4.动量和角动量习题

习题

4-1. 如图所示的圆锥摆，绳长为l，绳子一端固定，另一端系一质量为m的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。在质点旋转一周的过程中，试求：

（1）质点所受合外力的冲量I； （2）质点所受张力T的冲量IT。 解：

（1）根据冲量定理：?Fdt?t0t??P?P0dP??P

其中动量的变化：mv?mv0

在本题中，小球转动一周的过程中，速度没有变化，动量的变化就为0，冲量之和也为0，所以本题中质点所受合外力的冲量I为零

（2）该质点受的外力有重力和拉力，且两者产生的冲量大小相等，方向相反。

重力产生的冲量=mgT=2?mg/?；所以拉力产生的冲量?2?mg/?，方向为竖直向上。

4-2.一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度=4m/s。已知其中一力F方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。求：

（1）力F在1s到3s间所做的功； （2）其他力在1s到s间所做的功。 解：

（1）由做功的定义可知：

W?x233?x1Fdx??1Fvdt?v?Fdt?v?S椭圆?125.6J

1（2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的总功为零，所以当该F做的功为125.6J时，其他的力的功为-125.6J。

4-3.质量为m的质点在Oxy平面内运动，运动学方程为

r?aco?sti?bsin?tj，求：

（1）质点在任一时刻的动量；

（2）从t?0到t?2?/?的时间内质点受到的冲量。

解：（1）根据动量的定义：P?mv?m(??asin?ti??bcos?tj) （2）从t?0到t?2?/?的时间内质点受到的冲量等于它在这段时间内动量的变化，因为动量没变，所以冲量为零。

4-4.质量为M=2.0kg的物体（不考虑体积），用一根长为l=1.0m的细绳悬挂在天花板上。今有一质量为m=20g的子弹以v0=600m/s的水平速度射穿物体。刚射出物体时子弹的速度大小v=30m/s，设穿透时间极短。求：

（1）子弹刚穿出时绳中张力的大小； （2）子弹在穿透过程中所受的冲量。 解：

（1）解：由碰撞过程动量守恒可得： mv0?mv?Mv1 代入数据 0.02?600?0.02?30?2v1 可得：v1?5.7m/s

v2根据圆周运动的规律：T-G=MRv12 T?Mg?MR?84.6N

（2）根据冲量定理可得： I?mv?mv0??0.02?570??11.4N?s

4-5. 一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳知电子的动量为1.2?10?22kg?m/s，中微子的动量为6.4?10?23kg?m/s，两动量方向

彼此垂直。（1）求核反冲动量的大小和方向；（2）已知衰变后原子核的质量为

5.8?10?26kg，求其反冲动能。

由碰撞时，动量守恒，分析示意图，可写成分量式：

? m1sin??m2cosP?m1cos??m2sin?

?所以P?1.4?10?22kg?m/s ??????151.9

P2（2）反冲的动能为：Ek??0.17?10?18J

2m

4-6. 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F?400?4?105t/3，子弹从枪口射出时的速率为300m/s。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：

（1）子弹走完枪筒全长所用的时间t； （2）子弹在枪筒中所受力的冲量I； （3）子弹的质量。

解：（1）由F?400?4?105t/3和子弹离开枪口处合力刚好为零，则可以得到：F?400?4?105t/3?0 算出t=0.003s。

（2）由冲量定义： I??0.0030Fdt??0.0030（400?4?105t/3）dt?400t?2?105t2/30.0030?0.6N?s

（3）由动量定理：

4-7. 有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为xc。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。

解：在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为xc。 xc?m1x1?m2x2m1?m2I?0.0030?Fdt??P?mv?0.6N?s所以：m?0.6/300?0.002kg

因为m1?m2?m，x1?xc2

故 xc?

mxc?2mx24m,x2?3x 2c4-8. 两个质量分别为m1和m2的木块A、B，用一劲度系数为k的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。A紧靠墙。今用力推B块，使弹簧压缩x0然后释放。（已知m1?m，m2?3m）求：

（1）释放后A、B两滑块速度相等时的瞬时速度的大小；

（2）弹簧的最大伸长量。

解：分析题意，可知在弹簧由压缩状态回到原长时，是弹簧的弹性势能转换为B木块的动能，然后B带动A一起运动，此时动量守恒，可得到两者相同的速度v ，并且此时就是弹簧伸长最大的位置，由机械能守恒可算出其量值。

12m2v202?12kx0

2m2v20?（m1?m2）v

所以v?1234x02k3m?

122（2）

m2v20kx1212?（m1?m2）v 2那么计算可得：x?x0

4-9. 二质量相同的小球，一个静止，一个以速度0与另一个小球作对心碰撞，求碰撞后两球的速度。（1）假设碰撞是完全非弹性的；（2）假设碰撞是完全弹性的；（3）假设碰撞的恢复系数e?0.5.

解：由碰撞过程动量守恒以及附加条件，可得

（1）假设碰撞是完全非弹性的，即两者将以共同的速度前行：mv0?2mv

所以：v?12v0

（2）假设碰撞是完全弹性的，

mv0?mv1?mv2 12mv02?12mv1?212mv2

2两球交换速度， v1?0 v2?v0 （3）假设碰撞的恢复系数e?0.5，也就是

mv0?mv1?mv2

v2?v1v10?v20?0.5

1434所以：v1?v0 ， v2?v0

4-10. 如图，光滑斜面与水平面的夹角为??30?，轻质弹簧上端固定．今在弹簧的另一端轻轻地挂上质量为M?1.0kg的木块，木块沿斜面从静止开始向下滑动．当木块向下滑x?30cm时，恰好有一质量

m?0.01kg的子弹，沿水平方向以速度v?200m/s射中木块并陷在其中。设弹簧的劲度系数为

k?25N/m。求子弹打入木块后它们的共同速度。

解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度，碰撞过程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒，可得：

11Mv12?kx2?Mgxsin? ?v1?0.83 (碰撞前木快的速度) 220.89Mv1?mvcos??（m?M）v? ?v???

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