微分和导数的关系是什么

一、微分和导数的关系是什么？

在初学微分和导数时，虽然感觉概念不复杂，但是我对两者的关系有点模糊，比如以下问题就觉得模棱两可： ?

对于导数链式法则， dydx=dydududxdydx=dydududx，可以理解为约去等。但假如有

dudu，所以等式相

F(x,y)，dydx=??F/?x?F/?yF(x,y)，dydx=??F/?x?F/?y ，通过消去?F?F，我

们是否可以推出 dydx=?dydxdydx=?dydx？

∫badydxdx?∫bady?y|ba∫abdydxdx?∫abdy?y|ab，这里实实在在地消去了dxdx。

? d(uv)=(u+du)(v+dv)?uv=udv+vdu+dudvd(uv)=(u+du)(v+dv)?uv=udv+vdu+dudv，

然后说dudvdudv太小了，所以忽略掉，得到微分的乘法法则：d(uv)=udv+vdud(uv)=udv+vdu，难道 udvudv和vduvdu 不小？

我当时脑子一片混乱，到底dxdx、dudu、dvdv是什么东西？为什么有的地方可以消去，有的

?

地方不可以消去？

其实在各个历史时期，导数和微分的定义是不一样的，要想解答上面的疑问，还得从微积分的发展历史中寻找答案。

我尝试讲一下微积分发展的历史和数学思想，主要针对y=f(x)y=f(x)这样的一元函数。

二、1. 古典微积分

牛顿和莱布尼兹各自独立发明了微积分，下面我采用莱布尼兹的微积分符号进行说明（要了解各种微积分符号，可以参看维基百科。

1.1 为什么会出现导数？

导数不是牛顿和莱布尼兹发明的，他们之前的数学家已经对曲线的切线进行了研究。在解决曲面（一维函数是曲线，即一维曲面）下面积时，牛顿和莱布尼兹确定了导数的定义。

在微积分出现之前，曲线下的面积是一个很复杂的问题，微积分求解的主要思想是把曲线下的面积划分成无数个矩形面积之和。

直觉告诉我们，如果nn越大，则这个近似越准确：

这时，无穷小量dxdx（ΔxΔx是把曲线底分成n份的间隔长度）出现了。无穷小量dxdx是建立微积分的基础，莱布尼兹介绍微积分的论文就叫做《论深度隐藏的几何学及无穷小与无穷大的分析》。

在当时的观点下，无穷小量

dxdx

到底是什么也是有争论的，有数学家打比喻：“无穷小量就好

比山上的灰尘，去掉和增加都没有什么影响”，很显然有人认为无穷小量dxdx是真实存在的。 在具体计算曲面下面积，即我们现在所说的定积分的时候，必然会遇到导数的问题，所以很自然的开始了对导数的定义和讨论。

1.2 导数的古典定义

在曲线上取两点，连接起来，就称为曲线的割线：

割线可以反应曲线的平均变化率，也就是说这一段大概的趋势是上升还是下降，上升了多少，但是并不精确。

有了切线之后，我们进一步定义导数：

从这张图得出导数的定义：f′(x)=dydxf′(x)=dydx，而 dxdx 和 dydy 被称为 xx 和 yy 的微分，都是无穷小量，所以导数也被莱布尼兹称为微商（微分之商)。

1.3 无穷小量导致的麻烦

上节的图实际上是矛盾的：

所以就切线的定义而言，微积分的基础就是不牢固的。

无穷小量的麻烦还远远不止这一些， 的导数是这样计算的：

仔细看运算过程， 无穷小量

dxdx先是在约分中被约掉，然后又在加法中被忽略，也就是说d

xdx先被当作非0的量，又被当作了0。这就是大主教贝克莱（就是在高中政治书被嘲笑的唯心

主义的代表）攻击的像幽灵一样的数，一会是0一会又不是0。

无穷小量和无穷小量相除为什么可以得到不一样的值？难道不应该都是1吗？

无穷小量还违反了阿基米德公理，这个才是更严重的缺陷。康托尔证明过，如果阿基米德公理被违背的话会出大问题。

一边是看起来没有错的微积分，一边是有严重缺陷的无穷小量，这就是第二次数学危机。数学的严格性受到了挑战，“对于数学，严格性不是一切，但是没有了严格性就没有了一切”。

1.4 对于古典微积分的总结

? ?

切线：通过割线和无穷小量定义了切线。

导数：通过切线和无穷小量定义了导数，导数是曲线在某点处切线的斜率，导数的值等于微商。 ?

微分：微分是微小的增量，即无穷小量。

三、2. 基于极限重建微积分

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