华东师大版数学九年级上册第24章 单元综合复习《解直角三角形》复习专题3 直角三角形边角关系的应用

专题三 直角三角形边角关系的应用

本专题主要是根据直角三角形边角的关系，确定边长、角的度数以及三角函数值等，此类问题是锐角三角函数解决实际问题中的一个过渡，通过本专题的复习，应达到以下目标：能根据直角三角形中的边角关系，求边长、角的度数以及锐角三角函数值等．

例1 如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°， ∠C=120°，AB=8，则CD的长为（ ）． A．

8632 B．46 C． D．42 33 分析：求CD的长可构造直角三角形利用三角函数求解：如图1，作AF⊥BC，垂足为F，DE⊥BC，垂足为E，则根据已知条件可求出DE=AF=AB·sinB，再根据三角函数求出CD的长．

解：作AF⊥BC于F，DE⊥BC并交BC的延长线于E． 在Rt△ABF中，因为AB=8，∠B=45°，

所以AF?AB?sin45??8? 所以DE?AF?42． 在Rt△CDE中，

因为?DCE?180?120?60， 所以CD?2?42， 2DE4286，故选A． ??sin60332 说明：在利用锐角三角函数求边长时，若所求的边不在直角三角形内，则需将它转化到直角三角形中去，转化的途径比较多，如构造直角三角形或用已知的直角三角形的边或角来代替．

例2 如图2，已知AD为等腰三角形ABC底边上的高， 且tanB?4，AC上有一点E，满足AE∶EC=2∶3．那么， 3tan∠ADE是（ ）．

1 / 3

3 A．

5 B．

2 3 C．

1 2 D．

1 3 分析：要求tan∠ADE值，需要构造包含∠ADE的直角三角形，为此需要过点E作EF⊥AD，再求出

EF即可． FD 解：因为AD⊥BC，垂足为D，AB=AC， 所以∠BAD=∠CAD．

4，∠B+∠CAD=90°， 33 所以tan?CAD?．

4 因为tanB? 作EF⊥AD交AD于F，则tan∠CAD? 所以EF?3AF． 4EF3?． AF4 因为AD⊥BC，EF⊥AD， 所以EF∥CB．

又AE∶EC=2∶3，所以AF∶FD=2∶3．所以FD?3AF． 23AFEF41 所以tan?ADE?．故选C． ???=??3FD2AF2 说明：当要求锐角三角函数值的角不在直角三角形内时，其解题思路是构造直角三角形或寻找等角．本题采用了构造直角三角形的方法． 专题训练：

1．如图3，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=_____．

5，5 2．如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，AC=5，tan∠DAC=则AB=（ ）． A．5 B．5

C．25 D．55 2 / 3

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