2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-全国2

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2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国

卷Ⅱ)

理科数学（必修+选修Ⅱ）

注意事项：

1． 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，

考试时间120分钟．

2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的

位置上．

3． 选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．

4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹

清楚

5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或

在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6． 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题）

本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：

如果事件A，B互斥，那么 球的表面积公式

P(A?B)?P(A)?P(B)

S?4πR

其中R表示球的半径 球的体积公式

2如果事件A，B相互独立，那么

P(A?B)?P(A)?P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么

n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率

kkn?kP(k?01，，2，…，n) n(k)?Cnp(1?p)43πR 3 其中R表示球的半径

V?一、选择题

1．sin210?（ ）

?A．3 2

B．?3 2 C．

1 2

D．?1 22．函数y?sinx的一个单调增区间是（ ） A．??，?

????????B．?，?

??3??????C．??，?

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???????D．??3??，2?? ???景云制作

3．设复数z满足

A．?2?i

4．下列四个数中最大的是（ ） A．(ln2)2

B．ln(ln2)

1?2i?i，则z?（ ） zB．?2?i C．2?i

C．ln2

D．2?i

D．ln2

????????????1????????CD?CA??CB，5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD?2DB，则??（ ）

32112A． B． C．? D．?

3333x?1?0的解集是（ ） 6．不等式2x?4， A．(?21)

??) B．(2，1)?(2，??) D．(??，?2)?(1，??) C．(?2，7．已知正三棱柱ABC?A则AB1与侧面ACC1A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，1所成角的正弦值等于（ ） A．6 4 B．10 4 C．2 2 D．3 21x2?3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ） 8．已知曲线y?24A．3

B．2

C．1

D．

1 2x3)平移，得到y?f(x)的图像，则f(x)?（ ）9．把函数y?e的图像按向量a?(2，

A．ex?3?2 B．ex?3?2 C．ex?2?3 D．ex?2?3

10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求

星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A．40种 B．60种 C．100种 D．120种

x2y2?11．设F1，F2分别是双曲线2?2的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使?F1AF2?90ab且AF1?3AF2，则双曲线的离心率为（ ）

A．5 2 B．210 2 C．15 2

D．5 ????????????12．设F为抛物线y?4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA?FB?FC?0，

????????????则FA?FB?FC?（ ）

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A．9 B．6 C．4 D．3

第Ⅱ卷（非选择题）

本卷共10题，共90分

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

1??13．(1?2x)?x??的展开式中常数项为 ．（用数字作答）

x??2814．在某项测量中，测量结果?服从正态分布N(11)内取值的概，?2)(??0)．若?在(0，2)内取值的概率为 ． 率为0.4，则?在(0，15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm．

16．已知数列的通项an??5n?2，其前n项和为Sn，则lim2Sn? ．

n→?n2三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 在△ABC中，已知内角A??，边BC?23．设内角B?x，周长为y． ?（1）求函数y?f(x)的解析式和定义域； （2）求y的最大值．

18．（本小题满分12分）

从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A)?0.96． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；

（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，?表示取出的2件产品中二等品的件数，求?的分布列．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD为正方形， 侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点． （1）证明EF∥平面SAD；

（2）设SD?2DC，求二面角A?EF?D的大小．

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S

F

C

D A

E

B

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20．（本小题满分12分）

在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x?3y?4相切． （1）求圆O的方程；

（2）圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使PA，PO，PB成等比数列，求

????????PA?PB的取值范围．

21．（本小题满分12分）

1)an?设数列{an}的首项a1?(0，，（1）求{an}的通项公式；

3?an?1，n?2，3，4，…． 2（2）设bn?an3?2an，证明bn?bn?1，其中n为正整数． 22．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?x3?x．

（1）求曲线y?f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程；

（2）设a?0，如果过点(a，b)可作曲线y?f(x)的三条切线，证明：?a?b?f(a)．

2007年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案

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评分说明：

1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主

要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容

和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3． 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题 1．D 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C 7．A 8．A 9．C 10．B 11．B 12．B 二、填空题 13．?42 三、解答题

17．解：（1）△ABC的内角和A?B?C??，由A?

应用正弦定理，知

14．0.8

15．2?4216．?5 2?2?，B?0，C?0得0?B?． ??AC?BC23sinB?sinx?4sinx，

?sinAsin?

AB?BC?2??sinC?4sin??x?． sinA???

因为y?AB?BC?AC， 所以y?4sinx?4sin?

2???2????x??23?0?x??，

3?????

???1cosx?sinx?（2）因为y?4?sinx????23 ?2??

?43si?nx?

?????????5????2?3?x???，

?????

所以，当x?????，即x?时，y取得最大值63．

???18．解：（1）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，

． A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”则A0，A1互斥，且A?A0?A1，故

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P(A)?P(A0?A1)

?P(A0)?P(A1)

?(1?p)?C2p(1?p)

21?1?p2

于是0.96?1?p2．

解得p1?0.2，p2??0.2（舍去）．

1，2． （2）?的可能取值为0，若该批产品共100件，由（1）知其二等品有100?0.2?20件，故

2C80316． P(??0)?2?C1004951C116080C20． P(??1)?2?C100495

C219． P(??2)?220?C100495所以?的分布列为

? P 0 1 2 316 495160 49519 495S

19．解法一：

（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．

∥连结AG，FG 1∥AB， CD，又CD 2F

G H D A

E

B

∥AE，AEFG为平行四边形． 故FG EF∥AG，又AG?平面SAD，EF?平面SAD． 所以EF∥平面SAD．

△ADG为等 （2）不妨设DC?2，则SD?4，DG?2，腰直角三角形．

取AG中点H，连结DH，则DH⊥AG．

又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB?AG?A， 所以DH⊥面AEF．

取EF中点M，连结MH，则HM⊥EF． 连结DM，则DM⊥EF．

故?DMH为二面角A?EF?D的平面角

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M C

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tan?DMH?DH2??2． HM1z S 所以二面角A?EF?D的大小为arctan2． 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D?xyz．

0，，0)S(0，0，b)，则B(a，a，，0)C(0，a，，0) 设A(a，F ?a??ab?E?a，，0?，F?0，，?， ?2??22??????b?EF???a，0，?．

2???????b?b??取SD的中点G?0，0，?，则AG???a，0，?．

2?2???A x G M D E B A C y ????????EF?AG，EF∥AG，AG?平面SAD，EF?平面SAD，

所以EF∥平面SAD．

，0，0)，则B(11（2）不妨设A(1，，，0)C(0，1，，0)S(0，0，，2)E?1，，0?，F?0，，1?．

?1?2????1?2???111???????????????111?????EF中点M?，，?，MD???，?，??，EF?(?1，0，1)，MD?EF?0，MD⊥EF

222222??????????????1????又EA??0，?，0?，EA?EF?0，EA⊥EF，

2???????????所以向量MD和EA的夹角等于二面角A?EF?D的平面角．

??????????????????MD?EA3 ． cos?MD，EA????????????3MD?EA所以二面角A?EF?D的大小为arccos3． 320．解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x?3y?4的距离，

即 r?4?2． 1?322

得圆O的方程为x?y?4．

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（2）不妨设A(x1，，0)B(x2，，0)x1?x2．由x?4即得

2A(?2，，0)B(2，0)．

设P(x，y)，由PA，PO，PB成等比数列，得

(x?2)2?y2?(x?2)2?y2?x2?y2，

即 x2?y2?2．

????????PA?PB?(?2?x，?y)?(2?x，?y)

?x2?4?y2?2(y?1).2

?x2?y2?4，?由于点P在圆O内，故?2 2??x?y?2.由此得y2?1．

????????0)． 所以PA?PB的取值范围为[?2，21．解：（1）由an?

3?an?1，n?2，3，4，…， 21整理得 1?an??(1?an?1)．

2又1?a1?0，所以{1?an}是首项为1?a1，公比为?

1的等比数列，得 2

?1?an?1?(1?a1)????2?n?1

（2）方法一： 由（1）可知0?an?22那么，bn?1?bn

22?an?1(3?2an?1)?an(3?2an)3，故bn?0． 2

3?an?2?3?an??3?2? ??????an(3?2an)

22????9a?n(an?1)2.4222

又由（1）知an?0且an?1，故bn?1?bn?0，

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因此

bn?bn?1，n为正整数．

3，an?1， 2方法二：

由（1）可知0?an?因为an?1?3?an， 2所以

bn?1?an?13?2an?1?(3?an)an．

23?3?an?由an?1可得an(3?2an)???，

?2??3?an?2即 an(3?2an)????an

?2?两边开平方得

2an3?2an?3?an?an． 2即 bn?bn?1，n为正整数．

22．解：（1）求函数f(x)的导数；f?(x)?3x2?1．

曲线y?f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程为： 即

y?f(t)?f?(t)(x?t)，

y?(3t2?1)x?2t3．

（2）如果有一条切线过点(a，b)，则存在t，使

b?(3t2?1)a?2t3．

于是，若过点(a，b)可作曲线y?f(x)的三条切线，则方程

2t3?3at2?a?b?0

有三个相异的实数根． 记 g(t)?2t?3at?a?b， 则 g?(t)?6t?6at

?6t(t?a)．

232当t变化时，g(t)，g?(t)变化情况如下表：

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t g?(t) g(t) (??，0) 0 0 极大值a?b (0，a) a 0 极小值b?f(a) (a，??) ? ? ? ? ? ? 由g(t)的单调性，当极大值a?b?0或极小值b?f(a)?0时，方程g(t)?0最多有一个实数根；

当a?b?0时，解方程g(t)?0得t?0，t?数根；

当b?f(a)?0时，解方程g(t)?0得t??，t?a，即方程g(t)?0只有两个相异的实数根．

综上，如果过(a，b)可作曲线y?f(x)三条切线，即g(t)?0有三个相异的实数根，

3a，即方程g(t)?0只有两个相异的实2a2?a?b?0，则?

b?f(a)?0.?即 ?a?b?f(a)．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/sp96.html