（—2，5）和（2， n）， x求（1）n的值；（2）判断点B（42，?2）是否在这个函数图象上，并说明理由.

2、已知函数y?y1?y2，其中y1与x成正比例, y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝—1；

（1）求y关于x的函数解析式； （2）当x＝2时，y的值． x＝3时，y＝5．求：

3、如果y是m的反比例函数，m是x的反比例函数，那么y是x的（ ）

A．反比例函数 B．正比例函数 C．一次函数 D．反比例或正比例函数 知识要点二、反比例函数的图象和性质：

1、形状：图象是________。

2、变化趋势：双曲线无限接近于______轴或________轴,但永远不会与 相交。 3、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点成_________对称，

且关于第一三象限角平分线_______或第二四象限角平分线_______成轴对称； （2）对于k取互为相反数的两个反比例函数（如：y =

6?6 和y = ）来说，它们是关于x轴，y轴_________。 xx4、位置及增减性：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内； ____________,y随x的增大而________；

（2）当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内; _______________,y随x的增大而______。 直击：1、若反比例函数y?(A)k＜0

k，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是( )． x(C)k≤0

(D)k≥0

(B)k＞0

2、若点(－1，y1)，(2，y2)，(3，y3)都在反比例函数y?(A)y1＜y2＜y3

(B)y2＜y1＜y3

5的图象上，则( )． x(D)y1＜y3＜y2

(C)y3＜y2＜y1

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3、已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y?(A)y1＜0＜y2

(B)y2＜0＜y1

k(k＞0)的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有( )． x(C)y1＜y2＜0

(D)y2＜y1＜0

【例题精讲】例1、如图一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y?m的图象交于点A（－2，1），B（1，xn）两点， ⑴试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；

⑵并观察图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值? ⑶求不等式kx＋b?m＜0的解集（直接写出答案）（4）求△AOB的面积. x(5)在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标； 若不存在，说明理由.

y

A

O

C

B 【变式题组】1、如图，A是反比例函数y1?xk（x＞0）上一点，AB⊥x轴，C是OB的中点，一次函数y2x＝4.

＝ax＋b的图象经过点A、C两点，并交y轴为D（0，－2），S?ODA⑴求两函数的解析式；⑵在y轴右侧，若y1＞y2时，求x的取值范围.

2、如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y?y A O C B D xk3S?ABO?.与直线y＝－x－(k＋1)在第二象限的交点，AB⊥x轴，

x2⑴求这两个函数的解析式；⑵求A、C两点的坐标； ⑶若P是y轴上一动点，S?PAC?5，求点P的坐标.

y A B O xC 3 / 6

例2（西宁）已知函数y??y O A

k中，x＞0时，y随x增大而增大，则y＝kx－k的大致图象为（ ） xy y x O C

y x O D

x O B

x

【变式题组】1、已知反比例函数y?

a

（a≠0）的图象，在每一象限内，y的值随着x值增大而减小，则x

一次函数y＝－ax＋a的图象不经过第_______象限 。 2、（龙岩）函数y＝x＋m与y?y O m（m≠0）在同一象限内的图象可以是（ ） xy x O y x O y x O x D

A

3、（凉山州）若ab＜0,则正比例函数y＝ax与反比例函数y?

y O A

x O B C

b

在同一坐标第中的大致图象可能是（ ） x

y x B

O y x C

O y x D

y B C O x＝1 A y1＝x 4 y2?x

x 4、函数y1＝x(x≥0),y2?4(x＞0)的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点为（2，2）；②当x＝1时，xBC＝3；③当0＜x＜2时，y2＞y1;④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小.其中正确结论的序号是 .

知识要点三、反比例函数与三角形面积结合题型。 反比例函数的几何意义：在反比例函数y?kk中，k的几何意义为：点 B(x,y) 是双曲线y?(k?0)上xx任意一点, 则矩形OABC的面积是BC *BA = ︳x︱︳y︱= ︳xy︱=︳k︱

S△OAB=

k1111OA* AB=︳x︱︳y︱ =︳xy︱=︳k︱S长方形OABC?k，或S?ABO?

即：22222y C B x O A y B x O A

直击：1、如上图，P是反比例函数图象上第二象限内的一点，且矩形PEOF的面积为3，则反比例函数的

解析式是______． 2、如图，A、B是函数y?2的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为x 4 / 6

S，则( )．(A)S＝2 (B)S＝4 (C)2＜S＜4 (D)S＞4

k1k和y?在第一象限内的图象如图所示，点P在y?的图象上，PC⊥x轴于xxx11k点C，交y?的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y?的图象于点B，当点P在y?的图象上运动时，

xxx例1两个反比例函数y?

以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；

④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.其中一定正确的是 （填序号）

y ky y y y? B C xB P A D E E B O C D xF A B A 1

y?C x O C xO

【变式题组】 第3题图 1、（武汉）如图，已知双曲线y?

y 第1题图

A xy O x第2题图 k

（k＞0）经过矩形OABC的边AB的中点F，交BC于点E，且四边形x

OEBF的面积为2，则k＝ .

k

的图象上，且S矩形ABCD?3，则k＝ .x 23、如图，正比例函数y?kx(k?0)与反比例函数y?的图象相交于A、C

xy 两点，过点A作AB⊥x轴于点B，连结BC．则ΔABC的面积等于（ ）

2、如图，矩形ABCD对角线BD中点E与A都在反比例函数y?

A A．1 B．2 C．4 D．随k的取值改变而改变．

4、如图点A、B是双曲线y?3上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若

x则S1?S2? S阴影?1，5、点A(2，1)在反比例函数y?O S1S2B x k的图象上，当1＜x＜4时，y的取值范围是__________． x4题图

6、如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y?（k＞0，x＞0）的图象上，点P（m，n）是函数y?k

x

k（k＞0，x＞0）的图象上的任意一点，过点P作xx轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设在矩形OEPF中和正方形OABC不重合的部分面积为S.

⑴求点B的坐标和k的值；

⑵当S?9时，求点P的坐标； 2⑶写出S关于m的函数关系式.

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1、一次函数y?kx?k2?1与反比例函数y?

k

在同一直角坐标系内的图像的大致位置是图中的（ ） x

a2?1112、在函数y??（a为常数）的图象上有三点：（－1，y1）,(?,y2),( ,y3)则函数值y1、y2、y3

42x的大小关系是（ ）A． y1＜y2＜y3 B． y3＜y2＜y1 C． y3＜y1＜y2 D． y2＜y1＜y33、

2上，点B在直线y?x?4上，且A，B两点关于y轴对称，设点A的xmn坐标为?m, n?，则?的值是（ ）A．?10 B．?8 C．6 D．4

nm106mn

4、如图，A、B分别是反比例函数y?，y?如图（下），直线l与反比例函数y?与y?（m＞

xxxx

3、已知点A在双曲线y??n＞0）的图象分别交于点A、B，且直线l∥x轴，连接PA、PB，小芳与小丽同学针对△PAB面积的讨

论，有以下两种意见：

小芳：点P在x轴上移动时，△PAB的面积总保持不变；

小丽：当直线l上下平移时，△PAB的面积总保持不变；那么，你认为她们的说法中（ ） A．只有小芳正确 B．只有小丽正确 C．两人都正确 D．两人都不正确

5、 如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB＝AC＝2，直角顶点A在直线y＝x上，其中A点的横

坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y?

k

（k≠0）与△ABC有交点，则x

k的取值范围是（ ）A．1＜k＜2 B．1≤k≤3 C． 1≤k≤4 D． 1≤k＜4

第5题图 O 第4题图

6、如图，A、B分别是反比例函数y?B E D A 第6题图

x C 106

，y?图象上的点，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、xx

D，连接OB、OA，OA交BD于E点，△BOE的面积为S1，四边形ACDE的面积为S2，则S2－S1＝ . 7、直线l交反比例函数y?3的图象于点A，交x轴于点B，点A、B与坐标原点O构等边三角形，则直x

线l的函数解析式为

8、已知反比例函数y??2的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1?x2，则y1?y2的x 6 / 6

值是（ ）A．正数 B．负数 C．非正数 D．不能确定

8、（温州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴和x轴分别交于点A、点B，与反比例函数y?在第一象限的图象交于点C（1，6）点D（3，n）.过点C作CE⊥y轴于E，过点D作DF⊥x轴于点F， ⑴求m、n的值；

⑵求直线AB的函数解析式； ⑶求证：△AEC≌△DFB．

10、如图，已知A（－6，n），B（3，－4）是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y?交点，直线AB与x轴和y轴的交点分别为C、D． ⑴求反比例函数和一次函数的解析式； ⑵求不等式kx?b?mxm 图象的两个xm>0的解集（请直接写出答案）； x⑶求证：AC＝BD；

⑷若y轴上有一动点P，使得△PAB的面积为18，求P点的坐标.

(5)在y轴上是否存在点P，使△BOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标； 若不存在，说明理由.

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